1、专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1C【解析】如图，连接 ，因为 ，所以异面直线 与 所成角等于相交BEACD AECD直线 与 所成的角，即 不妨设正方体的棱长为 2，则 ，A1，由勾股定理得 ，又由 平面 ，可得 ，2B5B1B所以 ，故选 Ctan2BD1 C1B1A1 EDCBA2A【解析】若 ， ， ，由线面平行的判定定理知 若mnnm ， ， ，不一定推出 ，直线 与 可能异面，故mn“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 An3A【解析】由正方体的线线关系，易知 B、C、D 中 ，所以 平面MQ B， 只有 A 不满足选 A MNQ4C【解析】如图
2、，连结 ，易知 平面 ，所以 ，又111E1AE，所以 平面 ，故 ，选 C1BD BCDBEC1B1A1D1CA B5A【解析】因为过点 的平面 与平面 平行，平面 平面 ，所AD1BC以 ，又 平面 ，所以 ，则 与 所成的角m1BD1B1Cn1为所求角，所以 ， 所成角的正弦值为 ，选 Amn326C【解析】选项 A，只有当 或 时， ；选项 B，只有当 时 ml m；选项 C，由于 ，所以 ；选项 D，只有当 或 时，n lnl ，故选 Cm7B【解析】由 得圆锥底面的半径 ，所以米堆的体积1284lr163r，所以堆放的米有 斛5632039Vh20.98C【解析】三棱锥 ，其中 为
3、点 到平面 的距离，1OABCABOABVShCOAB而底面三角形 时直角三角形，顶点 到平面 的最大距离是球的半径，故 = ，其中 为球 的半径，13OABCABOABVSh362R所以 ，所以球 的表面积 6R419D【解析】若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平1l2l2ll面 的交线，则 至少与 ， 中的一条相交，故选 A1l210B【解析】解法一 设 ， ，则由题意知 ADCB1DBA在空间图形中，连结 ，设 = t在 中， A22221cosAtt过 作 ，过 作 ，垂足分别为 NDCBMDCNM、过 作 ，使四边形 为平行四边形，则 ，/PPNPDC连
4、结 ，则 就是二面角 的平面角，所以 ,AABA在 中， ， RtNcoscosCsinsinN同理， ， ，故 sinBMPD2coPM显然 平面 ，故 B在 中， tA2222(cos)4sAtt在 中，NPcosNPA=222sini(4cos)st222coscosinsinitt，221cosiinADB所以221cosscosiinADBADB ，2 221inco(s)0ssiniADB 所以 （当 时取等号） ， =因为 ， ， 而 在 上为递减函数，0,cosyx0,所以 ，故选 BAD解法二 若 ，则当 时， ，排除 D；当 时，CACB0， ，排除 A、C，故选 B0B0
5、11D【解析】利用正方体模型可以看出， 与 的位置关系不确定选 D1l412C【解析】选项 中 均可能与平面 平行、垂直、斜交或在平面 内，故选,ADm13B【解析】对于选项 A，若 ，则 与 可能相交、平行或异面，A 错误；/,/nn显然选项 B 正确；对于选项 C，若 ， ，则 或 ，C 错误；m/n对于选项 D，若 ， ，则 或 或 与 相交，D 错误故/m/选 B14D【解析】作 ，垂足为 ，设 ，则 ，PHPHx3Cx由余弦定理 ，265340Ax，21tant (0)3xx故当 时， 取得最大值，最大值为 14325xtan5915B【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是O
6、P1ABD，112AOCA由于 ， ， 16sin316326sinOsin12所以 的取值范围是i,16D【解析】作正方形模型， 为后平面， 为左侧面 mnll可知 D 正确17D【解析】A 中 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中 还可能为异面；C 中,mn ,mn应与 中两条相交直线垂直时结论才成立，选 D18B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的， l ， l ，则 如选项A： l ， l 时， 或 ；选项 C：若 ， l ， l 或；选项 D：若 , l ， l 或 l 19B【解析】过点 作 ，若存在某个位置，使得 ，则 面AEBABD，从而有 ，计算可得 与 不垂直，则 A
7、不正确；当翻折到ACECDE时，因为 ，所以 面 ，从而可得 ；若CC，因为 ，所以 面 ，从而可得 ，而D，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理， D 也不正确，故12B选 B20D【解析】对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的某些直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其余选项易知均是正确的21D【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故 A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知 、 均错误，故选 DBC22 【解析】由题意画出图形，如图，8OCBAS设 是底面圆 的直径，连接 ，则 是圆锥的高，设圆锥的母线长为 ，ACO
8、S l则由 ， 的面积为 8，得 ，得 ，在 中，SBSA 21l4lRtASO由题意知 ，所以 ， 30l32AOl故该圆锥的体积 2211()83VAS23 【解析】(1)因为 ， 为 的中点，所以 ，且4PCCPAC23OP连结 因为 ，所以 为等腰直角三角形，B2AAB且 ， OC1由 知， 22PBOP由 ， 知 平面 AABCHOMPCBA(2)作 ，垂足为 又由(1)可得 ，所以 平面 CHOMPHPOM故 的长为点 到平面 的距离CHPOM由题设可知 ， ， 12AC423BC45AB所以 ， 253OMsin所以点 到平面 的距离为 CP4524 【解析】(1)由题设知，平面
9、 平面 ，交线为 CDABCD因为 ， 平面 ，所以 平面 ，故 B MB因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 MA又 = ，所以 平面 CB而 平面 ，故平面 平面 DAMDC(2)当 为 的中点时， 平面 PACP证明如下：连结 交 于 因为 为矩形，所以 为 中点OOAC连结 ，因为 为 中点，所以 O平面 ， 平面 ，所以 平面 MCBDBPBD25 【解析】(1) ，且 为 的中点， PADEAPEAD底面 为矩形， ，BCB E(2)底面 为矩形， 平面 平面 ， 平面 PADAPD 又 ，B 平面 ，平面 平面 BC(3)如图，取 中点 ，连接 CG,FGPFEDCBA
10、分别为 和 的中点， ，且 ,FGPBCFG 12B四边形 为矩形，且 为 的中点，ADEA ，1,2E ，且 ，四边形 为平行四边形，F FD G又 平面 ， 平面 ，PCDPC 平面 E26 【解析】(1)由平面 平面 ，平面 平面 = ， ，ABABDAB可得 平面 ，故 (2)取棱 的中点 ，连接 ， 又因为 为棱 的中点，故CNMD 所以 （或其补角）为异面直线 与 所成的角MCMNMABC D在 中， ，故 RtDA12=13DA因为 平面 ，故 B在 中， ，故 tN2N在等腰三角形 中， ，可得 DM113cos26MND所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 BCMD1326(
11、3)连接 因为 为等边三角形， 为边 的中点，故 ，AABCMAB又因为平面 平面 ，而 平面 ，3故 平面 所以， 为直线 与平面 所成的角BCD在 中， RtCAD24A在 中， tM3sinM所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 CAB427 【证明】(1)在平行六面体 中， 1DCAB 1因为 平面 ， 平面 ，AB11所以 平面 D1 C1B1A1DCBA(2)在平行六面体 中，四边形 为平行四边形1BC1A又因为 ，所以四边形 为菱形，1A1因此 又因为 ， ，1BC1B所以 A又因为 = ， 平面 ， 平面 ，11A1CB1AC所以 平面 B1C因为 平面 ，1AB1A所以平面
12、平面 BC28【解析】(1)由 ， ， ， ， 得214121AB1A，1AB所以 221A故 1由 ， ， ， ， 得 ，2BC11C1BC1B15C由 ， 得 ，A20A3由 ，得 ，所以 ，故 1132211A1因此 平面 BC(2)如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 11DAB1DDABCA1 B1 C1由 平面 得平面 平面 ，1AB1C11由 得 平面 ，DA所以 是 与平面 所成的角111B由 ， ，5BC22C得 ， ，16cos7CAB1sin7CAB所以 ，故 13D1139iD因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 1AC1B1329 【解析】 （1）在平面 内，因为 ，所以 ，90ADBCAD又 平面 ， 平面 ，故 平面 BPDPP（2）取 的中点 ，连结 ， 由 及 ，AM12B得四边形 正方形，则 90CBCMANMDCBAP因为侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，平面 平面 =PADBPABCD，所以 ， 底面 因为 底面 ，所以MAC设 ，则 ， ， ， 取Bxx2Cx3PMx2Px的中点 ，连结 ，则 ，所以 DNPND142因为 的面积为 ，所以 ，解得 （舍去） ，C2717x2x于是 ， ， 2xAB423PM所以四棱锥 的体积 PD1()4V
