1、转化 转化空间几何体题型与方法归纳(文科)考点一 证明空间线面平行与垂直1、如图, 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC3， BC4， AA14，点 D是 AB的中点， （I）求证： AC BC1； （II）求证： AC 1/平面 CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证 明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过 线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB =5， ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC， AC BC
2、1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点， DE/AC 1， DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1， AC 1/平面 CDB1；（2）设 CB1与 C1B 的交战为 E，则 E（0,2，2）. （ ，0,2）， （3,0，4），231AC，DEAC 1.AE点评：2平行问题的转化：面面平行 线面平行 线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理2、如图所示，四棱锥 PABCD中，AB AD，CD AD，PA 底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC的中点。(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面
3、PAD内找一点 N，使 MN 平面 PBD；（1） 是 的中点，取 PD 的中点 ，则PCE，又ED21ABC21四边形 为平行四边形M ，BP平 面平 面 （4 分）平 面（2）由（1）知 为平行四边形AE，又CDP底 面ABD同理 ，平 面 平 面 PA平 面E为矩形 ， ，又BCMEDM平 面PB平 面作 故ABMEPD平 面平 面 BFPBD平 面M交 于 ，在矩形 内， ，MFEN1EA2A， 为 的中点32当点 为 的中点时，ADP平 面3.【2016 高考山东文 19】 (本小题满分 12 分)如图，几何体 是四棱锥， 为正三角形， .EBCAB,CBDE()求证： ；D()若
4、，M 为线段 AE 的中点，120求证： 平面 .【答案】(I) 设 中点为 O，连接 OC，OE ，则由 知 ， ，BBCDOB又已知 ，所以 平面 OCE.CED所以 ，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以 .(II)取 AB 中点 N，连接 ，,MM 是 AE 的中点， ，BE 是等边三角形， .ABDDA由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即 ，BCA所以 NDBC，所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC.4、（2016 年高考（江苏）如 图 ,在 直 三 棱 柱 中 , , 分 别 是 棱 上 的 点 (点 不1ABC11ADE， 1C， D同于点
5、),且 为 的中点.CADEF， 1求证:(1)平面 平面 ;(2)直线 平面 .1/【答案】证明:(1) 是 直 三 棱 柱 , 平面 . 1ABC1CAB又 平面 , . DD又 平面 , 平面 . 1E， ， 11BE， D1CB又 平面 , 平面 平面 . AAEC(2) , 为 的中点, . 11BCF111F又 平面 ,且 平面 , . B1AF又 平面 , , 平面 . 1 ， 111C1BC由(1)知, 平面 , . ADBAFD又 平面 平面 , 直线 平面 AD1, EAFDE1/AFDE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系. 【解析】(1)要证平面 平面 ,只要证平面
6、 上的 平面 即可.它可由已知1BCA1BC是 直 三 棱 柱 和 证得. 1ABCAE(2)要证直线 平面 ,只要证 平面 上的 即可./FD1FADE考点二 求空间图形中距离与体积5、 （安徽理 17）如图， BCG为多面体，平面 B与平面 GF垂直，点 O在线段 AD上，1,2,OADOAB，, OA， ， O都是正三角形。（）证明直线 EF；（II）求棱锥 FOBED 的体积。（I） （综合法）证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点. 由于 OAB 与ODE 都是正三角形，所以OBDE21，OG=OD=2，同理，设 是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，有 .2ODG又
7、由于 G 和 都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 重合.在GED 和GFD 中，由 OBDE21和 OCF21，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点，所以 BC 是GEF 的中位线，故 BCEF.（向量法）过点 F 作 AQ，交 AD 于点 Q，连 QE，由平面 ABED平面 ADFC，知 FQ平面 ABED，以 Q 为坐标原点， E为 x轴正向， D为 y 轴正向， F为 z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系 .由条件知).23,0(),23,(),0(),3( CB则有).,(),2,(EFBC所以 ,EF即得 BCEF.（II）解：由 OB=1，OE=2， 23,60
8、EOBS知，而OED 是边长为 2 的正三角形，故 .3OEDS所以.23OEDBOEDSS过点 F 作 FQAD，交 AD 于点 Q，由平面 ABED平面 ACFD 知，FQ 就是四棱锥 FOBED 的高，且 FQ= = =3，所以 .2331OBEDOBEDFSQV6.（四川 19） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D 是棱 CC1 上的一 P 是 AD 的延长线与A1C1 的延长线的交点，且 PB1平面 BDA（I）求证：CD=C1D：（）求点 C 到平面 B1DP 的距离解析：（1）连接 1BA交 1于 O, 1/BP1面 DA, 11
9、, ,BPADO1面 面 面/BPOD,又 为 的中点，为中点， 1C为 , 1C,D 为 1C的中点。（2）因为 11BPDV，所以 113BPDPDhSAS, 1B1124PCCSS,在 1BD中，11 1 19535254,.cos,sin32BPDBPDBP，1 5,243PSh7.【2016 高考湖南文 19】（本小题满分 12 分）如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD BC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积.【答案】【解析】（）
10、因为 ,.PABCDABCPBD平 面 平 面 所 以又 是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD 平面 PAC，,ACBDP 而 平面 PAC，所以 .PC（）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知，BD 平面 PAC，所以 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而 .DPO30由 BD 平面 PAC， 平面 PAC，知 .B在 中，由 ，得 PD=2OD.RtPODA30因为四边形 ABCD 为等腰梯形， ，所以 均为等腰直角三角形，AC,ABC从而梯形 ABCD 的高为 于是梯形 ABCD 面积11(42)32B1(4)39.2S在等腰三角形中， ,2,ODA所以
11、 24, 4.PDP故四棱锥 的体积为 .ABC19123VSP8.【2014 高考广东文 18】本小题满分 13 分）如图 5 所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 是 的中点， 是PABCDPAD/BCPADEPBF上的点且 ， 为 中 边上的高 .CD12FH（1）证明： 平面 ；（2）若 ， ， ，求三棱1F锥 的体积；EB（3）证明： 平面 .PAB【解析】（1）证明：因为 平面 ，D所以 。PH因为 为 中 边上的高，所以 。D因为 ，AB所以 平面 。C（2）连结 ，取 中点 ，连结 。BHGE因为 是 的中点，EP所以 。/因为 平面 ，ACD所以 平面 。则 ，12G。13
12、32EBCFBFVSAEG21（3）证明：取 中点 ，连结 ， 。PAMD因为 是 的中点，所以 。1/2因为 ，DFB所以 ，/E所以四边形 是平行四边形，M所以 。/因为 ，PA所以 。D因为 平面 ，B所以 。因为 ，所以 平面 ，MPA所以 平面 。EF9.【2015 高考陕西文 18】（本小题满分 12 分）直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=A A 1 ， =CB2（）证明 ;1BAC（）已知 AB=2，BC= ，求三棱锥 的体积511CAB【解析】（）如图，连结 1,1ABC是直三棱柱， = 2， 来源: ，平面 1A,故 1CB 又 ， 四边形 是正方形，1B，又 1，1
13、BA平面 1C，故 1BA（） 2， 5， 1C由（）知， 1平面 1，13CABVS 1AB = 2310.【2016 高考辽宁文 18】(本小题满分 12分) 如图，直三棱柱 ， ， AA=1，点 M， N分别为 和 的中点。/90C2,ABC/AB/C()证明： 平面 ;MN/A()求三棱锥 的体积。/（椎体体积公式 V= Sh,其中 S为地面面积，h 为高）13【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（1）（法一）连结 ,ABC，由已知 =90,BAC三棱柱 -ABC为直三棱柱，所以
14、M为 中点.又因为 N为 中点所以 /N，又 平面 平面 ，因此 /平 面 6分（法二）取 的中点为 P，连结 MP，NP， ,分别为 /AB和 /C的中点， MP ,NP ,MP面 ,NP面 , MPN, 面 MPN面 A，MN 面 AC， MN面 C.()（解法一）连结 BN，由题意 N B,面 面 BC= , 面 NBC， = 12=1, 6AMNCANABCNBCVV.(解法 2) 1MAV 【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第
15、二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。11【2016 高考新课标文 19】 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABCA 1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1的中点12()证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（）由题设知 BC 1C,BCAC， 1AC,BC面 1A, 又 D面 A， DB,由题设知 045, 1= 09,即 1,又 DCB
16、, 1D面 , 1面 1BC，面 面 1；（）设棱锥 A的体积为 1V， AC=1，由题意得， 1V= 23= 1，由三棱柱 1BC的体积 =1， 1():V=1:1， 平面 1BD分此棱柱为两部分体积之比为 1:1.考点三 探索性问题12、（）如图 1, 45AC, 3,过动点 A作 BC,垂足 D在线段 BC上且异于点 B,连接 AB,沿 AD将BD折起,使 90(如图 2所示). ()当 的长为多少时,三棱锥 D的体积最大;()当三棱锥 B的体积最大时,设点 E, M分别为棱 , A的中点,试在棱 上确定一点 N,使得 E.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均
17、值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析: DAB CACDB图 2图 1ME.B1 C BADC1A1()解法 1:在如图 1所示的 ABC中,设 (03)Dx,则 CDx. 由 ADBC, 45知, 为等腰直角三角形,所以 3A. 由折起前 知,折起后(如图 2), , B,且 , 所以 平面 .又 90BC,所以 1()2BCDSx.于是 11(3)()(3)32ABCDBCDVSxx2()x, 当且仅当 3,即 1x时,等号成立, 故当 1x,即 BD时, 三棱锥 ABCD的体积最大. 解法 2: 同
18、解法 1,得 321(3)()(69)32ABCBVSxxx. 令 321()69)fxx,由 0f ,且 ,解得 1. 当 0,时, (0f;当 (1,3)时, ()fx. 所以当 1x时, )fx取得最大值. 故当 BD时, 三棱锥 ABCD的体积最大. () 解法 2:由()知,当三棱锥 ABCD的体积最大时, 1BD, 2AC. 如图 b,取 CD的中点 F,连结 M, F, E,则 . 由()知 A平面 ,所以 平面 . 如图 c,延长 E至 P点使得 ,连 P, ,则四边形 PF为正方形, 所以 B. 取 的中点 N,连结 ,又 为 的中点,则 EN D, 所以 N. 因为 平面
19、BC,又 面 BC,所以 M. 又 MF,所以 面 F. 又 面 ,所以 B. 因为 E当且仅当 E,而点 F是唯一的,所以点 是唯一的. CADB图 aEMxyz图 bCADB EFMN 图 cBDPCFNEBGMNEH图 dN 即当 12DN(即 是 CD的靠近点 的一个四等分点), ENBM. 连接 M, E,由计算得 52NBME, 所以 B与 是两个共底边的全等的等腰三角形 , 如图 d所示,取 的中点 G,连接 , , 则 平面 .在平面 中,过点 作 HGN于 , 则 EH平面 .故 EH是 与平面 B所成的角. 在 GN中,易得 2N,所以 E是正三角形 ,13.【2106 高
20、考福建文 19】（本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA 1=2，M 为棱 DD1上的一点。（1） 求三棱锥 A-MCC1的体积；（2） 当 A1M+MC 取得最小值时，求证：B 1M平面 MAC。解答：（I）点 到面 1MC的距离为 AD得：三棱锥 的体积 1 113323MCVSACDA（II）将矩形 1饶 1按逆时针旋转 90展开，与矩形 共面1AC，当且仅当点 是棱 1D的中点时， M1取得最小值在 MB中， 2212,5, 3ABBCD得： 21 1M同理： 1,C面 A14.【2102 高考北京文 16】（本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90 ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1FCD，如图 2。
