1、 人教版义务教育教科书数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题教学目标1了解将军饮马及造桥选址两个常见类型2会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题3能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目教学重点难点1将实际问题抽象为数学问题2解答最短路径问题课时安排2课时教案 A、B第 1 课时教学内容将军饮马教学过程一、导入新课问题 1 如下图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？教师备课系统多媒体教案二、探究新知1将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识（1）把 A、B 两地抽
2、象为两个点；（2）把河边 l 近似地看成一条直线（下图）， C 为直线 l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小2尝试解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求（2）现在要解决的问题是：点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点
3、 B 的距离的和最短？（3）如何能把点 B 移到 l 的另一侧 B处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB与 CB的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点 B吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于l 的对称点 B，利用轴对称的性质，可以得到 CBCB（下右图）连接AB，则AB 与l 的交点即为所求3证明“最短”师生共同分析，合作证明“AC BC ”最短证明：如上右图，在直线 l 上的任一点 C（与点 C 不重合），连接人教版义务教育教科书数学八年级上册AC，BC，B C，由
4、轴对称的性质知：BCBC，BCBC ACBCACBCAB，AC BC ACBC在AB C中，AB ACBC， ACBCACBC 即 ACBC 最短提问：证明 ACBC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合），证明 ACBCACBC ？这里 “C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识三、巩固练习已知 P 是ABC 的边 BC 上的点，你能在 AB、AC 上分别确定一点 Q 和 R，使PQR 的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导四、课堂小结总结用数学解决实际问题的步骤第 2 课时教学内容造桥选址教学过程一、导入新课造桥选址问题：如下图，A 和 B
5、 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 教师备课系统多媒体教案二、探究新知1将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（下图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AMMNNB 最小？2尝试解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当 AMNB 最小时，AMMNNB 最小这样，问题就进一步转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM NB 最小？（2）如下左图
6、，将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到点 A，则 AAMN，AMNB ANNB这样，问题就转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，A NNB 最小？（3）如上右图，在连接 A，B 两点的线中，线段 AB 最短因此，线段 AB 与直线 b 的交点 N 的位置即为所求3证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线 b上另外任意取一点N ，过点N作NMa ，垂足为M，连接AM，AN，N B，证明AM MN NBAMMNNB你能完成这个证明吗？证明：如上右图，在AN B 中， A BA NBN， A NBNMNAMBNMN AMMN BNAM MNBN 即 AMMNBN 最小三、课堂小结归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择 人教版义务教育教科书数学八年级上册
