1、习 题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )tsint(cojRr其中 为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1） 由 知)tsint(cojRrxtsiy消去 t 可得轨道方程 22Ryx2） jrvtcossintdtR212)()(1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ，式中 的单位为 ， 的单位为 .求：jir)t3(t42rmts（1）质点的轨道；（2）从 到 秒的位移；（3） 和 秒两时刻的速度。0t101解：1）由 可知jir)2(42tx3y消去 t 得轨道方程为： 2)3y(x2） jirv2t8dji24)dt(1010 3） jv()v81-
2、3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ，式中 的单位为 ， 的单位为 .求：jirt2rmts（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：1） jirv2tdat2） 2121)t(4)t(v 1t2dvat 221nta1-4. 一升降机以加速度 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相a距为 ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。d解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为（1） 201tvy 图 1-4（2）2gh（3）1解之 dtga1-5. 一质量为 的小球在高度 处以初mh速度 水平抛出，求：0v（1）小球的
3、运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的 ， ， .tdrvt解：（1） 式（1）vx0式（2）gthyjir)-(t)0（2）联立式（1） 、式（2）得 20vgxhy（3） 而 落地所用时间 jirgt-vtd0gt所以 ji2ht0 jvtd2yx)gt(vv1122200()()gtdt h1-6. 路灯距地面的高度为 ，一身高为 的人在路灯下以匀速 沿直线行走。试证明人影的顶端作121v匀速运动，并求其速度 .2v证明：设人从 O 点开始行走， t 时刻人影中足的坐标为 ，人影中头的坐标为 ，由几何关系可得 1x2x图 1-6而 212hxtvx01所以，人影
4、中头的运动方程为 021212vhthx人影中头的速度 0212vhdtxv1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为 (m)，在 t 从 0 秒到 3 秒的时间间隔内，则24tx质点走过的路程为多少？解： 若 解的 tdtxv40vst12)2(01mx 8)4(33 m211-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度 ，斜面对cm20h水平的倾角 ，问它第二次碰到斜面的30 位置距原来的下落点多远( 假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰 撞时人射角等于反射角)。 图 1-8解：小球落地时速度为 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标ghv20原点如图 （1）006cosvx 2006cos
5、16costgtx（2）iny 0ininvy第二次落地时 gt2所以 mgvtgtvx 8.0260cos2160cos1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 ，设赤道上重力加速度为 .2s/cm4.3 2/s80.9解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 2Rg现在赤道上物体 R2104.37104.38921-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 ，并且 与水平面的夹角为 .试分别求出抛物线顶点及0v0落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度 ，顶点处切向加速度为 0。cos0v因此有： 22)(gg
6、v20cos在落地点速度为 0v20coscos201-11. 飞机以 的速度沿水平直线飞行，在离地面高 时，驾驶员要把物品投到s/m10v m98h前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为 有： xtv021gt联立方程解得： mx4705.7arcnhx1-12. 设将两物体 和 分别以初速 和 抛掷出去 与水平面的夹角为 ； 与水平面的夹ABAvBAvBv角为 ，试证明在任何时刻物体 相对物体 的速度是常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为jivA)sin(co0gtv0jivBgt)-sn(c
7、o00v jiA )sini(co- 00v与时间无关，故 相对物体 的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为 ，而气球以速度s/m0.49v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？s/m6.19v物体在任意时刻的速度表达式为 gtvy0故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度 smv8.9第三秒末物体速度 0v第四秒末物体速度 s8.91-14. 质点沿 在轴向运动，加速度 ， 为常数设从原点出发时速度为 ，求运动方程xkva 0v.)(tx解： kvdttvkd001tkev0te0
8、text)1(tkvx1-15. 跳水运动员自 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度 ，m0 2kva.求运动员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。140k解：取水面为坐标原点，竖直向下为 轴x跳水运动员入水速度 sghv1420dxtk2 xvkd010mx76.510ln1-16. 一飞行火箭的运动学方程为： ，其中 b 是与燃料燃烧速率有关的量，)1ln()ttbutx为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。u解：（1） )1ln(btudtxv（2） ta1-17. 质点的运动方程为： 式中 为正的常量。,2,sin,cos t
9、hztRytx 、hR求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为 22y这是一条空间螺旋线。thz在 O 平面上的投影为圆心在原点，半径为 R 的圆，螺距为 hxy（2） tRdtvsin2224hvzyx（3） tRaxcos2tRaysin0za2y思考题1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为 ，瞬时速率为 ，平均速度为 ，平均速率为 ，则它们之间vvvv的下列四种关系中哪一种是正确的?（1） ；（2） ；（3） ；（4）v, , , ,答： （3）1-2. 质点的 关系如图，图中 ， ， 三条线表示三txabc 个速度不同的运动问它们
10、属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速 度小？ 答： cbav1-3. 结合 图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。t答：平均加速度表示速度 在 时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和t方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4. 运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。 1-5. 如图所示，两船 和 相距 ，分别以速度 和 匀速直线行ABRAvB驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离图中 和 为已知。答：方法一 如图，以 A 船为参考系，在该参考系中船 A 是
11、静止的，而船 B 的速度 . AvB是船 B 相对于船 A 的速度,从船 B 作一条平行于 方向的直线 BC,它不与船 A 相交,这表明两船不v v会相碰.由 A 作 BC 垂线 AC,其长度 就是两船相靠最近的距离 minr sinmiRr作 FD/AB,构成直角三角形 DEF,故有vABsiisin在三角形 BEF 中,由余弦定理可得)cos(22BAAvRvrBAAB)(insi2min 方法二：两船在任一时刻 的位置矢量分别为tjirA)tsin)cos(Bvv(BBtR jirA )sini()css(- tvtvABA 任一时刻两船的距离为 22 )iin()oc( ttvRABA
12、B 令 0)(dtr Rvvt ABABAB 22)sini()coss(crBAA)(ni2min1-6. 若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （1） ， ；（2） ， ；（3） ，0dtrt0dtvt0dtat答: (1) 质点作圆周运动.(2) 质点作匀速率曲线运动.(3) 质点作抛体运动.1-7. 一质点作斜抛运动，用 代表落地时，.1t（1）说明下面三个积分的意义：.tvttvtytxd,d111 000（2）用 和 代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：AB.BAr,r答: 表示物体落地时 x 方向的距离tvtxd10表示物体落地时 y 方向的距离tty10表示物体在 时间内走过的几何路程.tvd101t抛出点到落地点的位移BAr抛出点到落地点位移的大小BAd抛出点到落地点位移的大小BAr
