1、高中数学必修 2第一章 立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱EDCBA AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、
2、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 EBAP几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角
3、形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了
4、物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， 为斜高，l 为母线）hchS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21cS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr
5、圆 柱 表 r圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 2Shr圆 柱 13VSh锥 hV231圆 锥1()3台 ()()r圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球 34R球 面 24R特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， h为斜高，l 为母线）cS直 棱 柱 侧 面 积21正 棱 锥 侧 面 积)(1hcS正 棱 台 侧 面 积 r2圆 柱 侧lrS2圆 柱 表lS圆 锥 侧 面 积l圆 锥 表lRr)(圆 台 侧 面 积22RlrS圆 台 表柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 13锥 ()VSh台 2r圆 柱 hV231圆 锥 2
6、21()()3ShrRh圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V 球 = 34 ； S 球 面 = 24R第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义： 平面是无限延展的2 三个公理：（1） 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为ALBL = L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内.（2） 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3） 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
7、只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a与
8、 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
9、 a 来表示LACBAP L共面直线=ac2a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、 直线
10、与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、 两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂
11、直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。PaL2、 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个
12、平面的两条直线平行。2、 两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ；
13、当 180,9时， k； 当 90时， k不存在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当 1时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 点斜式： )(11xy直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横
14、坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bkxy，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式： 1122yx（ 212,xy）直线两点 1,yx， 2, 截矩式： 1xyab其中直线 l与 x轴交于点 (,0)a,与 y轴交于点 (0,)b,即 l与 x轴、 y轴的截距分别为 ,ab。 一般式： 0CByAx（A，B 不全为 0）注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： b（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； （6）两直线平行与垂直当 11:kyl， 22:xkyl时，2,/；l注意：利用斜率判断直线的平行与垂
15、直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 0:11CyBxAl0:22CyBxAl相交交点坐标即方程组 1的一组解。方程组无解 21/l ； 方程组有无数解 1l与 2重合（8） 两点间距离公式 ：设 12(,),xy， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 2211|()()ABxy （9） 点到直线距离公式 ：一点 0,xP到直线 0:1CByAxl的距离 20BACyxd（10） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01CByAx： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 2d第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的
16、点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)My()()当 ，点在圆外220r当 = ，点在圆上0()()xayb当 ，点在圆内220r（2） 一般方程 02FEyDxy当 42FED时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，半径为 FEDr4212当 0时，表示一个点； 当 042FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质
17、：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为 2BACbad，则有 相 离与rd； 相 切与lrd； 相 交与ld（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 2121:rbyaxC， 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 rR时两圆外离，此时有公切线四条；当 rd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 rRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 rd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 rR时，两圆内含； 当 0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
