1、第 1 页YN输出 n开始 1a2n， 1n32a20a结束（第 5 题）2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学注意事项绝密启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分.考试时间为120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位
2、置作答，在其它位置作答一律无效.5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.函数 的最小正周期为 .)42sin(3xy解析： =T2.设 (i 为虚数单位 )，则复数 的模为 .2)(iz z解析： 2234,4=5Z3.双曲线 的两条渐近线的方程为 .1962yx解析： 3=44.集合 共有 个子集.1,0解析： （个）3285.右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 n解析：经过了两次循环，n 值变为 3第 2 页6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成
3、绩(单位：环) ，结果如下：运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .解析：易知均值都是 90，乙方差较小，222222218909108905niisx7.现有某类病毒记作 ，其中正整数 可以任意选取，则 都取到奇数的概nmYX),7(,nmnm,率为 .解析：可以取的值有： 共 个m1,2345,67可以取的值有： 共 个n89所以总共有 种可能79符合题意的 可以取 共 个1,3574符合题意的 可以取 共 个n所以总共有 种可能符合题意420所以
4、符合题意的概率为 638.如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点，设三棱锥 的ABC1FED, 1,ACBADEF体积为 ，三棱柱 的体积为 ，则 .1V2V21:第 3 页解析： 11221344ADEABCVShShV所以 2:9.抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界).若点2xy1D是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 .),(PDyx2解析：易知切线方程为： 21yx所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 0,.5,0,1ABC易知过 C 点时有最小值 ，过 B 点时有最大值 0.510.设 分别是 的边 上的点， , ,若 (ED,AC,D21BE3
5、ACBD21为实数 )，则 的值为 .2121解析：易知 123363EABCABAC所以 1211.已知 是定义在 上的奇函数.当 时， ，则不等式 的解集用区)(xfR0xxf4)(2xf)(间表示为 .解析：第 4 页因为 是定义在 上的奇函数，所以易知 时，)(xfR0x2()4fxx解不等式得到 的解集用区间表示为xf5,12.在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ,右准OyC)0,(12bayxF线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 .若 ，lBBF1dl2d16d则椭圆的离心率为 .解析：由题意知221,bcabdc所以有 两边平方
6、得到 ，即26c246ac246ac两边同除以 得到 ，解得 ，即4a241e213e13.平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 图像上一动点，若点 之xOy),(aAP)0(1xyAP,间最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 .2解析：由题意设 则有001,Px2 222 2 20000020111+=+-Aaxaxaxaxa 令 01tx则 222=(t)PAfatt对称轴 1. 时，222min()448PAfaa， （舍去）132. 时，2a22min()8f第 5 页， （舍去）10a10a综上 或14.在正项等比数列 中， ， .则满足 的最大na215376a nnaa.
7、321321正整数 的值为 .n解析：225226671231235153.1,0132913029nnnnnaaaqnN第 6 页12,nN又 时符合题意，所以 的最大值为n12二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 14 分）已知 ， ， .cosina， cosinb， 0(1) 若 ，求证： ；2ba(2) 设 ，若 ，求 ， 的值.01c,c解：(1) osin,os,in,0ab2b2a22ab, ,10b(2) 0,cos,sin0,1in1ac得： ，得 2+ 2cos1cos202
8、3又cos05,616. （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，SABCSBC, . 过 作 ，垂足为 ，点 ,ABFFE分别是侧棱 , 的中点.G第 7 页求证：(1) 平面 平面 ;EFG/ABC(2) .BCSA解：(1) 分别是侧棱 的中点,S在平面 中， 在平面外BCEG平面EG A,SFS为 中点BEA在平面 中， 在平面外CE平面F与 相交于G在平面 中,E平面 平面 /ABC(2) 平面 平面S为交线B在 中，AFSB平面 CB与 相交于AFA在平面 中,S平面CBA17. （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 .设圆的半径为 1，
9、圆心在 上.xOy03,24lyx： l(1) 若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；C1AC第 8 页(2) 若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.CM2AOCa解：（1） 241yx与联立得到圆心坐标 3,2C圆方程为21xy切线斜率不存在时，不合题意设切线方程为 3k231k解得 或034切线方程为 或yx（2）设 ,Ca则圆方程为 2241xya设 0(,)My由题意 220xaAO22 20034yxy即 1x存在M圆 与圆 有交点2241ay2214xy即两圆相交或相切221d即 04(1)9a518. （本小题满分 16 分）第 9 页如图，游客
10、从某旅游景区的景点处下山至 处有两种路径. 一种是从沿 直线步行到 ，另一种是CAC先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 .AB现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后，乙从A乘缆车到 ，在 处停留 1min 后，再从 匀速步行到 . 假设缆车匀速直线运动的速度为B130m/min，山路 长为 1260m，经测量， ， .C12cos3Acos5C(1) 求索道 的长；B(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在 处相互等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1) 123c
11、os,s50,04sin,si13ACB+=A531246sisinco+sin=+5BCACiniis465=1204m3A(2) sinBC设乙出发 分钟后，甲到了 处，乙到了 E 处t8D则有 =50+1AD30Et根据余弦定理 22cosAA即 7410tt当 时， 有最小值0352t 2DE7DE第 10 页(3)设甲所用时间为 ，乙所用时间为 ，乙步行速度为t甲 t乙 V乙由题意 1260=min5t甲450t+=1+in3V乙 乙 乙12635乙解不等式得 043乙19. （本小题满分 16 分）设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和. 记 ，nad0dnS2nnSbc，其中 为实数.N*c(1) 若 ，且 ， ， 成等比数列，证明： ；01b24 2Nnkk,*(2) 若 是等差数列，证明： .n 0c解：（1） 1nad2nS时，0cnSb1243aSdba成等比124,b
