1、12013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设 ， ，当 时， （ ）cossin()xx20x()x（A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小（C）与 同阶但不等价的无穷小 （D）与 是等价无穷小【答案】 （C）【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】 ，cos1sin()xx21cosx:，即2in()x:当 时， ，00xsi()x，即 与 同阶但不等价的无穷小，故选（C）.1()2x()2、已知 由方程 确定，则 （ ） yf
2、cosln1xy2lim()1nf（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】 （A）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】当 时， .0x1y002()2(2)1(2)lim()lilimli (0)nnxxfffff f方程 两边同时对 求导，得cos()l1xyin0y将 ， 代入计算，得 0x1y()f2所以， ，选（A）.2lim()1nf3、设 ， ，则（ ）si0,)xf0()xFftd（A） 为 的跳跃间断点 （B） 为 的可去间断点x()F()Fx（C） 在 处连续不可导 （D） 在 处可导【答案】 （C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解
3、】 ， ，2002()sinsisinFtdttd(0)2F， 在 处连续.0()x， ，00()limxftdftF 00()()()lim2xftdftF ，故 在 处不可导.选（C）.()F4、设函数 ，若反常积分 收敛，则（ ）1()lnxexf1()fxd（A） （B） （C） （D）222002【答案】 （D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】 11()()()eefxdfxfxd由 收敛可知， 与 均收敛.， 是瑕点，因为 收敛，所以111()()eefxddx 11()edx121()(ln)lnee ef xx，要使其收敛，则 03所以， ，选 D.025、设 ，其中
4、函数 可微，则 （ ）()yzfxfxzy（A） （B） （C） （D）2f2()yf2()fx2()fxy【答案】 （A）【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】 ，22()()zyfxfxy1()()zfxyf22()()()()xffffyy ，故选（A）.11()ffxfyfxyf6、设 是圆域 位于第 象限的部分，记kD2(,)k，则（ ）()134kIyxdk（A） （B） （C） （D）1020I30I40I【答案】 （B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知， .130I（ ） ， （ ）2()0DIyxdyx4()0DIyxd0yx因此，选
5、 B.7、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】 （B）4【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵 、 按列分块， ，AC1(,)nA 1(,)nC由于 ，故B11 1(,)(,)n nnb 即 111,nnbb 即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故 ，A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，故选（B）.1B8、矩
6、阵 与 相似的充分必要条件是（ ）1ab20b（A） 0,2a（B） 为任意常数b（C） ,（D） 为任意常数2a【答案】 （B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由 的特征值为 2， ，0 可知，矩阵 的特征值也是 2， ，0.20bb1aAbb因此， 22112 400aEAaa将 代入可知，矩阵 的特0a1b征值为 2， ，0.b此时，两矩阵相似，与 的取值无关，故选（B）.5二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .10ln()lim2xx【答案】1
7、2e【考点】两个重要极限【难易度】【详解】 011 ln()ln(1)1ln()1ln()lim00 0ln()l(lim2lilixxx xx xx ee其中， 20000l()l(1)li1imlili2(1)2x xxx 故原式= 2e10、设函数 ，则 的反函数 在 处的导数 .1()xtfed()yfx1()fy00ydx【答案】 1e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知， (1)0f.101()xxyxdyddfxeyee11、设封闭曲线 的极坐标方程方程为 ，则 所围平面图形的面积是 .Lcos3()6rL【答案】 12【考点】定积分的几何
8、应用平面图形的面积6【难易度】【详解】面积 62266600 011cos1sin()cos3()212Srddd 12、曲线 上对应于 点处的法线方程为 .2arctn,l1xy1t【答案】 04【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解】由题意可知， ，故1221()/tdytttx1tdyx曲线对应于 点处的法线斜率为 .1t 1k当 时， ， .t4xln2y法线方程为 ，即 .l()ln204yx13、已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的321xye2xe23xe3 个解，则该方程满足条件 ， 的解为 .0xy01xy【答案】 32xye【考点】简单的二阶常系数
9、非齐次线性微分方程【难易度】【详解】 ， 是对应齐次微分方程的解.312xye23xye由分析知， 是非齐次微分方程的特解.*故原方程的通解为 ， 为任意常数.321()xxyCee12,C由 ， 可得 ， .0xy0x 207通解为 .32xxye14、设 是 3 阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若()ijAa ijija，则 .0,12,ijij【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】【详解】 *0TTijijijijaAaAAE等式两边取行列式得 或2301当 时， （与已知矛盾）T所以 .1A三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答
10、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、 （本题满分 10 分）当 时， 与 为等价无穷小，求 和 的值.0x1cos2cos3xxnana【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】【详解】 0 0cos64cos2111cos2cos3limlimn nx xxaxa1364niix20cos1scoli()nxax故 ，即 时，上式极限存在.2n8当 时，由题意得2n0 01coscos36cos1s4co23614limlim88nx xxxaaa 72,n16、 （本题满分 10 分）设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， ， 分别是 D 绕 x 轴，13yxa(0)xxV
11、yy 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值.1yVa【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，155233300()aaxdx.1773330062aayVd因 ，故 .yx7533aa17、 （本题满分 10 分）设平面区域 D 由直线 ， ， 围成，求3xyx8y2Dxdy【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意 ，3286yxy16328xyx故 236822203xxDxdydd26434021416()83x18、 （本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且()fx1,，证明：(1)f9（）存在 ，使得 ；(0,1)()1f（）存在 ，使得
12、.()f【考点】罗尔定理【难易度】【详解】 （）由于 在 上为奇函数，故()fx1,(0)f令 ，则 在 上连续，在 上可导，且 ，()FxfF0,1(1)0Ff.由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 .00()（）考虑 ()1()xxxfxfeffefexe令 ，由于 是奇函数，所以 是偶函数，由（）的结论可知，()()xgfe()f ()fx， .由罗尔定理可知，存在 ，使得1f 0g(1,)，即 .()0()ff19、 （本题满分 10 分）求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.331(0,)xyxy【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为(,)
13、Mxy 2dxy构造拉格朗日函数 233(1)Fxy由 得 233()01xyyx点 到原点的距离为 ，然后考虑边界点，即 ， ，它们到原点的(1,)2d(1,0),距离都是 1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 ，最短距离为 1.21020、 （本题满分 11 分）设函数 1()lnfx（）求 的最小值；（）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限.nx1lnxlimnx【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】【详解】 （）由题意， ，()lnfx0x21()xfx令 ，得唯一驻点()0fx1当 时， ；当 时， .1()fx()fx所以 是 的极小值点，即最小值点，最小值为 .x (1)f（）由（）知 ，又由已知 ，可知 ，即1lnx1lnx1nx1nx故数列 单调递增.nx又由 ，故 ，所以数列 有上界.1lnln10nxxenx所以 存在，设为 A.limnx在 两边取极限得 1ln1lnA在 两边取极限得 lnxl所以 即 .1lAlim1nx21、 （本题满分 11 分）
