1、 第 1 页 共 9 页2013 年课标版模拟试卷（1）理科数学试题本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷和答题卡交回参考公式：柱体的体积公式 ，其中 为柱体的底面积， 为柱体的高VShh锥体的体积公式 ，其中 为柱体的底面积，
2、 为锥体的高13标准差 ，其中 为样本 的平均数2221()()()nsxxxn 12,nx一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 为虚数单位，则复数 等于i i2A B C D 251i512i512i52命题 ，则 是:p2,xRpA B2,xRC D ,113已知 ， ， ，若 ，则(2)a(0,)b(,)kc()abckA B 8C D4一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A9 B10C11 D 235为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的 6 次数学测
3、试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是 ， ，则下列说法正确的是x甲 乙A ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛x甲 乙B ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛甲 乙C ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛甲 乙D ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛甲 乙6已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为,xy1x2zxy第 5 题图 2 21 31正视图 侧视图俯视图 第 4 题图第 2 页 共 9 页A B C D312567已知集合 ， ,且 ,则|4|MxNxa2MNbaA B C D67898对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件： 在 内是单调的；当定
4、()yf,mn()fx,mn义域是 时， 的值域也是 ，则称 是该函数的“和谐区间” 若函数,mnx,存在 “和谐区间” ，则 的取值范围是1()0afxaA B C D0, (,2)15(,)2(1,3)二、填空题：本大共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分(一)必做题(913 题)9已知函数 是奇函数，当 时， = ，则 的值等于 (yfx0x()fx2log()4f10已知抛物线 上一点 P 到焦点 的距离是 ，则点 P 的横坐标是_ 24F511函数 的最小正周期为 ，最大值是 sin3yx12某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得 等级的概率分
5、别为 、 、 ，A542且三门课程的成绩是否取得 等级相互独立.记 为该生取得 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学AA期望 的值为_.E13观察下列不等式： ； ； ；121261362则第 个不等式为 5(二)选做题(1415 题，考生只能从中选做一题)14 （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 过点 且与直线 （ ）垂直，则直线 极坐l(1,0)3Rl标方程为 15 （几何证明选讲）如图， 是平行四边形 的边 的MABCD中点，直线 过点 分别交 于点 l,AD,EF若 ，则 3ADE:FC三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （
6、本题满分 12 分）0123P625ab415第 15 题图FA BCDEMl第 3 页 共 9 页如图，在 中， ， 为 中点， .ABC45DBC2记锐角 且满足 D7cos2（1）求 ； cos（2）求 边上高的值17 （本题满分 12 分）数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，且na12nSnb1a(0)d成等比数列13,b（1）求数列 与 的通项公式；nb（2）设 ，求数列 的前 项和 cancnT18 （本题满分 14 分）如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，ABODAB且 ，点 为圆 上一点，且 13ADC3C点 在圆 所在平面上的正投影为点
7、， PP（1）求证： ；（2）求二面角 的余弦值PBA19 （本题满分 14 分）某工厂生产某种产品，每日的成本 （单位：万元）与日产量 （单位：吨）满足函数关系式CxPA BDCO第 18 题图第 16 题图C BDA第 4 页 共 9 页，每日的销售额 （单位：万元）与日产量 的函数关系式3CxSx35, (06)814, k已知每日的利润 ，且当 时， LSC2xL（1）求 的值；k（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值20 （本题满分 14 分）设椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率 21(0)xyab(2,0)(,AB32e过该椭圆上任一点 作 轴，垂足为 ，点
8、在 的延长线上，且 PQxCQP|QPC（1）求椭圆的方程；（2）求动点 的轨迹 的方程；CE（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直线A,AB2xRD与曲线 的位置关系，并证明你的结论D21 （本题满分 14 分）设 ， ，其中 是常数，且 ()xge()(1)()fgxagx,a01（1）求函数 的极值；（2）证明：对任意正数 ，存在正数 ，使不等式 成立；1xe（3）设 ，且 ，12,+R12证明：对任意正数 都有： ,a1212a2013 年课标版模拟试卷（1）理科数学试题参考答案和评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分
9、题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B C D C B A二、填空题：本大共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分9 10 11 （2 分） ， （3 分） 12 134591152620314 （或 、 ） 15 sin()cos()1cosin11:4三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本题满分 12 分）解析：（1） ， ，27coss52cs5第 5 页 共 9 页 ， -5 分(0,)23cos5（2）方法一、由（1）得 ， 24in1cos5 ，4CADBC ， -9 分2sinsi()
10、sisin410在 中，由正弦定理得： ，iniDAC ， -11 分21sin50CDA则高 -12 分4sihB方法二、如图，作 边上的高为 AH在直角 中，由（1）可得 ，ADH3cos5DB则不妨设 则 -8 分5,m3,4m注意到 ，则 为等腰直角三角形，所以 ，=4CCHA则 -10 分3所以 ，即 -12 分117 （本题满分 12 分）解析：（1）当 ，时 ， -2 分2n12nnnaS又 ，也满足上式，11aS所以数列 的通项公式为 -3 分nn，设公差为 ，则由 成等比数列，1bd13,b得 ， -4 分2()(0)d解得 （舍去）或 ， -5 分0所以数列 n的通项公式为
11、 -6 分n（2）由（1）可得 ， -7 分312nnbTaa 1235812n， -8 分1nn两式式相减得， -11 分121332nnnT， -12 分()52nnnn第 16 题图C BDAH第 6 页 共 9 页18 （本题满分 14 分）解析：（）法 1：连接 ，由 知，点 为 的中点，CO3ADBAO又 为圆 的直径， ，AB由 知， ，360 为等边三角形，从而 -3 分点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，P 平面 ，又 平面 ，D ，-5 分C由 得， 平面 ，AODPAB又 平面 ， -6 分BC（注：证明 平面 时，也可以由平面 平面 得到，酌情给分 ）ACB法 2： 为
12、圆 的直径， ，在 中设 ，由 ， 得， ， ， ，Rt1333D423BC ，则 ，DCBABA ，即 -3 分DO点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，PO 平面 ，又 平面 ，C ， -5 分由 得， 平面 ，PAB又 平面 ， -6 分AB法 3： 为圆 的直径， ，在 中由 得， ，RtC330设 ，由 得， ， ，1DD2C由余弦定理得， ，22cosB ，即 -3 分2BAO点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，PO 平面 ，又 平面 ，A ， -5 分C由 得， 平面 ，P又 平面 ， -6 分CD（）法 1：（综合法）过点 作 ，垂足为 ，连接 -7 分EBEC由（1）知 平面
13、，又 平面 ，A ，又 ，DPB 平面 ，又 平面 ，E ，-9 分C 为二面角 的平面角 -10 分由（）可知 ， ，33PDB（注：在第（）问中使用方法 1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分 ） ，则 ，32PB92E在 中， ，RtC36tan2C ，即二面角 的余弦值为 -14 分15cosDEPBA15PA BDCOPA BDCOE第 7 页 共 9 页法 2：（坐标法）以 为原点， 、 和 的方向分别为 轴、 轴和 轴的正向，建立如图所示的DCBDPxyz空间直角坐标系 -8 分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明 ，酌情给分 ）CDAB设 ，由 ， 得， ，
14、 ，1A33A3 ， ， ， ，(0,)(,0)C(,0)(,) ， ， ，PPB0,由 平面 ，知平面 的一个法向量为 -10 分D(,)设平面 的一个法向量为 ，则(,)xyzn，即 ，令 ，则 ， ，0Bn30xyz13x1z ，-12 分(,1)设二面角 的平面角的大小为 ，CPA则 ，-13 分315cos|5Dn二面角 的余弦值为 -14 分B19 （本题满分 14 分）解析：（）由题意可得： ， -2 分2,0681,kxxL因为 时， ，所以 . -4 分2x32解得 . -5 分18k（）当 时， ，所以06182Lx-8 分182=()268Lx xx（ ） （ ）当且仅当
15、 ，即 时取得等号 -10 分1()x5当 时， -12 分6所以当 时， 取得最大值 5xL6所以当日产量为 吨时，每日的利润可以达到最大值 万元 -14 分620 （本题满分 14 分）解析：（1）由题意可得 ， ， ， -2 分2a3cec ，221bac所以椭圆的方程为 -4 分24xy（2）设 ， ，由题意得 ，即 ， -6 分(,)C0(,)P02xy012xyPA BDCO yzx第 8 页 共 9 页又 ，代入得 ，即 2014xy221()4xy24xy即动点 的轨迹 的方程为 -8 分CE（3）设 ，点 的坐标为 ，(,)mnR,t 三点共线， ，,A/AC而 ， ，则 ，
16、2,(4,)t(2)ntm ， 4t点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， -10 分R(,)2nmD(,)2直线 的斜率为 ，CD224nmk而 ， ，24n22n ， -12 分k直线 的方程为 ，化简得 ，C()myxn40xny圆心 到直线 的距离 ，OD242dr所以直线 与圆 相切 -14 分21 （本题满分 14 分）解析：（1） ， -1 分()(1)()fxgagx由 得， ，()0f ，即 ，解得 ，-3 分xa0xa故当 时， ；当 时， ；()f ()f当 时， 取极大值，但 没有极小值-4 分x（2） ，11xe又当 时，令 ，则 ，0()xhe()10xhe故 ，()hx
17、因此原不等式化为 ，即 ， -6 分1xa()xa令 ，则 ，()()xge)1ge由 得： ，解得 ，0xln()当 时， ；当 时， ln1a(0x()0gx故当 时， 取最小值 ， -8 分()x)ln1aa令 ，则 )l,s221()()s 故 ，即 (0aln(1ln()0ga第 9 页 共 9 页因此，存在正数 ，使原不等式成立 -10 分ln(1)xa（3）对任意正数 ，存在实数 使 ， ，2,12,x1xae2x则 ， ，12112xae 原不等式 ，21212xxe-14 分11()()()gxg由（1） 恒成立，fa故 ，xga取 ，1212,a即得 ，()()()gx即 ，故所证不等式成立 -14 分1212xee
