1、12013 年理科数学 全国卷 答案与解析一、选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 ，则 ( )2|0,|5AxBxA.AB= B.AB=R C.BA D.AB考点 ：集合的运算解析：A=(- ,0)(2,+ ), AB=R.答案：B2.若复数 满足 ，则 的虚部为 ( )z(34)|3|izizA. B. C.4 D.455考点 ：复数的运算解析：由题知 z=|3|4i=2(3)4ii= 5i，故 z 的虚部为 45.答案：D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事
2、先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样考点 ：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C4.已知双曲线 ：21xyab（ 0,ab）的离心率为 52，则 C的渐近线方程为A.14y B. 3 C. D. yx2x考点 ：双曲线的性质2解析：由题知， 52ca，即 4=2ca=2b，2a= 14， b= 2， C的渐近线方程为12yx.答案：C5.运行如
3、下程序框图，如果输入的 1,3t，则输出 s 属于A. B. C. D.3,45,24,32,5考点 ：程序框图解析：有题意知，当 1,)t时， st,)，当 1,3t时， 24st3,，输出 s 属于-3,4.答案：A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A. B. C. D. 350cm386c3172cm32048cm考点 ：球的体积的求法解析：设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距离为 R-2，则22()4R
4、，解得 R=5，球的体积为345.30cm答案：A7.设等差数列 的前 项和为 ，则 ( )na11,0,3nmmSSA.3 B.4 C.5 D.63考点 ：等差数列解析：有题意知 mS= 1()2ma=0， 1a= m=（ S- 1m）=2，1ma= - =3，公差 d= 1- =1，3= 1= ， =5.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D168816816考点 ：三视图解析：由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为2 长方体，故其体积为 214 =168.答案：A9.设 为正整数， 2()mxy展开
5、式的二项式系数的最大值为 a， 21()mxy展开式的二项式系数的最m大值为 b，若 ，则 ( )137abA.5 B.6 C.7 D.8考点 ：二项式的展开式解析：由题知 a= 2mC， b= 12，13 2mC=7 1，即 3(2)!m= 7(1)!，解得 m=6.答案：B10.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点。若2:1(0)xyEab(3,0)F,AB的中点坐标为 ，则 的方程为 ( )A(,)4A. B. C. D.214536xy21367xy2178xy219xy考点 ：椭圆的概念与性质 解析：设 12(,)(,)xy，则 12x=2， 12y=2，21ab 2a
6、b 得 12121212()()0xxyy， ABk= 12yx= 12()bay= ，又 ABk= 3= ，2ba= 1，又 9= 2c= 2ab，解得2b=9， a=18，椭圆方程为289x.答案：D11.已知函数2,0ln(1)x，若| ()fx| a，则 的取值范围是()fA (,0 B , C D,2,0考点 ：解不等式组，对数函数解析：| ()fx|=2,0ln(1)x，由| ()fx| a得， 2xa且 0ln(1)xa，由 20a可得 ，则 a-2，排除，当 =1 时，易证 ln(1)x对 0x恒成立，故 =1 不适合，排除 C.答案：D12.设 的三边长分别为 ， 的面积为
7、， ，若nABC,nabcnABCnS1,23， ，则( )11,2bca111,22nnnnbaA.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n1 为递增数列， S2n为递减数列 D.S2n1 为递减数列，S 2n为递增数列考点 ： 的求法5解析：略答案：B二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.已知两个单位向量a，b的夹角为 60，c t a(1t)b ，若 bc=0，则t=_.考点 ：向量的数量积解析： Ac= (1)ttab= 2(1)t= 1t= 2t=0，解得 t=2.答案： t=214.若数列 na的前 n 项和为 Sn 23a，则数列 na的通项公式是 na=_.考点 ：等
8、比数列解析：当 n=1 时， 1a=S= 123，解得 1a=1，当 2 时， n= 1n= ( 13n)= 12na，即 n= 12a， na是首项为 1，公比为2 的等比数列， na=().答案： =()n15.设当 时，函数 取得最大值，则 _x()sin2cosfxxcos考点 ：求三角函数的最值解析： ()fx=sin2cosx= 5(sics)xx令 cos= 5， i，则 ()f= inoics)x= 5in()，当 x=2,kz，即 x=2,kz时， ()f取最大值，此时 =2,k， cos= ()=sin= 25.答案： cs= (2)k=si=16.若函数 )fx= 21x
9、ab的图像关 于直线 对称，则 ()fx的最大值是_.2x6考点 ：图像的性质解析：由 ()fx图像关于直线 x=2 对称，则0= 13=()3ab，0= ()5f= 25，解得 =8， b=15， x= 2)(81)x， (f= 2(8)x= 324(67)x= 42)5)x当 (, )(2, 25)时， ()fx0，当 x( ,2)( ,+)时， 0， ()f在（， ）单调递增，在（ 25，2）单调递减，在（2， 25）单调递增，在（ 25，+）单调递减，故当 x= 和 x= 时取极大值， ()f=()f=16.答案：16三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满
10、分12 分）如图，在ABC中，ABC90 ，AB= ，BC=1，P为ABC内一点，3BPC 90(1)若 PB= ，求 PA；(2) 若APB150 ，求 tanPBA12考点 ：余弦定理，正弦定理解析：（）由已知得，PBC= o60，PBA=30 o，在PBA 中，由余弦定理得 2PA=o132cs304= 74，PA= 2；，7（）设PBA= ，由已知得，PB= sin，在PBA 中，由正弦定理得，oo3sinsin150()，化简得， 3co4si， ta= 4， taPBA= .18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB ，AB=A A1，BA A
11、1=60.（）证明 ABA 1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。考点 ：线与线垂直证明，线与面所成角的求法解析：（）取AB中点E，连结CE， 1AB， E，AB= 1A， 1B= 06， 是正三角形， AB， CA=CB， CEAB， 1CE=E，AB面 1CEA， AB A； （）由（）知 ECAB， 1AB，又面 ABC面 1B，面 ABC面 1AB=AB，EC面 1AB，EC 1EA，EA，EC， 1两两相互垂直，以 E 为坐标原点，的方向为 x轴正方向，| EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系 Oxy
12、z，有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(1,0,0),则 BC=（1,0， 3）,1B= A=(1,0, ), C=(0, , ), 9 分设 n=(,)xyz是平面 1B的法向量，则 10，即 30xzy，可取 n=（ 3，1，-1），8 1cos,ACn= 1|05，直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105. 19.（本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如
13、果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1 ）求这批产品通过检验的概率；（2 ）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望。考点 ：求事件发生的概率、期望解析：设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的
14、1 件产品是优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB)(CD),且 AB 与 CD 互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= 3244()()+ 2= 364.（）X 的可能取值为 400,500,800，并且P(X=400)=1- 3441()()2C=16，P(X=500)= 16，P(X=800)= 341()2C= ，X 的分布列为X 400500800P 1614EX=40016+500 +800 =506.25 20.(本小题满分 12 分)已知圆 M: 2(1)xy,圆 N: 2(1)9xy,动圆 P与 M外
15、切并且与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线 C.9（）求 C 的方程；（） l是与圆 P,圆 M都相切的一条直线， l与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 考点 ：椭圆的概念，直线与椭圆位置关系 解析：由已知得圆 的圆心为 （-1，0）,半径 1r=1，圆 N的圆心为 (1,0),半径 2r=3.设动圆 P的圆心为 （ x， y），半径为R.（）圆 与圆 M外切且与圆 N内切，|PM|+|PN|= 12()()Rr= 12r=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为21()43xyx.（）对于曲线
16、C上任意一点 P（ x， y），由于|PM|-|PN|= 2R2，R2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为 2()4，当 l的倾斜角为 09时，则 l与 y轴重合，可得|AB|= 3.当 l的倾斜角不为 时，由 1rR知 l不平行 x轴，设 l与 x轴的交点为Q，则 |PM= 1Rr，可求得Q（-4，0），设 l： (4)ykx，由 l于圆M相切得 2|31k，解得 24k.当 k= 24时，将 2代入2()3xyx并整理得 2780x，解得 1,2x=67，|AB|= 212|k= 87.当 k= 4时，由图形的对称性可知|AB|= 1，综上，|AB|=
17、187或|AB|= 23.21.（本小题满分共 12 分）已知函数 ()fx 2ab， ()gx )ecd，若曲线 ()yfx和曲线 ()ygx都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 4y（）求 a， b， c， d的值；（）若 x2 时， ()fx k，求 的取值范围。10考点 ：求函数的导数、解不等式解析：（）由已知得 (0)2,(),(0)4,()fgfg，而 ()fx=2b， x=ecd， a=4， b=2， c=2， d=2；4 分（）由（）知， 2()4f， ()2(1)xe，设函数 ()Fx=kgx= (14xke（ ） ，=2e=2)x，有题设可得 (0)0，即 k，
18、令 Fx=0 得， 1= ln， 2x=2，（1）若 2ke，则2 10，当 1(2,)x时， ()Fx0，当 1(,)x时，()x0，即 ()x在 ,)单调递减，在 1单调递增，故 在 = 取最小值 1(F，而1F= 214= 1()x0，当 x2 时， ()F0，即 f (kgx恒成立，(2)若 ke，则 x= 22)ee，当 x2 时， ()0， (x在(2,+)单调递增，而 (2)F=0，当 2 时， Fx0，即 )f kg恒成立，(3)若 ke，则 (2)= 2e= 2()e0，当 x2 时， fx (k不可能恒成立，综上所述， k的取值范围为1, 2e.22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。 （）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外3接圆的半径。考点 ：弦切定理，三角形的性质，三角形与外接圆的关系等解析：（）连结DE，交BC与点G.
