1、2014 年中考数学分类汇编与圆有关的压轴题2014 年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者 .【题 1】 （2014 年江苏南京,26 题）如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=4cm ，BC=3cm ，O 为ABC 的内切圆（1）求O 的半径；（2）点 P 从点 B 沿边 BA 向点 A 以 1cm/s 的速度匀速运动，以 P 为圆心，PB 长为半径作
2、圆，设点 P 运动的时间为 t s，若P 与O 相切，求 t 的值【分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得 t 的值【解】：（1）如图 1，设O 与 AB、BC、CA 的切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CFO 为 ABC 的内切圆
3、，OFAC，OEBC，即 OFC=OEC=90C=90，四边形 CEOF 是矩形，OE=OF，四边形 CEOF 是正方形设 O 的半径为 rcm，则 FC=EC=OE=rcm，在 RtABC 中， ACB=90， AC=4cm，BC=3cm，AB= =5cmAD=AF=ACFC=4r，BD=BE=BC EC=3r，4r+3r=5，解得 r=1，即O 的半径为 1cm（2）如图 2，过点 P 作 PGBC，垂直为 GPGB=C=90， PGACPBGABC， BP=t，PG= ，BG= 若 P 与 O 相切，则可分为两种情况，P 与O 外切，P 与O 内切当P 与O 外切时，如图 3，连接 OP
4、，则 OP=1+t，过点 P 作 PHOE，垂足为 HPHE=HEG=PGE=90，四边形 PHEG 是矩形，HE=PG，PH=CE，OH=OEHE=1 ，PH=GE=BC ECBG=31 =2 在 RtOPH 中，由勾股定理， ，解得 t= 当P 与O 内切时，如图 4，连接 OP，则 OP=t1，过点 O 作 OMPG，垂足为 MMGE=OEG=OMG=90，四边形 OEGM 是矩形，MG=OE，OM=EG，PM=PGMG= ，OM=EG=BCECBG=31 =2 ，在 RtOPM 中，由勾股定理， ，解得 t=2综上所述，P 与O 相切时，t= s 或 t=2s【点评】：本题考查了圆的性
5、质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目【题 2】 （2014 泸州 24 题）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是 O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2=CECA（1）求证：BC=CD；（2）分别延长 AB，DC 交于点 P，过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于点 F，若 PB=OB，CD= ，求 DF 的长【考点】： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理菁优网版权所有【分析】： （1）求出CDECAD ，CDB=DBC 得出结论（2）连接 OC，先证 ADOC，由平行线分线段
6、成比例性质定理求得 PC= ，再由割线定理 PCPD=PBPA求得半径为 4，根据勾股定理求得 AC= ，再证明AFDACB，得 ，则可设FD=x，AF= ，在 RtAFP 中，求得 DF= 【解答】： （1）证明：DC 2=CECA， = ，CDECAD，CDB=DBC，四边形 ABCD 内接于O，BC=CD；（2）解：如图，连接 OC，BC=CD，DAC=CAB，又 AO=CO，CAB=ACO，DAC=ACO，ADOC， = ，PB=OB，CD= ， =PC=4又 PCPD=PBPAPA=4 也就是半径 OB=4，在 RTACB 中，AC= = =2 ，AB 是直径，ADB=ACB=90F
7、DA+BDC=90CBA+CAB=90BDC=CABFDA=CBA又AFD= ACB=90AFDACB在 RtAFP 中，设 FD=x，则 AF= ，在 RTAPF 中有， ，求得 DF= 【点评】： 本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解【题 3】 （2014济宁 21 题）阅读材料：已知，如图（1） ，在面积为 S 的ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆 O 的半径为 r连接 OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形S=SOBC+SOAC+SOAB= BCr+ ACr+ ABr= （a+b+c ）r r=
8、（1）类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆） ，如图（2） ，各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径 r；（2）理解应用：如图（3） ，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB=21，CD=11，AD=13，O 1 与O 2 分别为 ABD 与BCD的内切圆，设它们的半径分别为 r1 和 r2，求 的值【考点】 ：圆的综合题菁优网版权所有【分析】 ：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA，OB，OC，OD ，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似仿照证明过程，r
9、 易得（2） （1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点 D 作 AB 垂线，进一步易得 BD 的长，则 r1、r 2、 易得【解答】 ：（1）如图 2，连接 OA、OB、OC、ODS=SAOB+SBOC+SCOD+SAOD= + + + = ，r= （2）如图 3，过点 D 作 DEAB 于 E，梯形 ABCD 为等腰梯形，AE= = =5，EB=ABAE=215=16在 RtAED 中，AD=13，AE=5，DE=12，DB= =20SABD= = =126，SCDB= = =66， = = = 【点评】 ：本题
10、考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养【题 4】 （2014.福州 20 题）如图，在ABC 中，B=45，ACB=60 ， AB32，点 D 为 BA 延长线上的一点，且D= ACB，O 为ABC 的外接圆.（1）求 BC 的长；（2）求O 的半径.【解析】 BC3.（2）由（1）得，在 RtACE 中，EAC=30 ，EC= 3，AC= 23.D= ACB，B= B ，BACBCD. ABCD，即 .DM=4.O 的半径为 2.【考
11、点】：1. 锐角三角函数 定义；2.特殊角的三角函数值； 3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5. 圆内接四边形的性质；6.含 30 度角直角三角形的性质；7.勾股定理.【题 5】 （2014.广州 25 题）如图 7，梯形 中， ， ， , ， ，点 为线段 上一动点（不与点 重合）， 关于 的轴对称图形为 ，连接 ， 设 ， 的面积为 ， 的面积为 （1）当点 落在梯形 的中位线上时，求 的值；（2）试用 表示 ，并写出 的取值范围；（3）当 的外接圆与 相切时，求 的值【答案】解：（1）如图 1， 为梯形 的中位线，则 ，过点 作 于点 ，则有：在 中，有 在 中， 又 解得：（
12、2）如图 2， 交 于点 ， 与 关于 对称，则有： ，又 又 与 关于 对称，（3）如图 3，当 的外接圆与 相切时，则 为切点.的圆心落在 的中点，设为则有 ，过点 作 ，连接 ，得 则又解得： （舍去） 【题 6】 （2014湖州 24 题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t0 ）（1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示） ，求证：PE=P
13、F；（2）在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示 b；（3）作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q、O 、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】：（1）连接 PM，PN ，运用 PMFPNE 证明，（2）分两种情况当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0t1 时， 点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当 1t 2 时，当 t2
14、 时，三角形相似时还各有两 种情况，根据比例式求出时间 t【解答】：证明：（1）如图，连接 PM，PN ，P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，PMMF，PN ON 且 PM=PN，PMF=PNE=90且 NPM=90，PEPF，NPE=MPF=90MPE，在PMF 和PNE 中， ，PMFPNE（ASA） ，PE=PF，（2）解：当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图，由（1）得PMFPNE， NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1，ba=1+t（t 1） =2，b=2+a ，0t1 时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原
15、点上，同理可证PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ON NE=1t，b+a=1+t+1t=2，b=2a，（3）如图 3， （）当 1t 2 时，F（ 1+t，0） ，F 和 F关于点 M 对称，F（ 1t，0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q（ 1 t，0）OQ=1 t，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1当OEQ MPF = = ，解得，t= ，当OEQMFP 时， = ，= ，解得，t= ，（）如图 4，当 t2 时，F（ 1+t，0） ，F 和 F关于点 M 对称，F（ 1t，0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于
16、点 Q，Q（ 1 t，0）OQ= t1，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t 1当OEQ MPF = = ，无解，当OEQ MFP 时， = ， = ，解得，t=2 ，所以当 t= ，t= ，t=2 时，使得以点 Q、O 、E 为顶点的三角形与以点 P、M 、F 为顶点的三角形相似【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系【题 7】 （2014 宁波 26）木匠黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、O 2 分别在 CD、A
17、B 上，半径分别是 O1C、O 2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设 CE=x（ 0x1） ，圆的半径为 y求 y 关于 x 的函数解析式；当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大【考点】： 圆的综合题【分析】： （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分
18、别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用O1O2E 为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用 AOMOFN 后对应边成比例整理方程，进而可求 r 的值（3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度则选择最小跨度，取其 ，即为半径由 EC 为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断
19、大小，而后分别讨论结论已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径另与前三方案比较，即得最终结论【解答】： 解：（1）方案一中的最大半径为 1分析如下：因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）如图 1，方案二中连接 O1，O 2，过 O1 作 O1EAB 于 E，方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N恰为O 与 AB，BF 的切点方案二：设半径为 r，在 Rt O1O2E 中，O 1O2=2r，O 1E=BC=2，O 2E=ABAO 1CO2=32r，（2r） 2=22+（32r ） 2，解得 r= 方案三：设半径为 r，在AOM 和OFN 中，AOMOFN ， ， ，解得 r= 比较知，方案三半径较大（3）方案四：EC=x，新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x
