1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集 ，集合 ，则 （ ）2|xNU5|2xNAACUA. B. C. D. 5,（2）已知 是虚数单位， ,则“ ”是“ ”的（ ）iRba1biba2)(A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 90 B. 129 C. 132 D. 1382cm2c2cm2cm4.为了得到函数 的图像
2、，可以将函数 的图像（ ）xy3cosin xy3sin2A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 44C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 12125.在 的展开式中，记 项的系数为 ，则46)(yxnmyx),(nf（ ）)3,0(,)0,3(ffff）A.45 B.60 C.120 D. 2106.已知函数 （ ）则且 ,3)(2)1(,)(23 fffcbxaxfA. B. C. D. c696c9c7.在同一直角坐标系中，函数 的图像可能是（ ）xgxf aalo)(,0()8.记 ， ，设 a,b 为平面向量，则（ ）,max,xyy,min,yxA. in|,|,|bab
3、B. iC. 222i|,|aD. mnbab9.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个篮球 ，从乙盒中随机抽mn3,mn取 个球放入甲盒中.,2i（a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ；1,2i（b）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 .i ,ip则A. B.1212,pE1212,EC. D. p10.设函数 ， ， ，记21)(xf),()2xf|sin|3(xf9,10,9iai， 则( )|)()| 89120 fafaI kkkkkk .32A. B. C. D. 321I312I231I123II2、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4
4、 分，共 28 分.11.若某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是_.12.随机变量 的取值为 0,1,2，若 ， ，则 _.105PED13.当实数 ， 满足 时， 恒成立，则实数 的取值范围是_.xy24,1,xy4axya14.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不 同的获奖情况有_种（用数字作答）.15.设函数 若 ，则实数 的取值范围是_0,2xxf 2afa15.设直线 与双曲线 （ 0b）两条渐近线分别交于点 ，若)(3my 12yx BA,点 满足 ,则该双曲线的离心率是_)0,
5、(mPPBA17、如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练 .已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角的大小.若 则 的最大值 。 （ 仰角 为直线 AP与平面 ABC 所成角）6422468101214161820 15 10 5 5 10 15 20ED CBA三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分 14 分）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，ABC, ,abc,3bc22cos-3sinco-3sinco.AB（I）求角 的大小；C（
6、II）若 ，求 的面积. 4si519（本题满分14分）已知数列 和 满足 .若 为等比数列，且nabNnabn221 na.6,2231ba（1）求 与 ；n（2）设 。记数列 的前 项和为 .Nbacn1ncnS（i）求 ；nS（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 knk20.（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面BCDEAABC.BEDCB ,1,2,90, 2（1）证明： 平面 ;（2）求二面角 的大小A21(本题满分15分)如图，设椭圆 动直线,01:2bayxC与椭圆 只有一个公共点 ，且点 在第一象限.lCP（）已知直线 的斜率为 ，用 表示点 的坐标；lkba,
7、（） 若过原点 的直线 与 垂直，证明：点 到直线 的距离的最O1l 1l大值为 .ba22.（本题满分 14 分）已知函数 ).(3Raxf（） 若 在 上的最大值和最小值分别记为 ，求 ；xf1, )(,amM)(a（） 设 若 对 恒成立，求 的取值范围.Rb42bf1,xb3参 考 答 案一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。1.B 2.A 3. 4.C 5.C 6. 7. 8. 9. A 10.B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。11. 12. 13. 14. 62531,26015. 16. 17.(,59三
8、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。（I）由题意得， ，1cos2cs3sin2siABAB即 ，331sinino2，由 得， ，又 ，得 ，i()i(2)66ABabAB0,26AB即 ，所以 ；33C（II）由 ， ， 得 ，c4sin5siincAC85a由 ，得 ，从而 ，故aAco，43sinisinsin10BC所以 的面积为 18i225SacB19. 本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公
9、式、求和公式、不等式性质等基础知识，同时6422468101214161820 15 10 5 5 10 15 20GFED CBA考查运算求解能力。满分 14 分。（I）由题意， ， ，知 ，Nnabn221 326b3238ba又由 ，得公比 （ 舍去） ，所以数列 的通项公式为 ，1aqn()nN所以 ，故数列 的通项公式为， ；11223nn b1nb（II） （i）由（I）知， ，所以 ；1()2nncNab ()2nS（ii）因为 ；当 时， ，而12340,0c51nnc，得 ，所以当 时，1122nnn512n5，综上对任意 恒有 ，故 0cN4S4k20.本题主要考查空间点、
10、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分15分。（I）在直角梯形 中，由 ， 得， ，BCDE1BE2CD2BC由 ，则 ，即 ，又平面 平面 ，从而2,A22AAABDE平面 ，所以 ，又 ，从而 平面 ；E（II）方法一：作 ，与 交于点 ，过点 作 ，与 交于点 ，连结 ，由（I）BFFGG知， ，则 ， ，所以 是二面角 的平面角，DEAGDBAD在直角梯形 中，由 ，得 ，又平面 平面 ，C22CBCBDE得 平面 ，从而， ，由于 平面 ，得： ，在AE中，由 ， ，得 ，RtA6在 中， ， ，得 ，在 中，tED17R
11、tAB， ， ，得 ， ，从而2B6A23BF2，3GF在 中，利用余弦定理分别可得 ，,EBA 572cos,143AEB在 中， ，所以 ，即二面角223cosGFB 6FG的大小是 EADB6方法二：以 为原点，分别以射线 为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 如图,DEC,xyDxyz所示，由题意可知各点坐标如下： ，设平面010,2,0,2,10AB的法向量为 ，平面 的法向量为 ，可算得AE1,mxyzABnxyz， ，由 得，0,2D,01,2DBE0mAE，可取 ，由 得， ，可取1yzx,nDB2yzx，于是 ，,2n 3cos,2mn由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角 的
12、大小是 EA6422468101214161820 15 10 5 5 10 15 20ZYxED CBA21. 本题主要考查椭圆的 几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。满分15分。（I）设直线 的方程为 ，由 ，消去 得，l0ykxm2ykxmaby，2222bakxab由于直线 与椭圆 只有一个公共点 ，故 ，即 ，lCP0220ak解得点 的坐标为 ，P22,kbk由点 在第一象限，故点 的坐标为 ；22,abbak（II）由于直线 过原点 ，且与 垂直，故直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离1lOl1
13、l0xyP1l，2221akbbakd整理得 ，22bk因为 ，所以 ，2baka222aababbk当且仅当 时等号成立，2ka所以点 到直线 的距离的最大值为 .P1l ba22.本题主要考查函数最大（最小）值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分 14 分。（I）因为 ，所以 ，3,()xaxf23,()xaf由于 ，1（i）当 时，有 ，故 ，axa3fxa此时 在 上是增函数，因此 ， ，xf, 143Mf143mafa438Mm（ii）当 时，1a若 ， ，在 上是增函数，,x3fxa,1若 ， ，在 上是减函
14、数，x所以 ， ，由于 ，ma1,ff 3mfa162fa因此，当 时， ，当 时，334Maa，2Ma（iii）当 时，有 ，故 ，此时 在 上是减函数，因此1x3fxxf1,， ，故 ，综3fa12ma234Mmaa上 ；38,1432,1aMama（II）令 ，则 ， ，hxfb3,()xabxh23,()xah因为 ，对 恒成立，即 对 恒成立，24f1,x2h1,所以由（I）知，（i）当 时， 在 上是增函数， 在 上的最大值是 ，最1ah,x,43hab小值是 ，则 ，且 ，矛盾；43b432ab432ab（ii）当 时， 在 上的最大值是 ，最小值是 ，x1,1h3所以 ， ，从而 且 ，令32ab432ab362aba10，则 ， 在 上是增函数，故 ，因3t 0tt1,2ta此 ，20ab（iii）当 时， 在 上的最大值是 ，最小值是 ，13hx1,32hab3hb所以 ， ，解得 ，2ab2ab807（iv）当 时， 在 上的最大值是 ，最小值是 ，1hx1,132hab123hab所以 ， ，解得 ，综上 的取值范围 .330
