1、1一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)2004(1)曲线 lnyx上与直线 1y垂直的切线方程为_ .(2)已知 (e)f,且 ()0f,则 ()fx=_ .(5)设矩阵210A,矩阵 B满足 *2AE,其中 *A为 的伴随矩阵, E是单位矩阵,则 =_ .(6)设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 DXP= _ .二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分)(7)把 0x时的无穷小量 dtdtdt xxx 03002 sin,an,cos2,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) , (B) ,(C)
2、(D) (8)设函数 ()fx连续,且 ,0)(f则存在 0,使得(A) 在(0, 内单调增加 (B) ()fx在 )0,内单调减少(C)对任意的 ),0(x有 ()fx (D)对任意的 )0,(x有()fx(9)设 1na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若 nlim=0,则级数1na收敛(B)若存在非零常数 ,使得 nli,则级数 1na发散(C)若级数 1na收敛,则 0li2na (D)若级数 1n发散, 则存在非零常数 ,使得 nalim2(10)设 ()fx为连续函数, ttydxfF1)()(,则 )2(F等于(A) 2 (B) f(C) ()f (D) 0(11)设 A是 3
3、 阶方阵,将 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 Q的可逆矩阵 为(A) 10(B) 10(C) (D) (12)设 ,AB为满足 O的任意两个非零矩阵,则必有(A) 的列向量组线性相关 B的行向量组线性相关(B) 的列向量组线性相关 ,的列向量组线性相关 (C) A的行向量组线性相关 的行向量组线性相关(D) 的行向量组线性相关 ,B的列向量组线性相关(13)设随机变量 X服从正态分布 (0,1)N对给定的 )10(,数 u满足uXP,若 xP,则 等于(A) 2 (B) 21(C) 1 (D) u (14)设随机变量 )1(,21nX 独立同
4、分布,且其方差为 .02 令niiXY1,则(A)21Cov(,)Yn(B) 21Cov(,)XY 3(C) 21)(nYXD (D) 21)(nYXD三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 12 分)设 2eab,证明 224l()ebab.(16)(本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比( 比例系数为 ).10
5、.6k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/ 小时)(18)(本题满分 11 分)设有方程 10nx,其中 n为正整数.证明此方程存在惟一正实根 nx,并证明当 1时,级数 1n收敛.(19)(本题满分 12 分)设 (,)zxy是由 222610180xyyz确定的函数,求 (,zxy的极值点和极值.(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组 1212()0,(2),(),nnaxxna 试问 a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.4(21)(本题满分 9 分)设矩阵12345aA的特征方程有一个二重根,求 a的值,并讨论 A是否可相
6、似对角化.(22)(本题满分 9 分)设 ,AB为随机事件,且 111(),(|),(|)432PABPAB,令;,0不 发 生发 生X.,0不 发 生发 生Y求:(1)二维随机变量 ()Y的概率分布.(2) 和 的相关系数 X(23)(本题满分 9 分)设总体 X的分布函数为 ,1,0),(xxF其中未知参数 nX,12为来自总体 的简单随机样本,求:(1) 的矩估计量.(2) 的最大似然估计量.5一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) 03(1) )1ln(02coslimxx = .(4)从 2R的基 121,0到基 121,的过渡矩阵为 .
7、(5)设二维随机变量 (,)XY的概率密度为 (,)fxy 60x 1y其,则1YXP.(6)已知一批零件的长度 (单位 :cm)服从正态分布 )1,(N,从中随机地抽取 16 个零件,得到长度的平均值为 40 (cm),则 的置信度为 0.95 的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值 .)95064.(,975.0)6.1(二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)(1)设函数 ()fx在 )内连续,其导函数的图形如图所示 ,则 ()fx有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(
8、2)设 ,nncba均为非负数列,且 0limna, 1linb, nclim,则必有(A) 对任意 成立 (B) 对任意 成立(C)极限 nclim不存在 (D)极限 ncli不存在(3)已知函数 (,)fxy在点 (0,)的某个邻域内连续,且 1)(,lim20, yxfyx ,则(A)点 0,不是 ,f的极值点(B)点 ()是 ()xy的极大值点(C)点 ,是 ,f的极小值点(D)根据所给条件无法判断点 (0,)是否为 (,)fxy的极值点6(4)设向量组 I: 12,r 可由向量组 II: 12,s 线性表示 ,则(A)当 sr时 ,向量组 II 必线性相关 (B)当 r时,向量组 I
9、I 必线性相关(C)当 时,向量组 I 必线性相关 (D)当 时,向量组 I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组 0xA和 B,其中 ,A均为 nm矩阵,现有 4 个命题: 若 0x的解均是 的解,则秩 ()秩 若秩 ()秩 ,则 x的解均是 0x的解 若 xA与 B同解,则秩 ()A秩 B 若秩 ()秩 , 则 0x与 同解以上命题中正确的是(A) (B)(C) (D)(6)设随机变量 21),(XYntX,则(A) 2()Y(B) 2(1)Yn(C) ,1F(D) ,F 三、(本题满分 10 分)过坐标原点作曲线 lnyx的切线,该切线与曲线 lnyx及 轴围成平面图形 D.(1)求 D的
10、面积 A.(2)求 绕直线 e旋转一周所得旋转体的体积 V.四、(本题满分 12 分)将函数 xxf21arctn(展开成 的幂级数,并求级数 012)(n的和.六 、(本题满分 10 分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 .0k).汽锤第一次击打将桩打进地下 am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 (01)r.问(1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m 表示长度单位米.)7
11、七 、(本题满分 12 分)设函数 (yx在 ),内具有二阶导数,且 )(,0yxy是 ()x的反函数.(1)试将 ()所满足的微分方程 )(sin(32dydyx变换为 ()y满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件 2)0(,)(的解.九 、(本题满分 10 分)设矩阵32A,01P, 1*BPA,求 2E的特征值与特征向量,其中 *为 的伴随矩阵, E为 3 阶单位矩阵.十 、(本题满分 8 分)已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l032cbyax,2,:3lycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 0ba8十一 、(本题满分 10 分)已知甲、乙两箱中装有同种产
12、品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分 8 分)设总体 X的概率密度为 ()fx2()e0x0其中 0是未知参数. 从总体 X中抽取简单随机样本 nX,21 ,记).,min(21nX(1)求总体 的分布函数 ()Fx.(2)求统计量 的分布函数 .(3)如果用 作为 的估计量,讨论它是否具有无偏性.一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)9(1) exd2ln= _.(2)已知 26
13、10y,则 ()y=_.(3) 满足初始条件 1,02的特解是 _.(4)已知实二次型 32311321321 44)(),( xxxaxf 经正交变换可化为标准型 6y,则 =_.(5)设随机变量 )(2NX,且二次方程 02Xy无实根的概率为 0.5,则=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)(1)考虑二元函数 )(yxf的四条性质: ),(yxf在点 ,0处连续, ),(yxf在点 ),(0处的一阶偏导数连续, 在点 )(处可微, 在点 处的一阶偏导数存在.则有:(A) (B) (C) (D) (2)设 0nu,且 1limnu,则级数 )1()1nnu为(A
14、)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.(3)设函数 )(xf在 R上有界且可导,则(A)当 0limx时,必有 0)(limxfx (B)当 )(limxfx存在时,必有)(f(C) 当 li0x时,必有 )(li0fx (D) 当 )(li0xfx在时,必有)(f.(5)设 X和 Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 )(xfX和 )(yfY,分布函数分别为 )(xF和 )(yY,则(A) fX f必为密度函数 (B) )(xfXyY必为密度函数10(C) )(xFX )(yY必为某一随机变量的分布函数 (D) )(xFXyY必为某一随机变量的分布函数.三
15、、(本题满分 6 分)设函数 )(xf在 0的某邻域具有一阶连续导数 ,且 0)(f,当 0h时,若 )(2(hohbaf,试求 ba,的值.四、(本题满分 7 分)已知两曲线 (xfy与 2arctn0extd在点 (0,)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限 )2limnf.五、(本题满分 7 分)计算二重积分 2max,eyDd,其中 10,|),(yxyD.七、(本题满分 7 分)(1)验证函数 03)!(nxy( x)满足微分方程 exy.(2)求幂级数 03)!(n的和函数.九、(本题满分 6 分)已知四阶方阵 1234(,)A, 1234,均为四维列向量,其中234,线性无关, 123.若 ,求线性方程组 xA的通解.
