1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：圆柱的体积公式： ，其中 为圆柱的表面积， 为高Vsh圆 柱 sh圆柱的侧面积公式： ，其中 是圆柱底面的周长， 为母线长=Scl圆 柱 l一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1） 【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 ， ，则 _2134A， ， ， 123B， ， AB【答案】 3，【解析】由题意得 1,3AB（2） 【2014 年江苏，2，5 分】已知复数 ( 为虚数单位)，则 的实部为_25izz【答案】21【解析】由题意 ，其实部为 212(i)5i10
2、iz（3） 【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的 的值是_n【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式 的最小整数解 整数解为 ，因此输出的 20n255n（4） 【2014 年江苏，4，5 分】从 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的136， ， ，概率是_【答案】 13【解析】从 这 4 个数中任取 2 个数共有 种取法，其中乘积为 6 的有 和 两种取法，因此所求,26246C1,2,3概率为 13P（5） 【2014 年江苏，5，5 分】已知函数 与 ，它们的图象有一个横坐标为 的cosyxin()0)yx 3交点，则 的值是_
3、【答案】 6【解析】由题意 ，即 ， ， ，因为 ，cosin(2)321sin()32(1)36k()Z0所以 6（6） 【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位：cm） ，所得数据均在区间 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 8013，株树木的底部周长小于 100 cm注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题 第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2
4、 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔2【答案】24【解析】由题意在抽测的 60 株树木中，底部周长小于 的株数为 10cm(0.15.2)0624（7） 【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 的值是na2864a6a
5、_【答案】4【解析】设公比为 ，因为 ，则由 得 ， ，解得 ，所以q21a8642a642q420q2q462a（8） 【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 ，体积分别为 ，若它们的侧面积相12S， 12V，等，且 ，则 的值是_129S12V【答案】 3【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 ， ，则 ， ，又 ，所1rh、 2、 12rh12hr2194Sr以 ，则 123r2211123Vrh（9） 【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 被圆 截得的弦30xy22()(1)xy长为_【答案】【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，点
6、到直线 的距离为22()(1)4xy(2,1)C2rC230xy，所求弦长为 235d 2954ld（10） 【2014 年江苏，10，5 分】已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实2()fxm1xm， ()fx数 m 的取值范围是_ 【答案】 02，【解析】据题意 ，解得 22()10()()10fm 20（11） 【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ( 为常数)过点 ，且2byax， (25)P，该曲线在点 P 处的切线与直线 平行，则 的值是_73xyb【答案】 3【解析】曲线 过点 ，则 ，又 ，所以 ，由解得2byax(2,5)452ba2yax
7、742ba，所以 1b（12） 【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， ， 85ABD，则 的值是_32CPDABP， AD【答案】22【解析】由题意， ， ，14B3344PC所以 ，3()()2216ADBA即 ，解得 1256ADB3（13） 【2014 年江苏，13，5 分】已知 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 时，()fx 03)x，21()fx若函数 在区间 上有 10 个零点(互不相同) ，则实数 a 的取值范围是_()yfxa34，【答案】 0，【解析】作出函数 的图象，可见 ，当 时，21(),0)fxx1(0)2fx， 1()2
8、fx极 大，方程 在 上有 10 个零点，即函数 和图象与直73f()0fxa3,4x()yfx线 在 上有 10 个交点，由于函数 的周期为 3，因此直线 与函数ya,4 ()fxa的应该是 4 个交点，则有 21(),03)fxx1(0,)2a（14） 【2014 年江苏，14，5 分】若 的内角满足 ，则 的最小值是_ABCsinsiinABCcos【答案】 64【解析】由已知 及正弦定理可得 ， sin2siinA2abc222()osababc，当且仅当 ，即 时等号成立，所以23626884ababa233的最小值为 cosC4二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题
9、卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15） 【2014 年江苏，15，14 分】已知 ， 2， 5sin（1）求 的值；sin4（2）求 的值co26解：（1） ， ，5si， ， 25cos1sin10sinnci(co)44（2） ，2232siossi55， 43coc2in66610（16） 【2014 年江苏，16，14 分】如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点已知PABCDEF， ， PCAB， ，PAC， ， 8B， 5DF（1）求证：直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC解：（1） 为 中点DEPA 平面 DEF，DE 平面 DE
10、FPA平面 DEFDE， A， （2） 为 中点， 为 中点， ， ， ， 12EPAF， ACB， 142EFBC4 ， ，DE EF， ， ，222DEF90DEF/DEPAC， DEA ，DE平面 ABC，DE 平面 BDE，平面 BDE平面 ABCAC（17） 【2014 年江苏，17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 分别是椭圆 的12F，21(0)yxab左、右焦点，顶点 B 的坐标为 ，连结 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一(0)b， 2BF点 C，连结 1F（1）若点 C 的坐标为 ，且 ，求椭圆的方程；413， 2（2）若 ，求椭圆离
11、心率 e 的值1A解：（1） ， ， ， ， ，43， 269ab22BFbca22()21b椭圆方程为 1xy（2）设焦点 ， 关于 x 轴对称， ，12(0)()()FcCxy， ， ， ， ， A， ()Axy， 三点共线， ，即 2BA， ， bc0cyb ， ，即 1C1yx2联立方程组，解得 22abcy22acbC，C 在椭圆上， ，化简得 ， , 故离心率为 22221acbcb25ca55（18） 【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段
12、 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) ， 4tan3BCO（1）求新桥 BC 的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：解法一：（1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy由条件知 A(0, 60)，C (170, 0)，直线 BC 的斜率 43BCktanO又因为 ABBC，所以直线 AB 的斜率 设点 B 的坐标为(a,b)，34A则 kBC= ， k AB= ，解得 a=
13、80，b=120 04173ba60ba所以 BC= 因此新桥 BC 的长是 150 m22(8)(1)5（2）设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0d60)由条件知，直线 BC 的方程为 ，即 ，4(170)3yx43680xy由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r，即 |3680|35dd因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，5所以 ，即 ，解得 80(6)rd 6803805()d 1035d 故当 d=10 时, 最大，即圆面积最大 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大35dr解法二：（
14、1）如图，延长 OA, CB 交于点 F因为 tanBCO= 所以 sinFCO= ，cosFCO= 434535因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tanFCO= CF= ，68080cosOCF从而 因为 OAOC，所以 cosAFB=sinFCO= ，又因为503AFOABBC，所以 BF=AF cosAFB= ，从而 BC=CF BF=150因此新桥 BC 的长是 150 m4（2）设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD=r m，OM=d m(0d60)因为 OAOC，所以 sinCFO =cosFC
15、O，故由（1）知，sinCFO = 所以 36805rFOMd68035dr因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，所以 ，即 ，解得 ，80(6)rd 68035()80d 135d 故当 d=10 时， 最大，即圆面积最大所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大35dr（19） 【2014 年江苏，19，16 分】已知函数 其中 e 是自然对数的底数()exxf（1）证明： 是 上的偶函数；()fxR（2）若关于 x 的不等式 在 上恒成立，求实数 m 的取值范围；()e1xmf 0)，（3）已知正数 a 满足：存在 ，使得 成立试比较 与 的大小，并证
16、0)， 3000()fxax1eae1明你的结论解：（1） ， ， 是 上的偶函数x()e()xff()fR（2）由题意， ，即 ， ， ，1x e1)exxx (0)， e10xx即 对 恒成立令 ，则 对任意 恒成立1exxm (0)， (t21tm ()t， ，当且仅当 时等号成立， 2 2() 31ttt 3m（3） ，当 时 在 上单调增，令 ，()exxf1()0fx()f)， 3()hxax，()1hxa ， ，即 在 上单调减，0， ()hh，存在 ，使得 ， ，即 x， 3000()fxax1()e2f1e ，设 ，则 ，e-1e11lnllneln1aalnmaae1()a
17、ma6当 时， ， 单调增；当 时， ， 单1e2a1ee12a()0ma()e1a()0ma()调减，因此 至多有两个零点，而 ， 当 时， ， ；()mae()0e1当 时， ， ；当 时， ， e()0e1a ()e1a（20） 【2014 年江苏，20，16 分】设数列 的前 n 项和为 若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得n nS，则称 是“H 数列”nmSan（1）若数列 的前 n 项和 ，证明： 是“H 数列”；2()nSNna（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 若 是“H 数列”，求 d 的值；n 1a0d（3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H 数列” 和 ，
18、使得 成立n nbnc()nnabcN解：（1）当 时， ，当 时， ， 111nnna 12S 时， ，当 时， ， 是“H 数列”11S2 1nSna（2） ，对 ， 使 ，即 ，1()()2n ddNmnma(1)(1)2dmd取 得 ， ， ， ，又 ， ， m02N（3）设 的公差为 d，令 ，对 ， ， ，na111()(2)nbana11nb 1()nca对 ， ，则 ，且 为等差数列N1ncn ncdc，的前 n 项和 ，令 ，则 nb11()2T1()nTm(3)2当 时 ；当 时 ；当 时，由于 n 与 奇偶性不同，即 非负偶数，mm3 (3)nm因此对 ，都可找到 ，使
19、成立，即 为“H 数列”Nnmbnb的前项和 ，令 ，则nc1()2nRad1()n mcadR(1)2对 ， 是非负偶数， ，即对 ，都可找到 ，使得 成立，NNnmRc即 为“H 数列”，因此命题得证n数学【选做】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A ） 【2014 年江苏，21-A，10 分】 （选修 4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径，C、 D是圆 O 上位于 AB 异侧的两点证明： OCB=D解：因为 B，C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC故OC
20、B =B又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧 的两点，故B，D 为同弧所对的两个圆周角，所以B= D因此OCB= D注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试，21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分第 22、23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照
21、顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗7（21-B） 【2014 年江苏，21-B，10 分】 （选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵 ， ，向量12xA1B，2y为实数，若 ，求 的值x， A=Bxy，解： ， ，由 得 解得 2A24=24yx， 142xy，（21-C） 【2014 年江苏，21-C，10 分】 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l的参数方程为 (t 为参数)，直线 l 与抛物线 交于 两点，求
22、线段 AB 的长12xy， 2yxAB，解：直线 l： 代入抛物线方程 并整理得 ， 交点 ， ，故3x24yx2109x(12)， (96)，|82AB（21-D ） 【2014 年江苏，21-D，10 分】 （选修 4-5：不等式选讲）已知 ， ， 证明：0xy2219xyyx解：因为 x0, y0, 所以 1+x+y2 ，1+ x2+y ，所以(1+x+y 2)( 1+x2+y) =9xy23023 233xy【必做】第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内（22） 【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个
23、黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 ，随机变量 X 表示123x， ，123x， ，中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 ()EX解：（1）一次取 2 个球共有 种可能情况，2 个球颜色相同共有 种可能情况，29C362243C0取出的 2 个球颜色相同的概率 1058P（2）X 的所有可能取值为 ，则 ； ；4， ，49C1()2631314569()P X 的概率分布列为：()1(3)()1PXX 2 3 4P 416126故 X 的数
24、学期望 320()1619E（23） 【2014 年江苏，23，10 分】已知函数 ，设 为 的导数， 0sin()()xf()nfx1()nfnN（1）求 的值；12ff（2）证明：对任意的 ，等式 成立nN1 24nnff解：（1）由已知，得 ，10 2sicosi()xxfx于是 ，所以 ，21223coinicsinxff 123416(),()ff故 12()()8（2）由已知，得 等式两边分别对 x 求导，得 ，0()sin,xf00()cosfxfx即 ，类似可得 ，01()co()2f x12in()， 23 3si34()si(ff下面用数学归纳法证明等式 对所有的 都成立1()in)nnfxx *N（i）当 n=1 时，由上可知等式成立（ii）假设当 n=k 时等式成立, 即 1()si()2kkkff因为 1 1()(),kkkkkkkfxfxxfxf ，所以sicos()()in22 1()kkfxf()sinkx所以当 n=k+1 时,等式也成立综合(i),(ii)可知等式 对所有的 都成立1()sin()2nnfxfxn*N令 ，可得 ( )所以 ( )4x144nn *1 2()()4nnff*N
