1、- 1 -2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍：二次函数绝对值不等式二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。1设 ，当 时，总有 ，求证当 时， . 证明：由于 是二次函数， 在 上最大值只能是 ，或 ，故只要证明 ；当 时，有 ，由题意有 . 由 得 . .
2、当 时， . 因此当 时， . 点评：从函数性质的角度分析，要证 时， ，只要证当 时， - 2 -的最大值 满足 . 而 又是二次函数，不论 、 、 怎么取值 在 上的最大值只能是 ，或 ，因而只要证明 ， ，这里需要特别指出的是要将 与 建立联系，将二次函数中的系数 用 、 、 表示：，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。2已知 是实数，函数 ，当 时， ，（1）证明： ；（2）证明：当 时， ；（3）设 ，当 时， 的最大值为 2，求 . （1996 年全国高考题）证明：（1）依题设得 ，而 所以 . （2）证法：当 时， 在 上是增函数。则 时，有 ，又 , ， ，因此得 .
3、当 时， 在 上是减函数，则当 时， . 又 , ， ，因此得 . 当 时， , - 3 -综上可知，当 时，都有 . （3）依题意 ，故 在 上是增函数，又 在 上的最大值为 2，故 ； ， . 。 当 时， ，即函数 在区间 的内点 上取得最小值为 ，所以， 是二次函数且它的图像是对称轴 是直线 ，由此得 ，即 . ，故 . 点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这 2 分，问题（3）的意义是证明问题（2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2） 、 （3）合在一起构成问题的完整解答。本题的设计背景是
4、：对于二次函数 和一次函数 ，给定条件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”. 更一般地，对于多项式函数 和 ，给定件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”.3、已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=bx，其中 a、b、c 满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点 A、B；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围(1)证明由 byca2消去 y 得 ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+ 43)2cc2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图
5、象交于不同的两点(2)解设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2= ab2,x1x2=c|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x222244()()bcacca22134()4()aabc,a+b+c=0,a0,cacc,解得 ac(2, 21)(42cf的对称轴方程是 21aca(2,1)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|( 3,)4、二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2x),若 f(12x2)0)，方程 (x)x=0 的两个根 x1，x2 满足 00,又 a0,因此 (x) 0,即 (x)-x0.至此,证得 x(0)，所以当 x(0,x1)时 (x)0） 函数 (x)的图象的对称轴为直线 x= ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得 x0=，因为 x1,x2 是二次方程 ax2+（b1）x+c=0 的根，根据违达定理得，x1+x2=，x20， x0=（x1+x2）,即 x0=。7、二次函数 )(xfy的图像过原点，且 2|)1(|f， 4|)1(|3f，求 )2(f的范围。分析：设 )0()(2abf，则 10)2(6,4|)1(|3,2)(1, 1,142fffbaff bf也可以用待定系数法，设 nfm
