1、直线与圆的方程综合题、典型题、高考题主讲：曹老师 2012 年 4 月 301、已知 mR，直线 l： 2(1)4xmy和圆 C： 28160xy（1）求直线 斜率的取值范围；（2）直线 l能否将圆 C分割成弧长的比值为 2的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线 的方程可化为 41myx，直线 l的斜率 21mk，因为 2()m ，所以 2mk ，当且仅当 时等号成立所以，斜率 的取值范围是 1， （2）不能由（1）知 l的方程为 (4)ykx，其中 12k 圆 C的圆心为 (42)， ，半径 r圆心 C到直线 l的距离 2dk 由 1k ，得 15d ，即 2d从而，若 l与圆 相交，则圆 C
2、截直线 l所得的弦所对的圆心角小于 23所以 l不能将圆 C分割成弧长的比值为 12的两段弧2、已知圆 C： ，是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得的弦042yxAB 为直径的圆过原点，若存在求出直线 l 的方程，若不存在说明理由。解析：圆 C 化成标准方程为 223)()1(yx假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的坐标为（a，b）由于 CMl，k CMkl= 1 k CM= ，12ab即 a+b+1=0，得 b= a1 直线 l 的方程为 yb=xa，即 xy+ba=0yxMABCOCM= 23ab以 AB 为直径的圆 M 过原点， OMBA，2)3(922 ab
3、CBM22ba )3(9ab把代入得 ，02 123a或当 此时直线 l 的方程为 xy4=0；5,23ba时当 此时直线 l 的方程为 xy+1=01时故这样的直线 l 是存在的，方程为 xy4=0 或 xy+1=0评析：此题用 ,联立方程组，根与系数关系代入得到关于 b 的方程比较简单0OAB3、已知点 A(2，1) 和 B(2，3)，圆 C：x 2y 2 = m2，当圆 C 与线段 AB 没有公共点时，求 m 的取值范围. 解：过点 A、B 的直线方程为在 l：x y1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P，连结 OB.由图象得：|m|OP 或|m|OB 时，线段 AB 与圆 x2y
4、 2 = m2 无交点. （I）当|m| OP 时，由点到直线的距离公式得：，即 . 2|m|1|2（II）当 OB 时, ,2|3|13即 . m或当 和 时，20m13且与圆 x2y 2 = m2 与线段 AB 无交点.4、 已知动圆 Q与 x轴相切，且过点 ,2A.求动圆圆心 的轨迹 M方程；设 B、 C为曲线 上两点， ,P， BC，求点 横坐标的取值范围.PBA O解： 设 ,Pxy为轨迹上任一点，则220 （4 分）化简得： 14yx 为求。 （6 分）设 21,B， 21,4Cx， 0P 216 （8 分） 21x 或 26 为求 （12 分）5、将圆 0y按向量 (1,)a=-
5、平移得到圆 O，直线 l与圆 相交于 A、B两点，若在圆 O上存在点 C，使 0,.OABCal+=且 求直线 l的方程.解：由已知圆的方程为 22(1)()xy-，按 (1,)a=-平移得到 2:A+=. ,OCB+ 2()()0OCOBAOB-=-.即 .又 al=，且 (1,)-， 1OCk=-. ABk. 设 :0ABlxym-+， AB的中点为 D.由 ()2OCD=-=-，则 2，又 22,OCD=. 到 AB的距离等于 .即 2m=， 1m=.直线 l的方程为： 0xy-或 0xy.6、已知平面直角坐标系 中 O 是坐标原点， ，圆 是 的外接o)0,8(32,6(BACOAB圆
6、，过点（2，6）的直线 被圆所截得的弦长为l4（1）求圆 的方程及直线 的方程；C（2）设圆 的方程 ， ，过圆 上任意一点N1)sin7()cos74( 22yx )(RN作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值.PCPFE,CEF解：因为 ，所以 为以 为斜边的直角三角形，)08(,326(BAOAB所以圆 ： 1642yx（2）1）斜率不存在时， ： 被圆截得弦长为 ，所以 ： 适合l 34l2x2）斜率存在时，设 ： 即)2(xky 06kykx因为被圆截得弦长为 ，所以圆心到直线距离为 234所以 216k3402634),2(36: yxyl即综上， ： 或l2x02（3）设 ，
7、则ECFa2|cos16s3cos16AA在 中， ，由圆的几何性质得RtP 4|xPC， 所以 ，|176CM 32cos由此可得 则 的最大值为 .9FECFE1697、已知圆 ，直线 过定点 。4)()3(:22yx1l)0,(A（1 ）若 与圆相切，求 的方程；1l1l（2 ）若 与圆相交于 丙点，线段 的中点为 ，又 与 的交Q、PPM1l02:2yx点为 ，判断 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。NAM解：（1）若直线 的斜率不存在，即直线是 ，符合题意。 2 分1l x若直线 斜率存在，设直线 为 ，即 。1l)1(ky0kyx由题意知，圆心 以已知直线 的距离等
8、于半径 2，即 ： ，)4,3(1l 21432k解之得 5 分k所求直线方程是 ， 6 分1x034y（2 ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，可设直线方程为 0kyx由 得 8 分02lykx)12,(KkN又直线 与 垂直，由 得 11 分CM1l)3(4xky )124,3(2kkM 22222 )()()1()3( kkAN13 分为定值。6212kk故 是定值，且为 6。 15 分ANM8、已知 C过点 ),(P,且与 AM: 2()()(0)xyr关于直线20xy对称.()求 的方程；()设 Q为 A上的一个动点,求 PQ的最小值；()过点 作两条相异直线分别与 A
9、C相交于 B,且直线 PA和直线 B的倾斜角互补, O为坐标原点,试判断直线 O和 是否平行?请说明理由.解:()设圆心 C(,)ab,则201ba,解得 ab(3 分)则圆 的方程为 22xyr,将点 P的坐标代入得 2r,故圆 C的方程为 2xy(5 分)()设 (,Q,则 ,且 (,1)(,2)QMxyxy= 24xy= ,(7 分)所以 PM的最小值为 4(可由线性规划或三角代换求得)(10 分)()由题意知, 直线 PA和直线 B的斜率存在,且互为相反数,故可设:1()Aykx,:1()PBykx, 由 21()ykx,得 2(1)0kx(11 分)因为点 的横坐标 一定是该方程的解
10、,故可得 A同理,21Bkx,所以 (1)()2()1BABABAAykxkx= OPk所以,直线 和 OP一定平行(15 分)9、已知过点 的动直线 与圆 ： 相交于 、 两点， 是)0,1(lC4)3(22yQM中点， 与直线 ： 相交于 .PQlm063yxN（）求证：当 与 垂直时， 必过圆心 ；l（）当 时，求直线 的方程；2（）探索 是否与直线 的倾斜角有关，ANMl若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.解析：（） 与 垂直，且 ， ，lm31mklk故直线 方程为 ，l3(1)yx即 2 分30x圆心坐标（0，3）满足直线 方程，l当 与 垂直时， 必过圆心 4 分lmlC（）
11、当直线 与 轴垂直时, 易知 符合题x1x意6 分当直线 与 轴不垂直时, l设直线 的方程为 ，即 ，l)1(ky0ky ， ，8 分32PQ34CM则由 ，得 , 直线 ： . 1|2kkl043yx故直线 的方程为 或 10 分lx043y（） , 12 分CMN()ACMANCAN 当 与 轴垂直时，易得 ，则 ,又 ,lx51,35(0)3(13)N C M QPOA xylml第 17题NCM QPOA xylml第 17题 14 分5AMNCA当 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，l l)1(xky则由 ，得 （ ）,则063)1(yxk36,155(,)31kAN = AMNC
12、A5k综上所述， 与直线 的斜率无关，且 .16 分l 5M10、已知圆 O 的方程为 ） ，过 点直 线 03(,12Ayx且与圆 O 相切。（1）求直线 1l的方程；（2）设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点，M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 2l，直线 PM 交直线 2l于点 P，直线 QM 交直线 2l于点 Q。求证：以QP为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）直线 1l过点 (3,0)A，且与圆 C： 21xy相切，设直线 的方程为 ykx，即 30k， 2 分则圆心 (0,)O到直线 1l的距离为 2|1d，解得 42k
13、，直线 1l的方程为 2(3)4yx，即 (3)4yx 4 分（2）对于圆方程 12x,令 0，得 1,即 ,0(1,)PQ又直线 2l过点 A且与 x轴垂直，直线 2l方程为 3x，设 ()Mst，则直线 方程为 ).1(xsty解方程组3,(1)xtys,得 ).14,(stP同理可得, ).12,3(st 10 分以 PQ为直径的圆 C的方程为 0)(4()(3stystx， 又 12ts，整理得 262(10xyt-+-=， 12 分若圆 C经过定点，只需令 0=，从而有 2x-+，解得 32x，圆 总经过定点坐标为 (32,) 14 分11、已知以点 P为圆心的圆经过点 1,0A和
14、3,4B，线段 A的垂直平分线交圆 P于点 C和 D，且 |410.(1)求直线 的方程；求圆 的方程；设点 Q在圆 P上，试问使 QAB的面积等于 8 的点 Q共有几个？证明你的结论.解：直线 AB的斜率 1k ， 中点坐标为 1,2 ，直线 CD方程为 2yx即 +y-3=0 （4 分）设圆心 ,abP，则由 在 上得：30 又直径 |41, |210A, 2()40ab又 PB 7 （7 分）由解得 36ab或52ab圆心 , 或 5,2 圆 P的方程为 2340xy 或 22540xy （9 分） 24AB ， 当 QAB面积为 8时 ，点 Q到直线 AB的距离为 2 。 又圆心 P到
15、直线 的距离为 42，圆 P的半径 210r 且 4210圆上共有两个点 Q使 AB的面积为 8 . （14 分）12、在平面直角坐标系 xOy 中，平行于 x 轴且过点 A 的入射光线 l1 被直线 l：3,2反射，反射光线 l2 交 y 轴于 B 点圆 C 过点 A 且与 l1、l 2 相切3yx（1）求 l2 所在的直线的方程和圆 C 的方程；（2）设 P、Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标xyOABl2l1l解析 （）直线 设 1:2,ly123lD交 于 点 ， 则 （ ， ）的倾斜角为 ， 2 分l30 60的 倾 斜 角 为 ，反
16、射光线 所在的直线方程为2.k2l 即 4 分()yx34xy已知圆 C 与 1lA切 于 点 ， 设 （ a,b)圆心 C 在过点 D 且与 垂直的直线上， 6 分l 38a又圆心 C 在过点 A 且与 垂直的直线上， ，由得 ，1 31ab圆 C 的半径 r=3故所求圆 C 的方程为 10 分22(3)(1)9xy（）设点 关于 的对称点 ，0,4Bl0,Bx则 12 分0023y且得 固定点 Q 可发现，当 共线时， 最小，(,) PQ、 、 BP故 的最小值为为 14 分P3C，得 最小值 16 分123yx1(,)2321C13、设圆 的方程为 ，直线 的方程为 1C224)3()(
17、 myxl 2mxy（1）求 关于 对称的圆 的方程；l2（2）当 变化且 时，求证： 的圆心在一条定直线上，并求 所表示的一系列圆m02C2C的公切线方程解：（1）圆 C1 的圆心为 C1（2，3m+2） ，设 C1 关于直线 l 对称点为 C2（a，b）则 解得：223mabm 2mba圆 C2 的方程为 24)1()1(yx（2）由 消去 m 得 a2b+1=0ba即圆 C2 的圆心在定直线 x2y+1=0 上。设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则 mkmk21)()2(2即 0)1()1)()34( 2bkb直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的
18、m 值都成立，所以有：解之得： 0)1()(234bk 473bk所以 所表示的一系列圆的公切线方程为：2C3xy14、已知过点 A（0，1） ，且方向向量为 22(1,):()(3)1aklCyA的 直 线 与 ，相交于 M、N 两点.（1）求实数 k的取值范围；（2）求证： 定 值 ；（3）若 O 为坐标原点，且 12,ONk求 的 值 .解：（1） (,)l a直 线 过 点 (0,)且 方 向 向 量lykx直 线 的 方 程 为2 分由 21,k得4735 分 2CATATA设 焦 点 的 的 一 条 切 线 为 ,为 切 点 ,则 =72cos0.MNMN为 定 值9 分12(3),)(,)xy设 kx2将 代 入 方 程 -+31得2+47=11 分212,xk1()1221122()()81kOMNxyxx 4(+)24,1k(+)解 得 ,0又 当 时14 分15、如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， ，设xOy(,)Aa(0,)Ba(4,0)C(,)D
