1、1高中数学抽象函数专题特殊模型和抽象函数特殊模型 抽象函数正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或 )y(fx)(f指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) )(f或对数函数 f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) )y(f)x(f)yx(f或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y(fx1)(f)yx(f余切函数 f(x)=cotx )(f)(f)(f一.定义域问题 -
2、多为简单函数与复合函数的定义域互求。例 1.若函数 y = f（x）的定义域是2，2，则函数 y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 练习：已知函数 f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。2,1f3log21例 2：已知函数 的定义域为3，11，求函数 f(x)的定义域 xf3log。2练习：定义在 上的函数 f(x)的值域为 ，若它的反函数为 f-1(x)，则 y=f-8,32,1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 3.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1)0
3、,则 f(2001)=_. R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数，则 f(2009)= .例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1,且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.练习：1. f(x)的定义域为 ，对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ，则(0,)(2)f2. 的 值 是则且如 果 )201(f)5(f634)1(f2,)(f,y)x(f 。.2(1)ff222()4
4、683(5)(7)ffffff3、对任意整数 函数 满足： ，若 ，则yx,xf1xyfyxf )(f（ ） )8(fA.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数 f(x)为 R 上的偶函数，对 都有 成立，若 ，则xR(6)(3)fxf(1)2f=（ ）(205)fA . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f-1(x)，又 Y=f(x)过点（2，1） ，Y=f(2x)的反函数为 Y=f-1(2x)，则 Y=f-1(16)为（ ）A） B） C）8 D）1618163的 值求的 值求均 有 对 所 有上 的 函 数 ， 满 足 ，是 定
5、义 在为 实 数 ， 且、 已 知 )71()2()1( )(,1,0)( 10)(6fayafxfayxf yxffa 三、值域问题例 4.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在 ,使得 ，求函数 f(x)的值域。21x)(21xff四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)例 6、设对满足 x0,x1 的所有实数 x，函数 f(x)满足, ,求xfx1f(x)的解析式。例 7.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-
6、1)=2x2-4x,求 f(x).4例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN;f(n 1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立? 若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.例9、已知 是定义在R上的偶函数，且 恒成立，当 时，)(xf )21()3(xff 3,2x，则 时，函数 的解析式为（ ） f)()0,2)(xfA B C D 2412练习：1、 .23|)x(f:|,x)1(f2)x(f),)x(f,()x(fy 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设2.（重庆）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(
7、f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解析表达式。3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0， （1）5求 的值； （2）对任意的 ， ，都有 f(x1)+20 时 f(x)0 时，f(x)1,且对于任意实数 x、y，有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在 R 上为增函数。6例 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2都有 ，
8、且当 时 ， （1）f(x)在(0,+)上是增1212()(fxf1()0,(2)ff函数； （2）解不等式 2()f练习：已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、nR, 恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f( )=0,当 x 时，f(x )0.求证：f( x)是单调递增函数；2121例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m,f(xm)=mf(x); f(2)=1 。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围.练习 1 定义在 R
9、 上的函数 y=f（x），f（0）0，当 x0 时，f（x）1，且对7任意的 a、bR，有 f（a+b）= f（a）f（b）. （1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x）是 R 上的增函数；（4）若 f（x） f（2xx 2）1，求 x 的取值范围.练习 2、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)0,当 x1 时,f(x)un (nN*).2. 定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并
10、证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3 ）上总有 f(x)6成立，试确定f(1) 应满足的条件； )0a,n(),afx(fn1)x(fa(fn1x)( 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关 于3、已知 f(x)是定义在 1，1上的奇函数，且 f(1)=1,若 a,b1,1,a+b0 时，有 0.baf)(1)判断函数 f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式： f(x+ ) f( );2(3)若 f(x)m 22pm+1 对所有 x1,1,p1,1(p 是常数）恒成立，求实数 m 的取值范围.10.七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号 周 期 性 对 称 性1T=2axff对称轴 是axffaxyfx偶函数；对称中心（a,0）xff是奇函数ya2 T=xbfaf对称轴 ；bff 2bax对称中心 ；xff)0,(3f(x)= -f(x+a)T=2af(x)= -f(-x+a)对称中心 ,2a4T=2xbff对称中心xbfaf0,b5 f(x)= T=2xf1f(x)= b-f(-x+a)对称中心 2,a6f(x)=1-T=30)(1xfaa
