1、第 1 页 共 15 页2015-2016 学年灵宝市第一高级中学高二（下）第一次月考数学（理）试题一、选择题1已知 i为虚数单位，复数 z满足 (1)i，则 2016z（ ）A.1B.-1C.iD.【答案】A【解析】试题分析：由 (1)zi得 ，iz11)(5045042016ii【考点】复数的运算2下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果 A和 B是两条平行直线的同旁内角，则A+ B= 180B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有 10个班，1 班有 51人，2 班有 53人，三班有 52人，由此推测各班都超过 50人D.在数列 na中
2、， 1， )2(1(1naann ，计算 432,a，由此推测通项 n【答案】A【解析】 试题分析： 选项 B类比推理，选项 C和选项 D都是归纳推理。【考点】合情推理与演绎推理3设2,01,()exf（其中 为自然对数的底数） ，则 e0()dfx的值为（ ）A. 43B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】 试题分析：第 2 页 共 15 页341ln031|ln|31)( 1001102 exdxdxf eee。【考点】定积分运算。4函数 2=xfxe的图象大致 是（ ）【答案】B【解析】 试题分析： ，函数图像过原点，当 x00)(f,令xxxx eeeexf )()2()2(2()
3、 2 则 或 ，所以,0,。所以选 B。上 是 增 函 数和，在 区 间 （ ),-)( xf【考点】函数的图像与性质，导数与单调性的关系。5如果 导函数图像的顶点坐标为 ，那么曲线023acbxf 3,1上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是（ ） 。xyA. B. C. D.6,32,65,065,32,0第 3 页 共 15 页,32,0【答案】D【解析】 试题分析： ，因为 ，所以 导函数图像开口向上。因bxaxf23)(0a为导函数图像的顶点坐标为 ，所以， 的最小值为 。斜率,1)(f3，有正切函数的图像知， 。选 D3-)(tanxf ),2,0【考点】导函数的几何意义，正切函数。
4、6数学归纳法证明 (1)2()13(1)nn n *)N成立时，从 k到 左边需增加的乘积因式是（ ）A.2(1) B. C. k D. 2k【答案】A【解析】 试题分析： 当 n=k时，左边= ，当 n=k+1时，左边=)1(31。所以，)12(2)(2)1(312 kkkk 选 A。【考点】数学归纳法。7复数 1z. 2满足 21(4)zmi， cos(3sin)(,)zmR，并且 ，则 的取值范围是（ ）A.1, B. 9,16 C. 9,76 D. 9,16【答案】C【解析】 试题分析： 由 12z得 ，所以，sin34co2m， ，当sin3cos42 169)8(4si 2时， 取
5、最小值 ，当 时， 取最大值 7.选 C。8in1691【考点】复数，二次函数。8若 fx在 R上可导， 23fxfx，则 0fxd( )A.16 B.54 C.24 D.18【答案】D【解析】 试题分析： 因为 2fxfx，所以 ，所以)2()( fxf，所以 。则 。)2(4)( ff4)(38)(2第 4 页 共 15 页18034310431)8(03)( 222 xdxxdf。选 D。【考点】定积分。9在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC的内切圆面积为 ，外接圆面积为 ，1S2S则 124S，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体 PABC的内切球体积为 ，外接球体积为 ，则
6、 12V=（ ）1VA.8 B.9 C. 64 D. 7【答案】D【解析】 试题分析： 设正四面体 P-ABC的边长为 a，设 E为三角形 ABC的中心，H 为正四面体 P-ABC的中心，则 HE为正四面体 P-ABC的内切球的半径 r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径 R。所以 BE= ，aP36)(,3222所以在 ，解得 。所以 R=PE-HE=2)()36araBEHt 中 ， （ ar16所以 ，根据的球的体积公式有，,41263a1R。选 D。271)(34321RrV【考点】类比推理。10关于函数 ()lnfx，下列说法错误的是（ ）A. 2x是 的极小值点B.函数
7、 ()yfx有且只有 1个零点C.存在正实数 k，使得 ()fkx恒成立D.对任意两个正实数 12,，且 1，若 12()fxf，则 124x【答案】C第 5 页 共 15 页【解析】 试题分析： 且当 02 时， 函数递增。因此 x=2是函数的极小值点，A 正确。令,0f，所以 x0时，222 47)1(1)(,)( xxxgxfg ，即函数 g(x)在（0， ）上单调递减。因为恒 成 立0，所以 g(x)有且只有一个零点。B 正确。)(,12)(22eegeg设 ，易知 x2时， ,xxfhln)(2 xxxh212ln)(2 对任意的正实数 k，显然当 ，f(x)1时，g(x)3x+1的
8、解为 x3t+1的解集为 tg(1),即，所以选 D。40322016201620162016 )() efefef【考点】函数的单调性与导函数，不等式。二、填空题13如下图，阴影部分的面积是 。【答案】 32【解析】试题分析： 32)(31)(3)13(13)(122 xdxS【考点】定积分14若函数 cos2infxax在区间 ,62是减函数，则 a的取值范围是 。【答案】 ,【解析】 试题分析： ,令 t=sinx,xaxaxf sini1sin2co)( 2则函数变为 ，函数 g（t）的对称轴是 ,由已知的函)1,2(t ,)(2ttg 4t数 g(t)在区间 上为减函数，所以 ，所以
9、 。,14a2【考点】余弦二倍角公式及二次函数的单调性。15若 为 的各位数字之和，如 142+1=197，1+9+7=17，则nfN12第 7 页 共 15 页；记 ，则174fNknffnffnf k, 1121 。)8(206【答案】8【解析】试题分析： ，156)8(,651812 ff，2)()(122ff又因为 2016/3=672,所以65238)(201f【考点】归纳推理。16已知函数 ()fx的定义域为 ，部分对应值如表， ()fx的导函数 ()yfx的5,1图象如下图所示，-1 0 4 5()fx1 2 2 1下列关于 ()fx的命题：函数 y是周期函数；函数 ()yfx在
10、 0,2上减函数；如果当 1,xt时， ()fx的最大值是 2，那么 t的最大值是 4；当 2a时，函数 ya有 4个零点；函数 ()yfx的零点个数可能为 0，1，2，3，4。其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 。【答案】【解析】试题分析：由导函数 ()yfx的图象可知，所以错，()0,24,5-1,02,4fx的 减 区 间 有 （ ） ， （ ） 。 增 区 间 有 （ ） ， （ ）正确。如果当 1xt时， ()fx的最大值是 2，那么 t的范围是0,5，所以 错。函数 ()yfa的零点个数与 a的取值以及 f(2)有关，而 f(2)的值不确定。考虑函数 f(x)与 y=
11、a的图像有几个交点，当 a2时没交点。 错对。第 8 页 共 15 页【考点】导函数与单调性。三、解答题17已知实数 a，b，c，d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd1,求证 a，b，c，d 中至少有一个是负数。【答案】【解析】试题分析：对于含有“至少” ， “至多”的命题的证明，经常用反证法证明。假设结论不成立，由得 。由条件中的和与积想到基本,1dcba1,0,dcba不等式，再用放缩法得， ，两式相加可推出矛盾。22试题解析：证：假设 ，,0,dcba,1dcba1,0,dcba，22，这与 相矛盾 原假设不成立.即证得1c c中至少有一个是负数。dba,【考点】1.反证法；2.基本
12、不等式；3.不等式的性质。18如下图所示，将一矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花园 AMPN，要求 B在 AM上，D 在 AN上，且对角线 MN过 C点，已知|AB|=3 米，|AD|=2 米。（1）要使矩形 AMPN的面积大于 32平方米，则 AN的长应在什么范围内？（2）当 AN的长度是多少时，矩形 AMPN的面积最小？并求出最小面积。【答案】 （1） （2）AN 的长为 4米，矩形 AMPN的面积最小，最小为 24米。【解析】试题分析：（1）设 AN的长为 x，利用 ，用 x表示相 似与 NAMDCAM，然后求面积， ，再解不等式 求 x得范围。 （2）解法一：把 中的 x-2看成
13、整体变形成，用基本不等式求解。解法二：对 求导，利用导数求极小值即为最小值。试题解析：解：（1）解：设 AN的长为 x米（x2）由题意可知： 第 9 页 共 15 页 由 SAMPN32 得 ，x23x 232（x2）0，即（3x8） （x8）0（x2）解得： 即AN长的取值范围是（2）解法一：x 2，当且仅当 ，即 x=4时，取“=”号即 AN的长为 4米，矩形 AMPN的面积最小，最小为 24米。解法二： 令 S=0得 x=4当 2x4 时，S0 当 x4 时 S0当 x=4时，S 取极小值，且为最小值。即 AN长为 4米时，矩形 AMPN的面积最小，最小为 24平方米。【考点】1.一元二
14、次不等式式的解法；2.基本不等式；3.利用导数求极值。19已知 ，考查 ； ；0(1,2)ian1a1212()4a归纳出对 都成立的类似不等式，并用数123123()9a12,n学归纳法加以证明。【答案】结论： 21212()()nna 【解析】试题分析：观察给出的三个式子的特点，归纳出对 都成立的类似12,na不等式 21212()()nnaaa 试题解析：结论 ： 证明：当 时，显然成立；21212()()nn 1n第 10 页 共 15 页假设当 时，不等式成立，即 ，则nk 21212()()kkaaa 时，112121()()k ka 1212()()kka 1 122()()1k
15、 kkaa 2112121 1()()()kk kkkkaa 由，不等式对任意正整数 成立。22n【考点】1.归纳推理；2.数学归纳法。20已知函数 。1ln)(2xaxf（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 和 的值；y04byxab（2）讨论函数 的单调性； )(xf（3）若 ，且对任意 ，都有 ，求 的0a),0(,21|)(| 2121xfxf取值范围【答案】 （1） b=-4。 （2）当 时， 在 上是减函数，当 时，6,a)(f),00a在 上是增函数，在 上是减函数。 （3）)(xf),0a,(81a【解析】试题分析：（1）求导得 ，由 求 因为)2afx()24f6,，把点（1，f(1)）的坐标代入切线方程可求 b的值。 （2）求0ln)(2af函数 的单调性应先求导，再解 。求导并化简得x 0)( 或xf，因为 x0,所以 正负只和分子有关，而解2()xff，与 a的正负有关，所以分 和 讨论。 （3） 时，设02xa 0a0a由单调性把 去绝对值号得 ，1,|)(| 2121xfxf121()fxfx变形为 ，构造函数 ，只要满足12()()f()gf在 上为减函数， ，gx0,2lnxax
