1、1第四讲 基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念 baN alog（ 0， a1）2.指数与对数的性质 指数运算性质 raasrsr,0(、 sQ） ， srsr)(、 Q） ， rbbrr ,( Q）（注）上述性质对 r、 sR 均适用.对数运算性质log MNalog Naaloglog aaall naalogl（M、N0, 0, a1）推广： maamll换底公式： balogl（ ， 0， a1， b1）3.指数函数、对数函数的概念形如 y x（ 0 且 1， x0）叫做指数函数（exponential function） ，其中 x是自变量，函数的定义域为 R.形如 alog
2、（ 0 且 a1， 0）的函数，叫做对数函数（ logarithmic function）.（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2） 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.25.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如xy的函数称为幂函数，其中 为常()R数.（2）幂函数性质： 所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ； 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 ),0上是增函数.特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 10时，幂函数的图象上凸； 0时，幂函数的图象在区间 ),(上是减函数.在第一象限内，当 x从右边趋向
3、原点时，图象在 y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当 x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近 x轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：以 0和 为桥梁；利用函数的单调性；作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例 1】比较下列各数的大小： 331212 2,5lg,5lg,3,5.0log解析： 35.0log20 ，其他各数都大
4、于零，故 .0lo2最小；又 11， l2， 1 5g 2 38，对于 253与 3 ，首先，它们都属于区间（ 0,1） ，且是同底的幂，考虑函数 yx为减函数， 2153 31.于是有 331212 lg53.0log.3又例:比较下列各组数的大小：（1） 7.06， 6， log7.0；（2） 7.0log1，7.0log2解析：（1） 7.061， 0 6.1， l7.00 ， 6l7.0 . 7.0.（2） .log.l701， 2.1log.l7021.又函数 y x.为减函数， 0 1.log7 2.l70. l1. .l21.再例：当 a b1，下列不等式正确的有（ ）A.b1B
5、.baC. 2bD. 1解析：0 1 a1，又函数 y xb)( 为减函数， y ax在（0,1）上为增函数， a a，故选 D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用 0和 1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.【例 2】已知函数 y 12xa （ 0， a1）在区间1，1上的最大值为14，求 a的值.解析： )(2x 2)(u，又 x，当 a1 时， ,a， 1， )(2为 u的增函数 .函数的最大值为 )(5342 舍或 a当 0 a1 时， 1,au， ， 2)1(u为 的增函数.函数的最大值为 舍 ）或 (51324a4综上得， 31a或 .技巧提示：指数函数
6、与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径又例：已知 )(xf )32(log24x.求（1） 的单调区间；（2）求函数 )(xf的最大值及对应的 x的值. 解析：（1）由 0322，得 )(f的定义域为 )3,1(，记 u x（ 1） 24，对称轴为 x1. )(f的增区间为（1，1】 ，减为区间【1，3）.（2） （ 1） 244，当 x1 时有最大值 y1.【例 3】函数23xy的定义域是（ ）A. ),21 B. 21,( C. ),( D. 1,(解析：由 031x，得 132x，即 02)3(x，由 x)( 为减函数， x.故所求定义域为 21x.选 A.技巧提
7、示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例：若 132loga，则 的取值范围是 .解析：由 la，即 aalog32l，当 时， xalog是增函数，于是 32， a.5当 a时， xalog是减函数，于是 32a， a 32.综上可知 的取值范围是 或 .再例：解不等式 0)1)(2log221 xxba（ a0， b0）.解析：由 (l21xba，得xx2)(0，即 012xxba. 1xba或 1xba（舍去）.当 时, )2(loga；当 a 时， 1bx；当 b时，不等式无
8、解.【例 4】函数 )2(log21y的单调递增区间是 .解析：由 0x，得 x，而函数 22)1(u，即 在 )1,(上是增函数，在 ,上是减函数.又 y2log是减函数， )(log21xy单调递增区间是 )2,1(.技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例：求函数9321xy的单调递减区间.解析：显然932x的定义域是 R.设 2xu，则 427)3(xu.6 932xu的单调递增区间为 )23,(有21yu1是 的减函数，932x的单调递减区间为 )23,(.再例：已知 a0
9、且 1,函数 xfalog)(在定义域2,3 上的最大值比最小值大1 ,则 的值为 .解析：由题意，有 12l3logaa，即 123la， a 32， .【例 5】当 a1 时，证明函数 )(xf 是奇函数.解析：由 x10 得 0.故函数定义域 x0是关于原点对称的点集.又)(xf 11)(1xxxx aaa ， )(xf 1xa， f f.所以函数 )(f x是奇函数.技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定 )(xf与 (f关系时，也可采用如下等价证法. 1)()(xffxf（ )(xf） ， 1)()()(xffxf （)f）.如本题可另证如下： )(xf11xxxaa
10、，即 )(xf )(f，所以函数 f 1xa是奇函数.7又例：设 a是实数， )(xf a 12x（ R）（1）试证明对于任意 ， f为增函数；（2）试确定 a值，使 )(x为奇函数.解析：（1）设 1， 2R，且 1 2，则 )(21xff（ )12()1xxaa)(212112 xxxx由于指数函数 y在 R 上是增函数，且 1x 2，所以 1x 2，即1x 20，又由 2x0 得 1x10， 2x10，所以 )(21xff0.即)(21fxf.因为此结论与 a取值无关，所以对于 a取任意实数， )(xf为增函数.（2）若 )(xf为奇函数，则 )(xf )(f，即 22)11xxa，变形
11、得： )12)2(xxxa，解得 1.所以当 1 时， f为奇函数.【例 6】已知 0 x1， a0， 1，比较 )(logxa和 )1(logxa的大小. 解析：方法一：当 1 时， )1(logxa)(logxa )(l2xa0， )1(logxa )1(logxa.当 0 1 时， )1(logxa )1(logxa+8)1(logxa )1(log2xa0， )1(logxa )1(logxa.综上所述，在题设条件下，总有 )1(logxa )(lxa.方法二： )1(logxa )(log)1x l)1(x x1log)( 2)1(lx )(log)1x1. )1(logxa log
12、a.技巧提示：比较大小通常采取作差变形判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商变形与“1”比较的办法.又例：解不等式 )1(log)3(log28xx 解析：原不等式可化为 33)1(0xx， 即等价于 02312x，即37371，解得： 71x，所以原不等式的解集为 x 31.【例 7】 （1）已知 a3log2， b7l3，用 a， 表示 56log42；（2）已知 ,6log,cxxx 求 xabc的值.解析：（1） 56log42 l ,3l27l又 ,lg,llg3l,l aba9 56log42 1313lgll abab.（2） a 2x， 63,xc， logl1xab
13、c.技巧提示：掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度.又例：判断下列函数的奇偶性（1） )(xf 12； （2） )(g )ln(2x.解析:（1） )(121)(1)( xff xxxx ， )(f为奇函数.（2） xgx)( )ln(2x )ln(2x )1(l22 l0. )(xg为奇函数 .四、课后训练1.已知 732lo(l)0x，那么12x等于（ ）A. 1 B. 1 C. D. 132.函数 2lgyx的图像关于（
14、）A.x轴对称 B. y轴对称 C.原点对称 D. 直线 yx对称3.函数 (21)log3xy的定义域是（ ）10A. 2,1,3 B. 1,2 C. , D. ,4.函数 21log(67)yx的值域是（ ）A.R B.8, C.,3 D.,5.下列函数中，在 02上为增函数的是（ ）A. 12log()yx B. 2log1yxC. l D. 21l(45)6.已知 |1|log)(xa),0(a在 0， 上有 0gx，则 1()xfa是（ ）A.在 ,0上是增加的 B.在 ,上是减少的C.在 1上是增加的 D.在 1上是减少的7.函数 xaxf)()2是减函数，则实数 a的取值范围是 .8.计算 3log2450lgl .9.已知 1l)(xmfa是奇函数 （其中 )1,0a，（1）求 的值；（2）讨论 )(f的单调性；（3）求 x的反函数 )(1xf；（4）当 )(f定义域区间为 2,a时， )(xf的值域为 ),1(，求 a的值.10.对于函数 3(log21x，解答下述问题：（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围；
