1、1 ADB=AEC， DBA=ECA， ADE=ABC， DBCE=ABC， 即 ADE=BCE=ABC第四章 图形的相似一 本章知识点 1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。2、成比例线段：对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长 度的比相等， 即 （或 a：b=c：d） ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比cb例线段。此时也称这四条线段成比例。 注：在 ab=cd 中， a 叫做第一比例项， b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。如果 a b=c d，那么 ad=cb。特别地，若 ab= b d，即 b
2、2=ad，则 b 叫 a，d 的比例中项， 3、基本性质： ad=cb 比例式与乘积式互化： 如果 a:b=c:d，那么 ad=bc；反之亦成立；如果 a:b=b:c，那么 b2=ac；反之亦成立*等积式先变 4 个比例式上下颠倒或左右互换如果 ad=bc，那么 ； 更换内项 ；cadc更换外项 ； 同时更换内外项 ； bdab4、合比定理： (在分子上进行加或减)（了解）dca如果 ，那么 得 dcbabdcbdcba5、等比定理： )0.(nanmcn6、比例尺：比例尺 ，即图上距离实际距离比例尺。实 际 距 离图 上 距 离7、平行线分三角形两边成比例平行于三角形一边的直线截其他两边，所
3、得的对应线段成比例.【如图，DEBC， 及其变形书写】8、黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC、BC，且满足 AC2=ABBC(或 BC2=ACAB)，则点 C 即为线段 AB 的黄金分割点，AC:AB=BC:AC(或 BC:AB)即为黄金比.9、相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的三角形与原三角形相似.应用格式：DEBC，ADEABC 作 EFAB，证 口 BDEF，DE=BF；判定定理 1: 两角对应相等，两个三角形相似.判定定理 2：三边对应成比例，两三角形相似.判定定理 3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定结论
4、 4：斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似.10、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.注：相似多边形有类似的性质11、利用相似三角形测高1. 利用阳光下的影子测物体的高度DAB CE 上 下 颠 倒 变 形上 下 颠 倒 变 形DBAD=ECAE， DB+ADAD=EC+AEAE即 ABAD=ACAE. ADAB=AEAC.ADDB=AEEC， AD+BDB=AE+CEC即 ABDB=ACEC. DBAB=ECAC.上下 ， 上全 ， 下全
5、 ADB=AEC=BFC=DEBC FD CB AE2测量工具：皮尺测量方法：量出观侧者的身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度。测量数据：观测者身高、影长和被测物体的影长测量原理：由太阳光线是平行线得出两个直角三角形相似。优点：除观测者外不需要其它工具，简单易行，好操作。缺点：受太阳光的限制，只能在有太阳光时进行操作。2. 利用标杆测物体的高度测量工具：标杆（高度要高于观测者的身高） ，皮尺。测量方法：观测者的眼睛要与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上。测量数据：观测者的眼睛到地面的距离、观测者与标杆的距离、标杆与被测物体的距离。测量原理：由标杆和被测物体平行得出两个直角三角行相似
6、。优点：只需要标杆和观测者即可，不受太阳光的限制。缺点：计算量大。3. 利用镜子的反射测物体的高度测量工具：小镜子、皮尺。测量方法：在镜子上做标记，使被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量数据：观测者的眼睛与地面的距离、观测者和镜子的距离、镜子和被测物体的距离。测量原理：由入射角等于反射角得出两个直角三角形相似。优点：只需要镜子和观测者即可，不受太阳光的限制。缺点：操作过程稍显复杂。12、位似：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。13、图形的放大（缩小）所谓图形的放大与缩小，实际上就是画原图形的相似图
7、形。方法有：位似图形法、平行线法、测量法、格点法等。位似图形法：1.确定位似中心；2.连接并延长对应点；3.连接关键点。14、平面直角坐标系中的图形的位似在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数 k(k0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k。15、证明等积式(比例式)策略1、直接法：通过证明三角形相似观察比例式分子中两条线段(三个顶点字母)与分母中两条线段是否在两个(相似)三角形 中；变化：等号同侧的分子与分母组成三角形2、间接法： 3 种代换 等线段代换； 等比代换； 等积代换；创造条件 添加平行线创造“A”字型、 “X”字型 先证其它
8、三角形相似创造边、角条件二 规律与方法1 基本图形及变化图给出一对角相等证相似几个重要模型给出一对角相等证相似ADE=ABC 或AED=ACB，证平行得相似或：根据所给条件(同上) 加上隐含条件(公共角或对顶角相等)证相似 ADEADEADEDEDEDEDEDEDEADEDDDEDEEE(D)DDD DAB CAB CAB CCBA CBAAB CAB CAB CAB CAB C CBACABA EE(E)EDDDBC3FA DCB E重要模型 1双垂直 （射影定理） 如图ACB=90，CDAB ACDCDBABC几个重要结论： （1）ACDCDBAC:BC=AD:CD=CD:BDCD 2=A
9、DBD（2）ACDABCAC:AB=AD:AC=CD:BCAC 2=ADAB（3）CDBABCCD:AB=BC:AC=BD:BCBC 2=BDAB （4）得 AC2:BC2=AD:BD（5）面积法得 ABCD=ACBC比例式（6）特殊图形ACD=B(A=A)ABCACDCD:BC=AC:AB=AD:ACAC 2=ADAB“双垂直”中的计算：例 如图，在 RtABC 中,ACB=90，CDAB 于 D.(1) 已知 AB=29，AD=4，求 CD 和 AC； (2)已知 BC=5， CD=4，求 AD 和 BD；(3)已知 BC=10，AD=6，求 BD 和 AC(4)已知 CD=10，AD=4
10、，求 BC 和 AC.重要模型 2“一线三等角”（图 1） （图 2）例（1）如图 1：已知三角形 ABC 中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有 _（2）如图 2：已知三角形 ABC 中，AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有见多识广：其他常见的一线三等角图形例：如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E 为 DC 边上的动点，EFAE 交 BC 于 F，连结 AF. 在ADE 与CEF、ADE 与ABF、ADE 与AEF 中，(1)如果一定相似，请证明； (2)如果一定不相似，请说明理由；(3)如果不一定相似，请指出当点 E 在什么位置时相似.DCAB
11、 DCBADCBA等腰三角形中底边上一线三等角等腰梯形中底边上一线三等角三垂型 直角坐标系中一线三等角 矩形中一线三等角ABDCEF第18第E FDCBABEADCD BCA4重要模型 3三角形内(外)角平分线定理及应用：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比1、已知：如图所示，AD 是ABC 的内角BAC 的平分线，求证： BA/AC=BD/DC; D CAB按下列提示证一证：过 D 作 DEAC 交 AB 于 E过 B 作 BEAC 交 AD 的延长线于 E 过 C 作 CEAD 交 B
12、A 的延长线于 E，2、已知：如图所示，AD 是ABC 中BAC 的外角CAF 的平分线。求证： = ACBDDCABF典型例题一 选择题1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）2下列线段能构成比例线段的是 （ ）A1cm,2cm,3cm,4cm B1cm, cm, cm,2cm2C cm, cm, cm,1cm D2cm, 5cm, 3cm, 4cm533梯形两底分别为 m、 n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A） （B） （C） （D）2nmn24如图，在正三角形 ABC 中， D， E 分别在 AC， AB 上，且 ， AE BE，则（ ）AC3
13、1（A） AED BED（B） AED CBD（C） AED ABD（D） BAD BCD题 4 题 6 题 75 P 是 Rt ABC 斜边 BC 上异于 B、 C 的一点，过点 P 作直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条6如图， ABD ACD，图中相似三角形的对数是（ ）3. B=5cmAC=4cm7_计 算 在 中 ,是 的 平 分 线 ， ， ， 则 .ABCDBC-=5, -3, =8A_4计 算 在 中 ， 是 的 平 分 线 ， ， 则321EDAB C 21EDAB C 321EDA
14、B CABCD5（A）2 （B）3 （C）4 （D）57如图， ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与 ECP 相似的是（ ）（A） APB EPC （B） APE90（C） P 是 BC 的中点（D） BP BC238如图， ABC 中， AD BC 于 D，且有下列条件：（1） B DAC90；（2） B DAC；（3） ；（4） AB2 BDBCACB其中一定能够判定 ABC 是直角三角形的共有（ ）（A）3 个 （B）2 个 （C）1 个 （D）0 个题 8 题 9 题 109如图，将 ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A
15、 顺时针旋转 90，得 ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论中错误的是（ ）（A） AE AF （B） EF AF 1（C） AF2 FHFE （D） FB FC HB EC210如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（ ）（A） ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周长（B） ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积（C） ABE DEC（D） ABE EBC11如图，在 ABCD 中， E 为 AD 上一点， DE CE23，连结 AE、 BE、 BD，且 AE、 BD 交于点 F，则 S DEF S EBF S ABF等于（ ）（A）410
16、25 （B）4925 （C）235 （D）2525题 11 题 12 题 1312如图，直线 a b， AF FB35， BC CD31，则 AE EC 为（ ） （A）512 （B）95 （C）125 （D）3213如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为（ ）（A）4 cm、 cm （B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm （D）5 cm、2 cm1010 3题 1414某学生想测量学校旗杆的高度，如图已知测得学生身高和其影子长均为 1.75m，影子长为 13.8m，则学校旗杆的
17、高度约为（ ）A15.55m B13.8mC12.05m D数据不够不能确定15.如图，小李用长为 4m 竹竿做测量工具测量学校，竹移动竿，使竹竿、顶端影子恰好落在地面同一点此时，竹竿与这一点相距 8m，与相距 22m，则高为（ ）A11m B15m C30m D60m16小红所在的数学兴趣小组运用的反射来测教学楼的，其中不需要测量的量为（ ）A人到镜子的距离 B镜子到教学楼的距离C人眼到地面的距离 D镜子到人眼的距离17.两个相似三角形的相似比是 1:2，其中较小三角形的周长是 6CM,则较大的三角形的周长是（ ）A.3CM B.6CM C.9CM D.12CM618. （2014鄂州三模）
18、如果两个多边形的比为 16：9，那么这两个多边形的比为（ ）A16：9 B4：3 C2：3 D256：8119.（2008河北）图中的两个三角形是图形，它们的中心是（ ）A点 P B点 O C点 M D点 N20.下列说法正确的是（ ）A.位似图形可以通过平移而相互得到B位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不是只有一个D,位似图形上对应点到位似中心的距离都相等21.下列五个图案：其中，位似图形共有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二 填空题 若 AB=1m，CD=25cm，则 ABCD=_；若线段 AB=m, CD=n，则 ABCD=_ . 若 MNPQ=47，则
19、 PQMN= _ ， MN=_ PQ， PQ=_ MN。 若线段 a，b，c，d 成比例，其中 a=5，b=7，c=4，则,d= _ 若 ab=cd 则有 ad= _ ；若 mx=ny, 则 xy=_ . 已知 4x5y=0，则（xy）（xy）的值为_ 若 xyz=275，且 x2y3z=6，则 x=_ ，y=_ ，z= _ ； 设 = = ，则 =_， =_.x3y5z7 x+yy y+3z3y-2z 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点,且 ACBC,则 ACAB=_ .9已知线段 a6 cm，b2 cm，则 a、b、ab 的第四比例项是_cm，ab 与ab 的比例中项是_cm10如图，
20、ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF FD，EF 交 AC 于 G，则21AGAC_题 10 题 11 题 1211如图，ABCD，图中共有_对相似三角形12如图，已知ABC，P 是 AB 上一点，连结 CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 13如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则 DE 的长等于_7题 13 题 14 14如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，AEEC，AD18，BE15，则ABC 的面积是_15要测量旗杆的高度，已测得旗杆的影长为 20m，如果此时附近小树影长为 2.5m，且小
21、树高为 1.5m，那么旗杆的高度是 m16、41 （2011朝阳）如图，身高是 1.6m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为 1.2m 和 9m，则旗杆的高度为m17.（2013龙岗区模拟）如图；课外活动小组测量学校旗杆的高度如图，在地面上 C 处放一小镜子，当镜子离旗杆 AB 底端 6 米，小明站在离镜子 3 米的 E 处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛 D 离地面 1.5 米，则旗杆 AB 的高度约是米 18.为了测量操场中旗杆的高度，小明学习了“太阳光与影子” ，设计了如图所示的测量方案，根据图中标示的数据可知旗杆的高度为19小华要测量铁塔
22、 AB 的，他在地面上放置一个平面镜 E与铁塔的距离 EB=20m小华距离 ED=2m此时小华刚好从中看到铁塔的顶端 A若小华的眼睛距离地面 CD=1.5m，则铁塔的是 m20. 如图，空白部分的与阴影部分的相似比是，阴影部分的与大三角形的相似比21.已知，如图，ABAB，BCBC，且 OA：AA=4：3，则ABC 与是位似图形，比为 ；OAB 与 是位似图形，位似比为.8三 解答题1 .方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形 请你在图示的 1010 的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母） 2. 如
23、图，ABC 与 ADB 中，ABC=ADB=90，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求 AD 的长。 3. 如图,ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在 BC,AC 上,且BD=CE,AD 与 BE 相交于点 F.(1)试说明ABDBCE。 (2)AEF 与ABE 相似吗?说说你的理由。(3)BD =ADDF 吗?请说明理由。 24. 已知：如图，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，EFBC，FGAD求证 1ABECDG5.在正方形 ABCD 中，AB = 2， P 是 BC 边上与 B、C 不重合的任意点，DQAP 于 Q。(1)试说明 DQAABP。(2
24、)当 P 点在 BC 上变化时，线段 DQ 也随之变化。 设 PA= x,，DQ= y，求 y 与 x 之间的函数关系式？ 6. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于 F，连结 FC（ABAE） （1）AEF 与EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；9（2）设 k，是否存在这样的 k 值，使得AEFBFC ，若存在，证明你的结论并求BCA出 k 的值；若不存在，说明理由7. 如图，在 RtABC 中，C90，BC6 cm，CA8 cm，动点 P 从点 C 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 CA、AB 运动到点 B，则从 C 点出发多少
25、秒时，可使 SBCP S41ABC？8. 如图，小华家（点 A 处）和公路（L）之间竖立着一块 35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE） 广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点 A 的盲区，并将盲区内的那段公路设为 BC一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段 BC 的时间是 3s，已知广告牌和公路的距离是 40m，求小华家到公路的距离（精确到1m） 9. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC.10、如图，在 中， ， .点 从点 开始，沿 边向点 B 以A
26、BCcm8cBC16PA的速度移动；点 从点 开始，沿边 向点 以的速度移动，如果 、 同时scm/2Qsm/4PQ出发，经过几秒钟， 与 相似？PA10PCAQB11、如图，在 中， ， ， ，点 在直角边 上（点 与 、ABC903AC4BEACEA两点均不重合） ，点 在斜边 上（点 与 、 两点均不重合）.CFF（1）若 平分 的周长，设 的长为 ，试用含 的代数式表示 的面积；ERtExxF（2）是否存在线段 ，将 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 的长，t若不存在，说明理由. FEC AB12. 如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12cm，OB=6cm，点 P 从 O 点
27、开始 沿 OA 边向点 A 以1cm/s 的速度移动：点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度 移动，如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间（ ） ，那么：06t（1）设POQ 的面积为 ，求 关于 的函数解析式。yt（2）当POQ 的面积最大时， POQ 沿直线 PQ 翻折后得到PCQ，试判断点 C 是否落在直线 AB 上，并说明理由。（3）当 为何值时， POQ 与AOB 相似？t13.认真阅读并解答。学校旗杆是多少米？14.九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度 CD=3m，标杆与旗杆的水平距离 BD=15m，人的眼睛与地面的高度 EF=1.6m，人与标杆 CD 的水平距离DF=2m，求 旗杆 AB 的高度O P A xyBQ
