1、姓名：雷锋答:(1) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示 ，该方程组的解就是 ，0yx0yx故（0，0 ）点为微分方程 的平衡点；ydtx在分析方程 的稳定性之前，先分析线性微分方程组 的ydtxyaxdty21稳定性，将线性方程组写成 ，其中 ， ，AxdtTxdt),(T),(，因为 ，故（0，0 ）是其唯一平衡点。21aA)e(设 ，可知特征值 ，2）-（)det(121由于 , ,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，可p1q知（0，0 ）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：(2) 该二阶微分方程可用一个二元微
2、分方程组来表示 ，该方程组的解就是02-yx，故（0 ，0）点为微分方程 的平衡点；yxydt2在分析方程 的稳定性之前，先分析线性微分方程组ydtx2的稳定性，将线性方程组写成 ，其中yaxdty21 Axdt， ， ，因为 ，故T),(Tx),(21aA0)e(（0 ， 0）是其唯一平衡点。设 ，可知特征值 ，）1（-detA 2;1由于 , ,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，p2q可知（0，0 ）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：(3) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示 ，该方程组的解就是02yx，故（
3、0 ，0）点为微分方程 的平衡点；yxxdty2在分析方程 的稳定性之前，先分析线性微分方程组xdty2的稳定性，将线性方程组写成 ，其中yaxdty21 Axdt， ， ，因为 ，故T),(Tx),(21aA0)e(（0 ， 0）是其唯一平衡点。设 ，可知特征值 ，2-detA i21由于 , ,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，可pq知（0，0 ）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：(4) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示 ，该方程组的解就是02yx，故（0 ，0）点为微分方程 的平衡点；yxydt2在分析方
4、程 的稳定性之前，先分析线性微分方程组ydtx-2的稳定性，将线性方程组写成 ，其中yaxdty21 Axdt， ， ，因为 ，故T),(Tx),(21aA0)e(（0 ， 0）是其唯一平衡点。设 ，可知特征值 ，）（）1（-detA -2；1由于 , ,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，可3p2q知（0，0 ）点是稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：答：（1 ）营养的浓度能达到平衡。（2 ）已知 ，令 ；KNRdt)(NfKRdt当 时，得到的 N 为平衡解；0)(f故 KN（3 ）它是稳定的因为当 时， 且 ；Rt0)(Nf
5、0/当 时， 且 ，如下图所示，在 处稳定。Kt)(f)(/f KRN答：根据题意设在 t 时刻，病菌数量为 ,病菌增长率为 ，死亡率为 ，当）（Nt12时， ;0t0)(N由此可以建立微分方程，如下所示 0)(211NNdt令 ，当 时，计算其平衡点 ，211)(Nxfxf 210N下图画出了 的符号取值范围和 的变化趋势；）（ /t）（Nt根据题意可知，细菌数量 N 不可能小于 0，当 时， ，21N0)(/tN当 时， ；21N0)(/t因此，根据图示可以判断， 是稳定的， 不是稳定的。2N21N答：令 ，计算 时的平衡点；ExNrxf)1() 0)(f得到平衡点 ， ；)(0r1计算
6、；xNrExENxf 2)()(/ 分别将 和 带入 后得到01/f0)(2)(0/ rrxf1/ Ef由此可以判断出平衡点 处是稳定的，平衡点 是不稳定的；1x0x由于 ，且 ;)()(hgxfNrg)1()计算 ；)2()()1()/ xrxNr当 时， ，因此可知在 曲线的零点位置，其切线斜率为 r;0xg/ g已知 ,故必存在平衡点；rE令 ，计算得到 ；0)(/xg2Nxm将其带入 ，可得 ；r)1()4)(rxg将 和 带入 ；4)(Nxg2mEf)(计算可得最优捕捞率 rE1答：根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型 ，减去相应的捕捞量后xNrln)(g的鱼量为 ；这里并不需要解方程
7、 以得到ExNrxhgxfln)()( )(fx(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t)的趋向, 并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程 的平衡点并分析其x稳定性令 ,计算其平衡点 ；0)(xfrEeNx0计算 ,将 带入后得到， ，故平衡点/Nrln0 0)(/rxf是稳定的。这说明只要捕捞适度，就可以让渔场的鱼量稳定在 ，应用rEeNx0 rEeN0图解法：、由图可知，当 h（x ）和 g（x ）在 的顶部相交时，可以获得最大的持续产量。)x(gy令 ，得到稳定时的平衡点 ；)(/f0lnErN eNx带入到 中，得到xh
8、 rhmln将 带入到 ，计算保持渔场鱼量稳定在 的捕捞强度为eNxrEeN0 xrE答：该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示 ；012221 xbcax将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示： 0-22122 111 xcbxca计算该方程组，求得平衡解如下：)0,(1p)22bca)0,(13cbap1、对于平衡点 ，由于1 )21()2(- 2221 xbcaxxcbxaA 210caA计算得到，21-cap)(21caq由于 ， ，故 且1c20由定理 2.2 可知，平衡点 是不稳定的。),(1（1 ）对于平衡点 ，由于022bcap )21()1(- 2221 xbcaxbxxaA带入平衡点可得 2210caca,221-p221)(caq已知 ， ，如果 ，那么得到 且 。1ac221ca0pq根据定理 2.2 可知，当 且 时，平衡解是稳定的，则当 时，0pqt。0)(1tx（2 ）对于平衡点 ，由于)0,(13cbap )21(2- 2221 xbcaxbxxA
