1、 DCAOB2015 年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015 年 12 月 6 日）解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题 10 分，共 80 分）1、已知 AB 为圆 O 的直径，AB=1，延长 AB 到点 C，使得 BC=1，CD 是圆 O 的切线，D是切点，则 的面积为_。ABD解答：依据切割线定理可以得到： 。22BAD因为可以得到 C因此有 。21BAD因为 AB 为圆 O 的直径，所以 时直角三角形。ABD依据勾股定理有 。22221133B而 216ABDS2、有编号分别为去 1,2,3,4,5,6,7 的 7 个大小相同的小球，从中任取 3 个小球，则取出的 3个小球的
2、编号和为奇数的概率为_。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为 种，因为没有小球的数字不同，这375C样这三个球的数字和有 35 和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从 1,3,5,7 四个数中取三个，取法为 34C第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从 1,3,5,7 的四个数中取 1 个，从 2,4,6 三个数中取两个，取法有 .2431C这样和为奇数一共有 种。从而取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率为6 16353、实数 满足 ， ， ，则 的值为_。,xy234y24xyx解答：因为2yx上述两个相减，得到： 。因为()3()0yxxyxy所以有
3、 。3xy上述相加得到 2 2()4()3()4yxyxyxyBCO1O2PABABAMNPQ所以 。因此1xy2()1xyxy4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍，则这三个素数为_解答：设这三个素数为 。则有 。因为 23 是素数，从,abc23()abc，可以得到 23 能够整除三个素数 的 积。从而可以得到其中23()abc,a有一个素数必为 23。假设这样就有 124(1)24612bccbc因为 为素数，所以得到 或,bc5,73,这样得到三个素数为 5,7,23 或 3,13,23。5. 如图，圆 与圆 外切于点P ，从圆 上点A 作圆 的切线AB ， B 是切点，连1
4、O21O2接AP 并延长，与圆 交于点C 已知圆 、圆 的半径分别为2、1，则21_AB解答：做如图所示的辅助线。可以得到 2121/OPOA为此设 ，则Ck.k应用切割线定理有： 2236.ABPB所以 。6k6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON 的两边分别是射线 y x( x 0)与x轴正半轴点A(6,5)，B(10,2) 是 MON 内的两个定点，点P、 Q分别是MON 两边上的动点，则四边形 ABQP 周长的最小值是_解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP ，其中一个边 AB 为定值。要求四边形ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到 , .
5、/(56)A/(10,2)B四边形另外三边的最小值为 /依据两点间距离公式有。 ，/ 22(10)()89B 22(105)()34A从而最小值为 。89347. 不定方程 的整数 解共有_组。22xyxy(,)x解答：设 ，所以从 ，可以得到k2y22kxyk所以 。2233kkxy这样 是方程 的两个根，并且根为整数。,220tk所以 。因此有 。222()483k08k同时要保证 为整数。这样就有 ， ， ， ，2()kxy356当 时，0k(,)0,当 时，方程为方程 没有整数解。32310t当 时，方程为方程 没有整数解。5k5当 时，方程为方程 ，有整数解为 2,4。所以 或626
6、8t (,y)2,4x(,)当 时，方程为方程 ，有整数解为 4,4。所以 8k10整数 解共有 4 组(,y)x8. 设 是给定的正实数， 是给定的大于 1 的整数，实数 满足an123,nxx，则22213xxa的最2222113()()()()()n nxx21()nx大值_。解答：因为 2222211313()()()()()n nxxxx 21()nx22324211()nnnxnDPDCBA123234211()()()()nnnxnnnaxxxx有这样的一个结论，因为 22 222()yyyyy而 123234211()()nnxnnxxxx22 22131342 2 23453
7、 1122 21 1) ()()()() nnnnxnxxxx a所以最大值为 ()a二、解答题（第 9、10 题，每题 15 分，第 11、12 题，每题 20 分，共 70 分）9. 如图，在ABC中，BC a，CA b，ACB 60，ABD是正三角形，P是其中心，求 CP 的长度解答：分析作 D 点关于 AB 的对称点 。/D则 为等边三角形，这样就有 ，已知/AB/06ABACB 60所以 四点共圆。这个圆过 P/,C点。连接 AP，BP。因为P是正三角形ABD 的中心，所以 023sin63ABAB因为A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密
8、定理可以得到 PCPC所以 。3()ab10. 在1，2， ，2015 这2015 个正整数中选出 个数，使得其中任意两个不同的数的和k都不是50 的倍数，求k 的最大值解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4， ,47,48,49。共50中情况。而。0415下面吧从1,2， ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。余数 1 2 15 24 25 26 48 49 0第1行 1 2 15 24 25 26 48 49 50第2行 51 52 65 74 75 76 98 99 100第3行 101 102 115 124 125 126 148 149 150 OFM
9、QPNEGDICA BG ICA B第40行 1951 1952 1998 1999 2000第41行 2001 2002 2015 第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为 64(021)597这样集合为这样式样1,25,0,1245,174,952,1974,050这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。因此 的最大值为977.k11. 已知ABC的三边
10、长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为ABC 的重心和内心，且GIC 90，求边AB的长度解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的。由题意知道GIC 90，并且平分 ,出现角平分 +垂直ACB的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI.很容易得到 为等腰三角形，也就是CMNMN过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设 的内接圆的半径为 。r由面积法得到： CGMNCIMINSS也就是 1122PFr所以 r因为G为三角形ABC的重心，可以得到3BACBd用面积法有： 122SSbabc化简为 6也就是 35，因为 为正整数6()ab,ab所
11、以得到 ，则k6k为此 为方程 的两个根。,ab26350tk()49k有 。因此6k4,5k当 时，方程为 所以此时k230(1)014,0t tt。因此 。10,4ab1AB当 时，方程为 没有整数解。5k25t因此 。12. 设 是正整数， 不是 4的倍数，求证： 不是完全平方数 ,ab2ab(3)57)ab证明： ，当 为同奇数，或者同偶数时，可以得到2(),一定是4的倍数。已知 不是 4的倍数，所以 中一个为2,ab奇数，一个为偶数。假设 。因为21,anbm222 2(3)57)15()(1)()084808408415abnm因为 能够被8整除。22(1)0()nnm所以此时 被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种357)ab情况下不是完全平方数。假如 ，因为2,1mn222 22(3)57)5()(1)()084(16840116(ababmnn n从而 能够被8整除，所以此时202()(1)mn被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不(3)57)ab是完全平方数。综合可以得到： 不是完全平方数(3)57)ab
