1、 版权所有：中华资源库 第 十 四 节 定 积 分 与 微 积 分 基 本 定 理备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解如 2012 年江西 T11 等3.考查曲边梯形面积的求解如 2012 年湖北 T3，山东T15，上海 T13 等4.与几何概型相结合考查如 2012 年福建 T6 等.归纳知识整合1定积分(1)定积分的相关概念在 f(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分区间，f(x) ba叫做被积函数，x 叫做积
2、分变量，f (x)dx 叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数 f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分 f(x)dx 的几何意义是由直线 baxa，xb(ab)，y0 和曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (左图中阴影部分)一般情况下，定积分 f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 baxa，xb 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示 )，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质 kf(x)dxk f(x)dx. ba ba f1(x)f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx.
3、 ba ba ba f(x)dx f(x)dx f(x)dx. ba ca bc探究 1.若积分变量为 t，则 f(x)dx 与 f(t)dt 是否相等？ ba ba版权所有：中华资源库 提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而 导函数的原函数则有无 穷多个， 这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定 积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分 f(x)g(x )dx(f(x)g(x)的几何意义是什么？ ba提示：由直线 xa，xb 和曲线 yf (x)，yg( x)所围成
4、的曲边梯形的面积2微积分基本定理如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b) F(a)， ba这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把 F(b)F(a)记成 F(x) ，即|baf(x)dxF( x) F( b)F(a) ba |ba自测牛刀小试1. dx 等于( ) 421xA2ln 2 B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选 D dxln xError! ln 4ln 2ln 2. 421x 422(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为 V(t)t 2t 2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为(
5、)A. B.176 143C. D.136 116解析：选 A S (t2t2)dt Error! . 21 211763(教材习题改编)直线 x0 ，x 2，y0 与曲线 yx 2 所围成的曲边梯形的面积为_解析： x2dx x3Error! . 2013 20 83答案：834(教材改编题) dx_. 101 x2解析：由定积分的几何意义可知， dx 表示单位圆 x2y 21 在第一象限内部 101 x2版权所有：中华资源库 分的面积，所以dx . 101 x214答案： 145由曲线 y ，直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 _1x 52解析：作出图象如图所示解方程 组可得交点为 A
6、，B ，所以(12，2) (2，12)阴影部分的面积，Error!Error!dx21 2ln 2.( 12x2 52x ln x) 21158答案： 2ln 2158利用微积分基本定理求定积分例 1 利用微积分基本定理求下列定积分：(1) (x22x1)dx ；(2) (sin xcos x)dx； 21 0(3) x(x1)dx ；(4) dx； 20 21(e2x 1x)(5) sin2 dx.0x自主解答 (1) (x22x1) 21dx x2dx 2xdx 1dx Error! x 2Error! xError! . 21 21 21x33 21 21 21 193(2) (sin
7、xcos x )dx 0 sin xdx cos xdx 0 0(cos x)Error! sin x Error! 2.0 0(3) x(x1)dx (x2x)d x 20 20 x2dx xdx x3Error! x2Error! 20 2013 20 12 20版权所有：中华资源库 .(1323 0) (1222 0) 143(4) dx e2xdx dx 21(e2x 1x) 21 211x e2xError! ln x Error! e4 e2ln 2ln 112 21 21 12 12 e4 e2ln 2.12 12(5) sin2 dx dx0x2 0(12 12cos x)
8、dx cos xdx2012 12 0 x sin x .12 012 04 12 24 求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值1求下列定积分：(1) |x1|d x； 20(2) dx.1 sin 2x解：(1)|x1| Error!故 |x1|d x (1x)dx (x1)d x 20 10 21 Error! Error!(
9、x x22) 10 (x22 x) 21 1.12 12(2) dx01 sin 2x版权所有：中华资源库 |sin xcos x|d x (cos xsin x)dx (sin x cos x)dx204024(sin xcos x) (cos x sin x) 4024 1(1 )2 2.2 2 2利用定积分的几何意义求定积分例 2 dx_. 10 x2 2x自主解答 dx 表示 y 与 x0， x1 及 y0 所围成的图形 10 x2 2x x2 2x的面积由 y 得(x 1) 2y 21(y0)， x2 2x又0x1，y 与 x0，x1 及 y0 所围成的图形为 个圆，其面积为 .
10、x2 2x14 4 dx . 10 x2 2x4在本例中，改变积分上限，求 dx 的值 20 x2 2x解： dx 表示圆(x1) 2y 21 在第一象限内部分的面积，即半圆的面积， 20 x2 2x所以dx . 20 x2 2x2 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小2(2013福建模拟)已知函数 f(x) (cos tsin t)dt(x0)，则 f(x)的最大值为 x0_解析：因为 f(x) sin dt x02 (4 t)版权所有：中华资源库
11、 cos Error! cos cos 2 (4 t) x0 2 (4 x) 2 4sin x cos x1 sin 1 1，2 (x 4) 2当且仅当 sin 1 时，等号成立(x 4)答案： 12利用定积分求平面图形的面积例 3 (2012山东高考)由曲线 y ，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )xA. B4103C. D6163自主解答 由 y 及 yx2 可得， x4，即两曲线交于点(4,2) 由定 积分的几何意x义可知，由 y 及 yx 2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为x( x2)dx Error! . 40 x (23x32 12x2 2x) 40 163答案
12、C若将“yx2”改为“y x2” ，将“y 轴”改为“x 轴” ，如何求解？解：如图所示，由 y 及 yx2 可得 x1.由定积分的几何意x义可知，由 y ，yx2 及 x 轴所围成的封闭图形的面 积为 f(x)x 20dx dx (x 2)dx x Error! Error! 10x 2123 10 (2x x22) 21 . 76 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案版权所有：中华资源库 3(2013郑州模拟)如图，曲线 yx 2 和直线
13、 x0，x1，y 所围成的14图形( 阴影部分)的面积为( )A. B. 23 13C. D.12 14解析：选 D 由Error!x 或12x (舍) ，所以阴影部分面积12S dx dx10(14 x2) 12(x2 14) .(14x 13x3) 20(13x3 14x) 214定积分在物理中的应用例 4 列车以 72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？自主解答 a0.4 m/s 2，v072 km/h20 m/s.设 t s 后的速度为 v，则 v200.4t.令 v0，即 200.4 t0 得 t50
14、 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s，则 s vdt (200.4t)dt 50 50(20t0.2t 2)Error!5020500.250 2500(m)，即列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处开始制动 1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 vv(t)(v(t) 0)，那么物体从时刻 ta 到 tb 所经过的路程为 v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时 ba间 t 的函数是 vv(t)( v(t)0) ，那么物体从时刻 ta 到 tb 所经过的路程为 v(t)dt. ba版权所有：中华资源库 2变力做功问
15、题物体在变力 F(x)的作用下，沿与力 F(x)相同方向从 xa 到 xb 所做的功为 F(x)dx. ba4一物体在力 F(x)Error!( 单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动了 4 米，力 F(x)做功为( )A44 J B46 JC48 J D50 J解析：选 B 力 F(x)做功为 10dx (3x4)d x 20 4210xError! Error!20 42202646. 1 个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算 3 条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3
16、)积分可分段进行 3 个注意定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负. 易误警示利用定积分求平面图形的面积的易错点典例 (2012上海高考)已知函数 yf(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B ，C (1,0)函数 yxf (x)(0x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_(12，5)解析 由题意可得f(x)Error!所以 yxf(x) Error!版权所有：中华资源库 与 x 轴围成图形的面积为 10x2dx Error! Referen
17、ce source not 101found.(10x10 x2)dx x3 Error! Reference source not found. .103 2(5x2 103x3) 2 54答案 54易 误 辨 析 1本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量变 式 训 练 1由曲线 yx 2，y x 3 围成的封闭图形面积为( )A. B
18、. 112 14C. D.13 712解析：选 A 由Error!得 x0 或 x1，由图易知封闭图形的面积 (x2x 3)dx 1013 .14 1122(2012山东高考)设 a0.若曲线 y 与直线 xa，y 0 所围成封闭图形的面积为xa2，则 a_.解析：由题意 dxa 2. a0x又 ，即 x Error! a 2，(23x) x 23 a0即 a a 2.所以 a .23 49版权所有：中华资源库 答案：49一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1. dx( ) e11 ln xxAln x ln2x B. 112 2eC. D.32 12解析：选 C d
19、x . e11 ln xx (ln x ln2 x2 )e1 322(2012湖北高考)已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为( )A. B.25 43C. D.32 2解析：选 B 由题中图象易知 f(x)x 21， 则所求面积为 2 (x 21)dx 2 10 .( x33 x)10 433设函数 f(x)ax 2b( a0) ，若 f(x)dx3f(x 0)，则 x0 等于( ) 30A1 B. 2C D23解析：选 C f(x)dx (ax2b)dx 9a 3b， 30 30 (13ax3 bx)30则 9a3b3(ax b)，20即 x 3，x 0 .20 34设 f(x)Error!则 f(x)dx( ) 20A. B.34 45
