1、中考数学压轴题及解析分类汇编2016 年中考数学压轴题及解析分类汇编2016中考数学压轴：相似三角形问题2016 中考 数学压轴题函数相似三角形问题(一)2016 中考 数学压轴题函数相似三角形问题(二)2016 中考 数学压轴题函数相似三角形问题(三)2016 中考数学压轴：等腰三角形问题2016 中考 数学压轴题函数等腰三角形问题(一)2016 中考 数学压轴题函数等腰三角形问题(二)2016 中考 数学压轴题函数等腰三角形问题(三)2016 中考数学压轴：直角三角形问题2016 中考 数学压轴题函数直角三角形问题(一)2016 中考 数学压轴题函数直角三角形问题(二)2016 中考 数学
2、压轴题函数直角三角形问题(三)2016中考数学压轴：平行四边形问题2016 中考 数学压轴题函数平行四边形问题(一)2016 中考 数学压轴题函数平行四边形问题(二)2016 中考 数学压轴题函数平行四边形问题(三)2016 中考数学压轴：梯形问题2016 中考 数学压轴题函数梯形问题(一)2016 中考 数学压轴题函数梯形问题(二)2016 中考 数学压轴题函数梯形问题(三)2016 中考数学压轴：面积问题2016 中考 数学压轴题函数面积问题(一)2016 中考 数学压轴题函数面积问题(二)2016 中考 数学压轴题函数面积问题(三)2016 中考数学压轴题:函数相似三角形问题( 一)例
3、1、直线 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，AOB 绕点 O 按逆时针方向13y旋转 90后得到COD ，抛物线 yax 2bxc 经过 A、C 、D 三点(1) 写出点 A、B、C 、D 的坐标；(2) 求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标；(3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90 是解题的前提4A
4、BQ 与COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个满分解答（1）A(3 ，0)，B(0，1)，C(0，3)，D (1 ，0)（2）因为抛物线 yax 2bxc 经过 A(3，0)、C (0，3)、D(1，0) 三点，所以解得 930,.abc1,3.ab所以抛物线的解析式为 yx 22x3 ( x1) 24 ，顶点 G 的坐标为(1，4) （3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3x 1，直线 CD 的解析式为 y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 ABCD因此 ABBG ，即A
5、BQ90 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x ，3x1)，那么 2(3)10BxRt COD 的两条直角边的比为 13 ，如果 RtABQ 与 RtCOD 相似，存在两种情况：当 时， 解得 所以 ， 3BQA103x1(3,0)Q2(,8)当 时， 解得 所以 ， 3310x3x3(,)41(,)3图 2 图 3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG ；二是 2()10BQxx我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GHy 轴，QNy 轴，垂足分别为 H、N通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG 90在
6、 Rt BGH 中， ， 1sin03cos10当 时， 3BQA在 Rt BQN 中， ， sin13NB cos19NBQ当 Q 在 B 上方时， ；当 Q 在 B 下方时， 1(,0)2(3,8)当 时， 同理得到 ， 3A31,)4,0例 2、 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数 在第(0)kyx一象限内的图像与 BC 边交于点 D（4，m），与 AB 边交于点 E（2，n），BDE 的面积为2（1）求 m 与 n 的数量关系；（2）当 tanA 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式；12（3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD
7、上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点 P 的坐标图 1思路点拨1探求 m 与 n 的数量关系，用 m 表示点 B、D 、E 的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况满分解答（1）如图 1，因为点 D（4， m）、E（2，n）在反比例函数 的图像上，所以kyx整理，得 n2m4,2.mkn（2）如图 2，过点 E 作 EHBC，垂足为 H在 RtBEH 中，tanBEH tanA ，EH 2 ，所以 BH1因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2 m1)1已知BDE 的
8、面积为 2，所以 解得 m1因此1()D(4，1) ，E (2，2)，B(4，3)因为点 D（4 ， 1）在反比例函数 的图像上，所以 k4因此反比例函数的解析kyx式为 yx设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 B(4，3)、E(2，2)，得 解得34,2.kb， 12kb因此直线 AB 的函数解析式为 12yx图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线 与 y 轴交于点 F（0 ，1），点 D 的坐标为（4，1），1yx所以 FD/ x 轴， EFPEAO因此AEO 与EFP 相似存在两种情况：如图 3，当 时， 解得 FP1此时点 P 的坐标为EAFOP25（1 ，1 ）如图 4
9、，当 时， 解得 FP5此时点 P 的坐标为AEF2（5 ，1 ）考点伸展本题的题设部分有条件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况：第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为 ，12yx直线 AB 为 第（ 3）题 FD 不再与 x 轴平行，AEO 与EFP 也不可能相似72yx图 52016 中考数学压轴题函数相似三角形问题( 二)例 3、如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0 ，0）、A（2，0）、B（6 ， 3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐
10、标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P 、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点
11、 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与
12、x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为 M（1， ）1x2184yx8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，由此得到1212()3()6S由于 ，所以 整理，得13sx23y2121384yxx因此得到 2121()()84x217S当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为（6，3）214,.x12,8.x（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线
13、 PQ 与 x轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角 G在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF 的可能，GQE GAF这时GAFGQEPQD由于 ， ，所以 解得 3tan4GAFtan5DQtP345t207t图 3 图 4例 4、 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 上2ymxn（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形，求
14、平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C 、 D 为顶点的三角形与ABC 相似图 1 思路点拨1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1 ）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3 ）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC 的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求ABC 与BCD 相似，根据菱形的性质，BACCBD ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论满分解答(1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 上，所以2ymxn解得 ， 44,0.mn43mn(2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0) ，可得 AB5 因为四边形 A ABB 为菱形，所以 A ABB AB5 因为 ，所以原4382xy2163x抛物线的对称轴 x1 向右平移 5 个单位后，对应的直线为 x4因此平移后的抛物线的解析式为 1642,xy
