2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解.doc

1、 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分 42分，每小题 7分）(本题共有 6个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分.)1.用 表示不超过 的最大整数，把 称为 的小数部分.已知 ， 是xxx123ta的小数部分， 是 的小数部分，则 （ tbt12ba）.A12.B32.C.D32.三种

2、图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案有 （ ）种 种 种 种.9.10.1.123(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和 均为“和谐数”.那么，不超过 的正整数中，3321(),26,262016所有的“和谐数”之和为 （ ）.A85.B80.C90.D9263(B）.已知二次函数 的图象的顶点在第二象限，且过点 .当21()yaxb(1,0)为整数时， （ abb）.A0.B14.C34.24.已知 的半径 垂直于弦 ,交 于点 ，连接 并延长交 于点 ,

3、若ODABAOE,则 的面积为 （ 8,B2CE）.A1.B15.C16.D185.如图，在四边形 中， ， , ,对角D09AB5AC1D线的交点为 ，则 ( )M2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 2 页 .A32.B53.C.D16.设实数 满足 则 的最大值为 ( ),xyz1,yz23MxyzA12.B23.C4.D1二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）(本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B） 】 已知 的顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象ABC3yx0上， , , 轴，点 在点 的上方，且 则点 的09AC03xBA6,BC

4、坐标为 .1(B).已知 的最大边 上的高线 和中线 恰好把 三等分，DM,则 .3DM2(A).在四边形 中， , 平分 , 为对角线的交点，ABCDACBO则 .,CO,3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 .3(B).若质数 、 满足： 则 的最大值为 .pq40,1,pqp4(A).将 5 个 1、 5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5

5、 个和的最小值为 ,则 的最大值为 .M第二试 (3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、 （本题满分 20 分）已知 为正整数，求 能取到的最小正整数值.,ab24Mab2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 3 页 二、 （本题满分 25 分）(A).如图，点 在以 为直径的 上， 于点 ,点 在 上，CABOCDABEBD四边形 是正方形， 的延长线与 交于点 .证明: .,EDEFMNFE(B).已知： 5,abc2215,abc3347.abc求 的值.22)()()2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 4 页 三、 （本题满分 25 分）(A).已知正实数 满

6、足： ,且,xyz1xyz.2221)(1)()4x x(1) 求 的值.xyz(2) 证明: .9()()8()zxyzzx(B).如图，在等腰 中 , 为 边上异于中点的点，点 关于直ABC5,DBCC线 的对称点为点 , 的延长线与 的延长线交于点 求 的值.ADEA,FAD2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 5 页 2016 年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分 42分，每小题 7分）(本题共有 6个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在

7、题后的括号内. 每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分.)1.用 表示不超过 的最大整数，把 称为 的小数部分.已知 ，xxx123t是 的小数部分， 是 的小数部分，则 （ atbt12ba）.A12.B32.C.D3【答案】 . 【解析】 即13,12,t4,t又 3.at3,1,t23,故选 A. (4)2,bt123,2()ba2.三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案有 （ ）种 种 种 种.A9.B10.C1.D12【答案】C.【解析】设购

8、买三种图书的数量分别为 则 ，,xyz30yzx2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 6 页 即 ，解得 依题意得， 为自然数（非负整数） ，30412yzx201yxz,xyz故 有 种可能的取值（分别为 ，对于每一个 值， 和,x,910) xy都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有 11 种，故选 C. z3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和 均为“和谐数”.那么，不超过 的正整3321(),261,262016数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A685.B80.C90.D92【答案】B. 【解析】 33

9、 2(21)()(21)(1)()21()kkkk （其中 为非负整数） ，由 得， 2069，即得所有不超过 2016 的“和谐数” ，它们的和为0,89k故选 B.3333331()1)(5)(175)(917)8.3(B）.已知二次函数 的图象的顶点在第二象限，且过点 .20yaxb(1,0)当 为整数时， （ abb）.A0.B14.C34.D2【答案】B.【解析】依题意知 故 且 ，0,10,2baa,b1a，于是 (1)ab2又 为整数， 故 ，故选 B.,44.已知 的半径 垂直于弦 ,交 于点 ，连接 并延长交 于点 ,OADABCAOE若 ,则 的面积为（ ） 8,B2CE.

10、1.15.16.D18【解析】设 则,x2,x于ODA4BA在 中， RtC22,O2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 7 页 即 解得 ，即 （第 4 题答案224(),x3xOC图） 为 的中位线， 是 的直径，OCABE26.BEAE90,B故选 A. 141.2S5.如图，在四边形 中， ， , ,对角CD09DC5C1D线的交点为 ，则 ( )M.A32.B53.C.D1（第 5 题答案图） 【答案】D. 【解析】过点 作 于点 则 AHBD,AMH,CD,AM1,CD设 则 ,MC,x5,5xCx在 中， 则 RtAB22,AB25ABx显然 ，化简整理得25,x0x25

11、10x解得 （ 不符合题意，舍去） ，故,25在 中， ,故选 D. 5,CMRtCD21MC6.设实数 满足 则 的最大值为 ( ),xyz1,yz3xyzA12.B23.34.1【答案】C.【解析】22()(23)()343Mxyzxyxyxyy2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 8 页 2 22113yxyxx2 2234y当且仅当 时， 取等号，故 ，故选 C.1,0xyMmax34二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）(本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B） 】 已知 的顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象ABC3yx0上， ,

12、, 轴，点 在点 的上方，且 则点 的09AC03xBA6,BC坐标为 .【答案】 .3,2【解析】如图，过点 作 于点 .CDAB在 中，RtABcos3在 中， （第 1题答案图） t in,2,设 ，9cos,2BDC 3ADB3,CmAn依题意知 故 ，于是0,nm,nn解得 ，故点 的坐标为 .32n32nC3,21(B).已知 的最大边 上的高线 和中线 恰好把 三等分，ABCADMBAC,则 .3DM【答案】 .2【解析】2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 9 页 （第 1 题答案图 1 ） （ 第 1 题答案图 2）依题意得 , 故 . BADMAC09,DBABC(

13、1)若 时，如答案图 1 所示， CM,2又 平分 在 中，即 AD,2ACRtDAC1cos,2AC从而 .06,C0093B在 中， Rttantan6,1.M在 中， . ADM2ADM(2)若 时，如答案图 2 所示.同理可得 .综上所述， .BC 2A2A2(A).在四边形 中， , 平分 , 为对角线的交点，BCBCDO则 .,O,【答案】 .126【解析】设 , ,DAO平分 , ,CABCB , , (第 2 题答案图)DOC, , ,O,A, ,ADBOB,BC,DC, 180OC解得 ， ,2,18036,72 72DB,BDCA18054,BDA故 .26C3.【3(A)

14、、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 .2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 10 页 【答案】 .16734【解析】设两个三位数分别为 ，则 ，,xy103xy故 是 的正整数倍，不妨设 （ 为正整数） ，0()yx ytx代入得 是三位数， ，解得13,t,txx103xt为正整数， 的可能取值为 验证可知，只有 符合，此时,29tt123.2故所求的六位数为 . 674.xy6743(B).若质数 、 满足： 则 的最大值为 .pq30,pqp【答案】 .10【解析】由 得，44,22(3)3

15、,pqq因 为质数，故 的值随着质数 的增大而增大，当且仅当 取得最大值时， 取得最qpq大值.又 ， ，因 为质数，故 的可能取值为1pq341,q3284，但 时， 不是质数，舍去.23,97,5,26513pq当 时, 恰为质数.故 . maxmax9,()9074(A).将 5 个 1、 5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5 个和的最小值为 ,则 的最大值为 .M【答案】 0.【解析】(依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论,确定 的最大值.M(1)若 5 个 1 分布在同一列，则 ；5(2)若 5 个 1 分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为 3，故,故 ;320(3) 若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为 3，故,故 ;3M1M(4) 若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于 3，这与已知矛盾.综上所述， .另一方面，如下表的例子说明 可以取到 10.故 的最大值为 101 1 1 4 51 1 2 4 52 2 2 4 53 3 2 4 5