1、 2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 1 页 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分 42分,每小题 7分)(本题共有 6个小题,每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得 7 分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分.)1.用 表示不超过 的最大整数,把 称为 的小数部分.已知 , 是xxx123ta的小数部分, 是 的小数部分,则 ( tbt12ba).A12.B32.C.D32.三种
2、图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元,某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本,那么不同的购书方案有 ( )种 种 种 种.9.10.1.123(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如: 和 均为“和谐数”.那么,不超过 的正整数中,3321(),26,262016所有的“和谐数”之和为 ( ).A85.B80.C90.D9263(B).已知二次函数 的图象的顶点在第二象限,且过点 .当21()yaxb(1,0)为整数时, ( abb).A0.B14.C34.24.已知 的半径 垂直于弦 ,交 于点 ,连接 并延长交 于点 ,
3、若ODABAOE,则 的面积为 ( 8,B2CE).A1.B15.C16.D185.如图,在四边形 中, , , ,对角D09AB5AC1D线的交点为 ,则 ( )M2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 2 页 .A32.B53.C.D16.设实数 满足 则 的最大值为 ( ),xyz1,yz23MxyzA12.B23.C4.D1二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分)(本题共有 4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B) 】 已知 的顶点 、 在反比例函数 ( )的图象ABC3yx0上, , , 轴,点 在点 的上方,且 则点 的09AC03xBA6,BC
4、坐标为 .1(B).已知 的最大边 上的高线 和中线 恰好把 三等分,DM,则 .3DM2(A).在四边形 中, , 平分 , 为对角线的交点,ABCDACBO则 .,CO,3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍,这个六位数是 .3(B).若质数 、 满足: 则 的最大值为 .pq40,1,pqp4(A).将 5 个 1、 5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内(每格填入一个数) ,使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和,设这 5
5、 个和的最小值为 ,则 的最大值为 .M第二试 (3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、 (本题满分 20 分)已知 为正整数,求 能取到的最小正整数值.,ab24Mab2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 3 页 二、 (本题满分 25 分)(A).如图,点 在以 为直径的 上, 于点 ,点 在 上,CABOCDABEBD四边形 是正方形, 的延长线与 交于点 .证明: .,EDEFMNFE(B).已知: 5,abc2215,abc3347.abc求 的值.22)()()2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 4 页 三、 (本题满分 25 分)(A).已知正实数 满
6、足: ,且,xyz1xyz.2221)(1)()4x x(1) 求 的值.xyz(2) 证明: .9()()8()zxyzzx(B).如图,在等腰 中 , 为 边上异于中点的点,点 关于直ABC5,DBCC线 的对称点为点 , 的延长线与 的延长线交于点 求 的值.ADEA,FAD2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 5 页 2016 年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分 42分,每小题 7分)(本题共有 6个小题,每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在
7、题后的括号内. 每小题选对得 7 分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分.)1.用 表示不超过 的最大整数,把 称为 的小数部分.已知 ,xxx123t是 的小数部分, 是 的小数部分,则 ( atbt12ba).A12.B32.C.D3【答案】 . 【解析】 即13,12,t4,t又 3.at3,1,t23,故选 A. (4)2,bt123,2()ba2.三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元,某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本,那么不同的购书方案有 ( )种 种 种 种.A9.B10.C1.D12【答案】C.【解析】设购
8、买三种图书的数量分别为 则 ,,xyz30yzx2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 6 页 即 ,解得 依题意得, 为自然数(非负整数) ,30412yzx201yxz,xyz故 有 种可能的取值(分别为 ,对于每一个 值, 和,x,910) xy都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有 11 种,故选 C. z3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如: 和 均为“和谐数”.那么,不超过 的正整3321(),261,262016数中,所有的“和谐数”之和为 ( ).A685.B80.C90.D92【答案】B. 【解析】 33
9、 2(21)()(21)(1)()21()kkkk (其中 为非负整数) ,由 得, 2069,即得所有不超过 2016 的“和谐数” ,它们的和为0,89k故选 B.3333331()1)(5)(175)(917)8.3(B).已知二次函数 的图象的顶点在第二象限,且过点 .20yaxb(1,0)当 为整数时, ( abb).A0.B14.C34.D2【答案】B.【解析】依题意知 故 且 ,0,10,2baa,b1a,于是 (1)ab2又 为整数, 故 ,故选 B.,44.已知 的半径 垂直于弦 ,交 于点 ,连接 并延长交 于点 ,OADABCAOE若 ,则 的面积为( ) 8,B2CE.
10、1.15.16.D18【解析】设 则,x2,x于ODA4BA在 中, RtC22,O2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 7 页 即 解得 ,即 (第 4 题答案224(),x3xOC图) 为 的中位线, 是 的直径,OCABE26.BEAE90,B故选 A. 141.2S5.如图,在四边形 中, , , ,对角CD09DC5C1D线的交点为 ,则 ( )M.A32.B53.C.D1(第 5 题答案图) 【答案】D. 【解析】过点 作 于点 则 AHBD,AMH,CD,AM1,CD设 则 ,MC,x5,5xCx在 中, 则 RtAB22,AB25ABx显然 ,化简整理得25,x0x25
11、10x解得 ( 不符合题意,舍去) ,故,25在 中, ,故选 D. 5,CMRtCD21MC6.设实数 满足 则 的最大值为 ( ),xyz1,yz3xyzA12.B23.34.1【答案】C.【解析】22()(23)()343Mxyzxyxyxyy2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 8 页 2 22113yxyxx2 2234y当且仅当 时, 取等号,故 ,故选 C.1,0xyMmax34二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分)(本题共有 4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B) 】 已知 的顶点 、 在反比例函数 ( )的图象ABC3yx0上, ,
12、, 轴,点 在点 的上方,且 则点 的09AC03xBA6,BC坐标为 .【答案】 .3,2【解析】如图,过点 作 于点 .CDAB在 中,RtABcos3在 中, (第 1题答案图) t in,2,设 ,9cos,2BDC 3ADB3,CmAn依题意知 故 ,于是0,nm,nn解得 ,故点 的坐标为 .32n32nC3,21(B).已知 的最大边 上的高线 和中线 恰好把 三等分,ABCADMBAC,则 .3DM【答案】 .2【解析】2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 9 页 (第 1 题答案图 1 ) ( 第 1 题答案图 2)依题意得 , 故 . BADMAC09,DBABC(
13、1)若 时,如答案图 1 所示, CM,2又 平分 在 中,即 AD,2ACRtDAC1cos,2AC从而 .06,C0093B在 中, Rttantan6,1.M在 中, . ADM2ADM(2)若 时,如答案图 2 所示.同理可得 .综上所述, .BC 2A2A2(A).在四边形 中, , 平分 , 为对角线的交点,BCBCDO则 .,O,【答案】 .126【解析】设 , ,DAO平分 , ,CABCB , , (第 2 题答案图)DOC, , ,O,A, ,ADBOB,BC,DC, 180OC解得 , ,2,18036,72 72DB,BDCA18054,BDA故 .26C3.【3(A)
14、、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍,这个六位数是 .2016 年全国初中数学联赛(决赛)试题 第 10 页 【答案】 .16734【解析】设两个三位数分别为 ,则 ,,xy103xy故 是 的正整数倍,不妨设 ( 为正整数) ,0()yx ytx代入得 是三位数, ,解得13,t,txx103xt为正整数, 的可能取值为 验证可知,只有 符合,此时,29tt123.2故所求的六位数为 . 674.xy6743(B).若质数 、 满足: 则 的最大值为 .pq30,pqp【答案】 .10【解析】由 得,44,22(3)3
15、,pqq因 为质数,故 的值随着质数 的增大而增大,当且仅当 取得最大值时, 取得最qpq大值.又 , ,因 为质数,故 的可能取值为1pq341,q3284,但 时, 不是质数,舍去.23,97,5,26513pq当 时, 恰为质数.故 . maxmax9,()9074(A).将 5 个 1、 5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内(每格填入一个数) ,使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和,设这 5 个和的最小值为 ,则 的最大值为 .M【答案】 0.【解析】(依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论,确定 的最大值.M(1)若 5 个 1 分布在同一列,则 ;5(2)若 5 个 1 分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为 3,故,故 ;320(3) 若 5 个 1 分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为 3,故,故 ;3M1M(4) 若 5 个 1 分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于 3,这与已知矛盾.综上所述, .另一方面,如下表的例子说明 可以取到 10.故 的最大值为 101 1 1 4 51 1 2 4 52 2 2 4 53 3 2 4 5