1、第 1 页（共 24 页）2016 年浙江省高考数学试卷（文科）一选择题（共 8 小题）1 【2016 浙江（文） 】已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5 ，Q=1，2，4，则（ UP）Q=（ ）A1 B3，5 C1，2，4，6 D1 ，2，3，4，5【答案】C【解析】解： UP=2，4，6，（ UP）Q=2，4，61，2，4=1 ，2，4，6 2 【2016 浙江（文） 】已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足m，n ，则（ ）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】解：互相垂直的平面 ， 交于直线 l，直线 m，n 满足 m，m 或 m 或
2、 m，l ，n， nl 3 【2016 浙江（文） 】函数 y=sinx2 的图象是（ ）A B C D【答案】D【解析】解：sin （x） 2=sinx2，函数 y=sinx2 是偶函数，即函数的图象关于 y 轴对称，排除 A，C；由 y=sinx2=0，则 x2=k，k0，则 x= ，k 0，故函数有无穷多个零点，排除 B，4 【2016 浙江（文） 】若平面区域 ，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D【答案】B【解析】解：作出平面区域如图所示：当直线 y=x+b 分别经过 A，B 时，平行线间的距离相等联立方
3、程组 ，解得 A（2，1） ，联立方程组 ，解得 B（1，2） 两条平行线分别为 y=x1，y=x+1，即 xy1=0，xy+1=0平行线间的距离为 d= = ，5 【2016 浙江（文） 】已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，则（ ）A （a1） （b 1）0 B （a1） （a b）0 C （b 1） （ ba）0 D （b1） （ba）0【答案】D【解析】解：若 a1，则由 logab1 得 logablog aa，即 ba1，此时 ba0，b1，即（b1） （ ba）0，若 0a1，则由 logab1 得 logablog aa，即 ba1，此时 ba0，b1，即（b1）
4、（ba）0，综上（b1） （b a）0，第 3 页（共 24 页）6 【2016 浙江（文） 】已知函数 f（x）=x 2+bx，则“b0”是“f （f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：f（x）的对称轴为 x= ，f min（x）= （1）若 b0，则 ，当 f（x）= 时，f（f（x） ）取得最小值 f（ ）= ，即 f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等“b0”是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等”的充分条件（2）若 f（f （x） ）的最小值与 f（x
5、）的最小值相等，则 fmin（x） ，即 ，解得 b0 或 b2“b0”不是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等 ”的必要条件7 【2016 浙江（文） 】已知函数 f（x）满足：f （x）|x|且 f（x）2 x，xR （ ）A若 f（a）|b| ，则 ab B若 f（a）2 b，则 abC若 f（a）|b|，则 ab D若 f（a） 2b，则 ab【答案】B【解析】解：A若 f（a ）|b| ，则由条件 f（x）|x|得 f（a）|a|，即|a|b|，则 ab 不一定成立，故 A 错误，B若 f（a）2 b，则由条件知 f（x）2 x，即 f（a） 2a，则 2af（a ）2
6、 b，则 ab，故 B 正确，C若 f（a）|b|，则由条件 f（x）|x|得 f（a ）|a|，则|a|b| 不一定成立，故 C 错误，D若 f（a）2 b，则由条件 f（x）2 x，得 f（a） 2a，则 2a2b，不一定成立，即 ab 不一定成立，故 D 错误，8 【2016 浙江（文） 】如图，点列A n、B n分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，A nAn+1，nN *，|B nBn+1|=|Bn+1Bn+2|，B nBn+1，nN *， （PQ 表示点P 与 Q 不重合）若 dn=|AnBn|，S n 为A nBnBn+1 的面积，则（ ）AS n是等差
7、数列 BS n2是等差数列Cd n是等差数列 Dd n2是等差数列【答案】A【解析】解：设锐角的顶点为 O，|OA 1|=a，|OB 1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|B nBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于 a，b 不确定，则d n不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，第 4 页（共 24 页）设A nBnBn+1 的底边 BnBn+1 上的高为 hn，由三角形的相似可得 = = ，= = ，两式相加可得， = =2，即有 hn+hn+2=2hn+1，由 Sn= dhn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1，即为 Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列S n为等
8、差数列故选：A二填空题（共 7 小题）9 【2016 浙江（文） 】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm 3【答案】80；40【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为 4，高为 2，表面积为 244+242=64cm2，体积为 242=32cm3；上部为正方体，其棱长为 2，表面积是 622=24 cm2，体积为 23=8cm3；所以几何体的表面积为 64+24222=80cm2，第 5 页（共 24 页）体积为 32+8=40cm310 【2016 浙江（文） 】已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y 2+4x
9、+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【答案】 （2， 4） ，5【解析】解：方程 a2x2+（a+2）y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，a2=a+20，解得 a=1 或 a=2当 a=1 时，方程化为 x2+y2+4x+8y5=0，配方得（x+2） 2+（y+4 ） 2=25，所得圆的圆心坐标为（ 2，4） ，半径为 5；当 a=2 时，方程化为 ，此时 ，方程不表示圆，11 【2016 浙江（文） 】已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A 0） ，则 A= ，b= 【答案】 ； 1【解析】解：2cos 2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ （
10、 cos2x+ sin2x）+1= sin（2x+ ）+1，A= ，b=1 ，12 【2016 浙江（文） 】设函数 f（x）=x 3+3x2+1，已知 a0，且 f（x） f（a）=（x b）（xa） 2，xR，则实数 a= ，b= 【答案】2； 1【解析】解：f（x）=x 3+3x2+1，f（ x）f（a）=x 3+3x2+1（a 3+3a2+1）=x3+3x2（a 3+3a2）（ xb） （xa） 2=（xb） （x 22ax+a2）=x 3（2a+b）x 2+（a 2+2ab）xa 2b，且 f（x） f（a）= （xb） （x a） 2，第 6 页（共 24 页） ，解得 或 （舍去
11、） ，13 【2016 浙江（文） 】设双曲线 x2 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，若点 P 在双曲线上，且F 1PF2 为锐角三角形，则|PF 1|+|PF2|的取值范围是 【答案】 （ ） 【解析】解：如图，由双曲线 x2 =1，得 a2=1，b 2=3， 不妨以 P 在双曲线右支为例，当 PF2x 轴时，把 x=2 代入 x2 =1，得 y=3，即|PF 2|=3，此时|PF 1|=|PF2|+2=5，则|PF 1|+|PF2|=8；由 PF1PF2，得 ，又|PF 1|PF2|=2，两边平方得： ，|PF1|PF2|=6，联立解得： ，此时|PF 1|+|PF2|= 使 F1
12、PF2 为锐角三角形的|PF 1|+|PF2|的取值范围是（ ） 14 【2016 浙江（文） 】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，ADC=90，沿直线 AC 将ACD 翻折成 ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是 第 7 页（共 24 页）【答案】【解析】解：如图所示，取 AC 的中点 O，AB=BC=3 ，BOAC，在 RtACD中， = 作 DEAC，垂足为 E，DE= = CO= ，CE= = = ，EO=COCE= 过点 B 作 BFBO，作 FEBO 交 BF 于点 F，则 EFAC连接 DFFBD为直线 AC 与BD所成的角则四边形
13、BOEF 为矩形， BF=EO= EF=BO= = 则FED 为二面角 DCAB 的平面角，设为 则 DF2= + 2 cos= 5cos ，cos=1 时取等号DB 的最小值= =2直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值= = = 故答案为： 第 8 页（共 24 页）15 【2016 浙江（文） 】已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， =1，若 为平面单位向量，则| |+| |的最大值是 【答案】【解析】解：| |+| |= ，其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，当 与 共线时，取得最大值 = 三解答题（共 5 小题）16 【2016 浙江（文） 】在A
14、BC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知b+c=2acosB（1）证明：A=2B ；（2）若 cosB= ，求 cosC 的值【解析】 （1）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（A B） ，由 A，B （0，） ，0 AB，B=A B，或 B=（A B） ，化为 A=2B，或 A=（舍去） A=2B（II）解：cosB= ，sinB= = cosA=cos2B=2cos2B1= ，sinA= = cosC=cos（A+B ）=
15、 cosAcosB+sinAsinB= + = 17 【2016 浙江（文） 】设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S2=4，a n+1=2Sn+1，n N*（）求通项公式 an；（）求数列|a nn2|的前 n 项和【解析】解：（）S 2=4，a n+1=2Sn+1，n N*a1+a2=4，a 2=2S1+1=2a1+1，解得 a1=1，a 2=3，当 n2 时，a n+1=2Sn+1，a n=2Sn1+1，两式相减得 an+1an=2（S nSn1）=2a n，即 an+1=3an，当 n=1 时，a 1=1，a 2=3，满足 an+1=3an，第 9 页（共 24 页） =3，则数
16、列 an是公比 q=3 的等比数列，则通项公式 an=3n1（）a nn2=3n1n2，设 bn=|ann2|=|3n1n2|，则 b1=|3012|=2，b 2=|322|=1，当 n3 时，3 n1n20，则 bn=|ann2|=3n1n2，此时数列|a nn2|的前 n 项和 Tn=3+ =，则 Tn= = 18 【2016 浙江（文） 】如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90 ，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面 ACFD；（）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值【解析】解：（）证明：延长 AD，BE ，CF 相交于
17、一点 K，如图所示：平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC；AC平面 BCK，BF平面 BCK；BFAC；又 EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2；BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点；第 10 页（共 24 页）BFCK，且 ACCK=C；BF平面 ACFD；（）BF 平面 ACFD；BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角；F 为 CK 中点，且 DFAC；DF 为ACK 的中位线，且 AC=3； ；又 ；在 RtBFD 中， ，cos ；即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为 19 【2016 浙江（文） 】如图，设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y轴的距离等于|AF|1，（）求 p 的值；（）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围【解析】解：（）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x=1 的距离，由抛物线定义得， ，即 p=2；
