1、【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 4.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性【热点题型】题型一 函数单调性的判断例 1、(1)下列函数 f(x)中，满足“ x1，x 2(0 ，)且 x1x2，(x 1x 2)f(x1)f(x 2)1，x 21，x 110，x 210，又 x10， 0，即 y1y 20.x2 x1x1 1x2 1y 1y2，所以函数 y 在(1， )上是减函数x 2x 1答案 (1)C (2) 减函数【提分秘籍】(1)图象法 作 图 象 看 升 降 归 纳 单 调 性
2、区 间(2)转化法(3)导数法 求 导 判 断 f x正 、负 单 调 性 区 间(4)定义法 取 值 作 差 变 形 定 号 单 调 性 区 间求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则【举一反三】 下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是( )Ay By (x1) 2x 1Cy2 x Dylog 0.5(x1)题型二 求函数的单调区间例 2、求下列函数的单调区间：(1)yx 22|x|1；(2)ylog (x23x2)12解析 (1)由于 yError!即 yError!画出函数图象如图所示，单调递增区间为(， 1和0,1，单调递减区间为1,0 和1，) (2)令 ux 23x2，则原函数
3、可以看作 ylog u 与 ux 23x2 的复合函数12令 ux 23x20，则 x2.函数 ylog (x23x2)的定义域为 (，1)(2，)12又 ux 23x2 的对称轴 x ，且开口向上32ux 23x2 在(，1) 上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而 ylog u 在(0，)上是单调减函数，12ylog (x23x2)的单调减区间为 (2，)，12单调增区间为(，1) 【提分秘籍】 (1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致常用的方法有： 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间 图象法：如果
4、 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (2)若函数 f(x)的定义域上(或某一区间上 )是增函数，则 f(x1)0 且 a1)；(2)ylog (4xx 2)12题型三 函数单调性的应用 例 3、已知函数 f(x)满足 f(x)f(x)，且当 x 时， f(x)e xsin x，则( )( 2，2)Af(1)0 恒成立，所以 f(x)在 上为增函数，f(2)f(2)，f(3)f(3) ，( 2，2)且 0f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f” 号，转化为具体的不等式( 组) ，此时
5、要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接. 【举一反三】 已知函数 f(x)的定义域是 (0，)，且满足 f(xy)f(x)f(y)，f 1，如果对于(12)0f(y)(1)求 f(1)的值；(2)解不等式 f(x)f(3x)2.解析：(1)令 xy1，则 f(1) f(1) f(1)，f(1)0.(2)由题意知 f(x)为(0，) 上的减函数，且Error! x0 时，x0，f(x)x 2x， f(x) ( x) 2x x 2x (x 2x)
6、 f(x) 所以对于 x(，0)(0 ，) ，均有 f(x) f(x) 函数为奇函数(2)若 f(x)是奇函数，则对任意的 xR ，均有 f(x)f(x)，即|f(x)|f(x)|f(x)|，所以 y|f(x)|是偶函数，即 y|f(x)|的图象关于 y 轴对称反过来，若 y|f(x)|的图象关于 y 轴对称，则不能得出 yf(x)一定是奇函数，比如y|x 2|，显然，其图象关于 y 轴对称，但是 yx 2 是偶函数故 “y|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“yf(x)是奇函数” 的必要而不充分条件 答案 (1) (2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路： 定义法：图象法：
7、性质法：a.“奇奇”是奇， “奇奇”是奇， “奇奇” 是偶， “奇奇”是偶；b “偶偶”是偶， “偶偶”是偶， “偶偶”是偶， “偶偶”是偶；c “奇偶”是奇， “奇偶”是奇(2)判断函数奇偶性时应注意问题： 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式，判断 f(x)与 f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 “性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程【举一反三】 设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列
8、结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)| 是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 解析：由题意可知 f(x) f(x)，g( x)g(x)，对于选项 A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B，|f(x)|g(x) | f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f( x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g
9、(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C. 答案：C题型五 函数的周期性 例 5、已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1) ，若 f(2)2，则 f(2 014)的值为( )A2 B0C2 D2 解析 g(x)f(x1)， g(x) f(x1)又 g(x)f(x1)，f(x1) f(x1)， f(x2) f(x)，f(x 4)f(x2) f(x) ，则 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(2 014)f(2)2. 答案 A【提分秘籍】 函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(
10、xa) f(x)T2a.【举一反三】 函数 f(x)lg|sin x|是( )A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 2 的奇函数C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 2 的偶函数 解析：易知函数的定义域为x|xk，kZ ，关于原点对称，又 f(x) lg|sin(x)| lg| sin x| lg|sin x|f(x) ，所以 f(x)是偶函数，又函数 y|sin x|的最小正周期为 ，所以函数 f(x)lg|sin x| 是最小正周期为 的偶函数 答案：C题型六 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例 6、设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件： f(x)f(x) 0；f(x)
11、f(x 2)；当 0x1 时，f(x)2 x1，则 f f(1)f f(2)f _.(12) (32) (52)解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，f f(1)f f(2)f(12) (32) (52)f f(1)f f(0)f(12) ( 12) (12)f f(1)f f(0)f(12) (12) (12)f f(1)f(0)(12)2 12 112 0112 .2答案： 2【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主归纳起来常见的命题
12、角度有： (1)求函数值 (2)与函数图象有关的问题 (3)奇偶性、周期性单调性的综合2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程 (组)，从而得到 f(x)的解析式 (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解 (4)应用奇偶性画图象和判断单调性.【举一反三】 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f(x1)，已知当
