1、球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体（1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球
2、都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2ra. （2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 23ra.（3）正方体的棱切球，如图 3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2ra.例 1 棱长为 1 的正方体 1ABCD的 8 个顶点都在球 O的表面上， EF， 分别是棱 A， D的中点，则直线 EF被球 O截得的线段长为（ ）A 2 B 1 C 2D
3、2思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面 1A截面所得圆面的半径12,DR得知直线 EF被球 O截得的线段就是球的截面圆的直径.1.2 球与长方体例 2 自半径为 R的球面上一点 M，引球的三条两两垂直的弦 MCBA,，求2CBMA的值结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线例 3（全国卷 I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16 B. 20 C. 24 D. 32思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，长方体内接于球，它的体对
4、角线正好为球的直径.2 球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 正四面体与球的切接问题 （1） 正四面体的内切球，如图 4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 643ha； 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为_【解析】 如图正四面体 ABCD 的中心为 O，即内切球球心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离AB
5、a, 正四面体的高 h a，又 VABCD 4V OBCD ， （）63R h a.14 612（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 436ha；（可用正四面体高 h减去内切球的半径得到）例 5 求棱长为 1 的正四面体外接球的半径。设 SO1 是正四面体 SABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为R，AO 1r ，则在ABC 中，用解直角三角形知识得 r ，33从而 SO1 ，SA2 AO211 13 23在 Rt AOO1 中，由勾股定理得 R
6、2( R) 2( )2，解得 R .23 33 64结论：正四面体的高线与底面的交点是 ABC 的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的 ，内切球的半径34是正四面体高的 .14（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有6432,.3Rha例 6例 7 设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比思路分析：此题求解的第一个关键是
7、搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？2.2 其它棱锥与球的切接问题球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法
8、等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.例 8 正三棱锥的高为 1，底面边长为 62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得： ABCOPACOPBABCP VVV ，得到 2632R例 9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接球的表面积是 .思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一
9、个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法例 10【2012 年新课标高考卷】已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形， 是球 O的直径，且 2；则此棱锥的体积为（ ）A. 26 B. 3 C. 2 D. 思路分析： ABC的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点 O到面的距离.由 S为球 O的直径 点 S到面 ABC的距离即可求得棱锥的体积.3 球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富
10、的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 11 已 知 有 半 径 分 别 为 2、 3 的 球 各 两 个 ， 且 这 四 个 球 彼 此 相 外 切 ， 现 有 一 个 球 与 此 四 个 球都 相 外 切 ， 则 此 球 的 半 径 为 .思路分析：结合图形，分 析 四 个 球 的 球 心 A、 B、 C、 D 的 位 置 ， 知 AD=AC=BD=BC=5， AB=6， CD=4.设AB 中 点 为 E、 CD 中 点 为 F， 连 结 EF.在 ABF 中 可 得 21， 在 EBF 中 可 得 23.由 于 对 称 性 可 得 第 五 个 球 的 球 心 O 在 EF 上 ， 连 结 OA、 OD.设 第 五 个 球 的 半 径 为 r， 根 据OE+OF=EF 建 立 r的方程.
