1、因动点产生的平行四边形问题例 1 2015 年成都市中考第 28 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax 3a（ a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD 4AC（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否
2、成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15 成都 28”，拖动点 E 在直线 AD 上方的抛物线上运动，可以体验到，当 ECAC 时，ACE 的面积最大点击屏幕左下角的按钮 “第（3）题” ，拖动点 H 在 y 轴正半轴运动，观察点 Q 和 Q，可以看到点 Q 和点 Q都可以落在抛物线上思路点拨1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F，那么AEF 与CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准讨论矩形，当 AD 为边时，AD 与 QP 平行且相等，对角线AP QD；当 AD 为对角线时，AD 与 PQ 互相平分且相等满分解答（
3、1）由 yax 22ax 3aa (x1)( x3) ，得 A(1, 0) 由 CD4AC，得 xD4所以 D(4, 5a)由 A(1, 0) 、D(4, 5a)，得直线 l 的函数表达式为 yaxa（2）如图 1，过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F设 E(x, ax22ax3a)，F(x, axa)，那么 EFy Ey Fax 23ax 4a由 SACE S AEF S CEF 11()()22EAECFxx ，1()2CAEx34a2358aa得ACE 的面积的最大值为 解方程 ，得 5858（3）已知 A( 1, 0)、D(4, 5a)，x P1，以 AD 为分类标准，分两种情况
4、讨论：如图 2，如果 AD 为矩形的边，那么 AD/QP，AD QP，对角线 APQD由 xDx Ax P xQ，得 xQ4当 x4 时，y a(x 1)(x 3)21a所以 Q(4, 21a)由 yDy Ay P yQ，得 yP26a所以 P(1, 26a)由 AP2QD 2，得 22(26 a)28 2(16a) 2整理，得 7a21所以 此时 P 767(1)，如图 3，如果 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等由 xDx Ax P xQ，得 xQ2所以 Q(2,3a)由 yDy Ay P yQ，得 yP8a所以 P(1, 8a)由 AD2PQ 2，得 52(5 a
5、)21 2(11a) 2整理，得 4a21所以 此时 P (14，图 1 图 2 图 3考点伸展第（3）题也可以这样解设 P(1,n)如图 2，当 AD 时矩形的边时， QPD 90，所以 ，AMDNP即 53an解得 所以 P 所以 Q 2235(1,)a3(4,)a将 Q 代入 ya( x1)(x 3) ，得 所以 (4,)17如图 3，当 AD 为矩形的对角线时，先求得 Q(2,3a) 由AQD 90 ，得 ，即 解得 AGKQD2512例 2 2014 年陕西省中考第 24 题如图 1，已知抛物线 C：y x 2bxc 经过 A(3,0)和 B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为 M
6、，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N（1）求抛物线 C 的表达式；（2）求点 M 的坐标；（3）将抛物线 C 平移到抛物线 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N如果以点 M、N 、M 、N为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？图 1动感体验请打开几何画板文件名“14 陕西 24”，拖动右侧的点 M上下运动，可以体验到，以点M、N 、M 、N 为顶点的平行四边形有四种情况思路点拨1抛物线在平移的过程中，MN与 MN 保持平行，当 MNMN4 时，以点M、N 、M 、N 为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为 16，
7、底边 MN4，那么高 NN 43MN4 分两种情况：点 M在点 N的上方和下方 4NN 4 分两种情况：点 N在点 N 的右侧和左侧满分解答（1）将 A(3,0)、B(0, 3)分别代入 yx 2bxc ，得解得 b2，c3930,.bc所以抛物线 C 的表达式为 yx 22x3（2）由 yx 22x 3 (x1) 24，得顶点 M 的坐标为( 1,4)（3）抛物线在平移过程中，MN与 MN 保持平行，当 MNMN4 时，以点M、N 、M 、N 为顶点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为 16，所以 MN 边对应的高 NN 4那么以点 M、N、M、N 为顶点的平行四边形有 4 种情况：
8、抛物线 C 直接向右平移 4 个单位得到平行四边形 MNNM（如图 2） ；抛物线 C 直接向左平移 4 个单位得到平行四边形 MNNM（如图 2） ；抛物线 C 先向右平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNMN（如图3） ；抛物线 C 先向左平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNMN（如图3） 图 2 图 3考点伸展本题的抛物线 C 向右平移 m 个单位，两条抛物线的交点为 D，那么MM D 的面积 S关于 m 有怎样的函数关系？如图 4，MM D 是等腰三角形，由 M(1,4)、M( 1m, 4)，可得点 D 的横坐标为2将 代入 y( x1)
9、24，得 所以 DH x 24y24所以 S 2311)48m图 4例 3 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题如图 1，已知抛物线 yx 2bx c 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 松江 24”，拖动点 N 在直线 AB 上运动，可以体验到，以M、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4 个，符合 MN 在抛物
10、线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个请打开超级画板文件名“13 松江 24”，拖动点 N 在直线 AB 上运动，可以体验到，MN有 4 次机会等于 3，这说明以 M、N、C、B 为顶点的平行四边形有 4 个，而符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个思路点拨1第（2）题求ABO 的正切值，要构造包含锐角ABO 的角直角三角形2第（3）题解方程 MNy My NBC，并且检验 x 的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 yx 2bxc ，得解得 ，c 11,643.cb92b所以抛物线的解析式是 yx（2）在 RtBOC
11、 中，OC 4，BC 3，所以 OB5如图 2，过点 A 作 AHOB ，垂足为 H在 Rt AOH 中，OA1， ，4sinsiAOBC所以 图 24sin5HO所以 ， 32BH在 Rt ABH 中， ta51A（3）直线 AB 的解析式为 12yx设点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 ，9(,)x(,)2x那么 2 2(1)4Nx当四边形 MNCB 是平行四边形时， MNBC 3解方程x 24x 3，得 x1 或 x3因为 x3 在对称轴的右侧（如图 4） ，所以符合题意的点 M 的坐标为 （如图9(1,)23） 图 3 图 4考点伸展第（3）题如果改为：点 M 是抛物线上的一个点，直
12、线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于N，如果 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情况： MNy My N 或 MNy Ny M由 yN yM4x x2，解方程 x24x3，得 （如图 5） 27所以符合题意的点 M 有 4 个： ， ， ， 9(1,),(,)57(2,)图 5例 4 2012 年福州市中考第 21 题如图 1，在 Rt ABC 中，C90，AC6，BC 8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过
13、点 P 作 PD/BC，交 AB 于点 D，联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（t 0） （1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB_，PD_；（2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“12 福州 21”，拖动左图中的点 P 运动，可以体验
14、到，PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段拖动右图中的点 Q 运动，可以体验到，当 PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为菱形请打开超级画板文件名“12 福州 21”，拖动点 Q 向上 运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，Q 的速度变成 1.07，可以体验到，当PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为菱形点击动画按钮的中部，Q 的速度变成 1.思路点拨1菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在ABC 的平分线上，PQ /AB先求出点 P运动的时间 t，再根据 PQ/AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度2探究点 M 的路径，可以先取两个极
15、端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径满分解答（1）QB82t，PD 43t（2）如图 3，作ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形过点 P 作 PE AB，垂足为 E，那么 BEBC8在 Rt ABC 中，AC6，BC8，所以 AB10 图 3在 Rt APE 中， ，所以 23cos5APt10t当 PQ/AB 时， ，即 解得 CQB68329CQ所以点 Q 的运动速度为 321095（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3，0)如图 5，当 t4 时，PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是 y2x6如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（ ，t ） 经验证，点 M（ ，t ）在直6262线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF 5图 4 图 5 图 6考点伸展第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时，PQ 的中点为(2， 2)设点 M 的运动路径的解析式为 yax 2bxc ，代入 E(3，0)、F(1 ，4)和(2，2) ，得 解得 a 0，b2，c 69,42.abc所以点 M 的运动路径的解析式为 y2x6
