1、24.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 3 分，第（2 ）小题满分 4 分，第（3 ）小题满分5 分）如图，已知抛物线 经过 、 两点.2yxbc01A， B，（1 ）求抛物线的解析式；（2 求 的值；tanABO（3 ）过点 B 作 BC 轴，垂足为点 C，点 M 是抛物线上一点，直线 MN 平行于 轴交直线 AB 于点 N，如果 M、N 、B、C 为y顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标.24.解：（1 ）将 A（0，-1） 、 B（4，-3）分别代入 2yxbc得 ， （1 分）,643cb解，得(1 分)9,12c所以抛物线的解析式为（1 分）291yx（2 ）过点 B 作
2、 BC 轴，垂足为 C，过点 A 作 AH OB，垂足为点 H （1 分）在 中，OA=1 ，（1 分）RtAOH4sinsi,5OHB ， ， （1 分）4si532,O在 中，（1 分）RtABH2tan51AHBO(3)直线 AB 的解析式为 ， （1 分）1yx设点 M 的坐标为 ，点 N 坐标为29(,)m1(,)2m那么 MN= ； （1 分）2 21)(4ABxyo（第 24 题图）M 、N、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=3解方程 =3 得 ； （1 分）24m27解方程 得 或 ； （1 分）2313m所以符合题意的点 N 有 4 个 7735(2,),(2
3、,2),(,)2（1 分）25.（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2 ）小题满分 5 分，第（3 ）小题满分5 分）在 Rt ABC 中，ACB = 90，经过点 B 的直线 l（l 不与直线 AB 重合）与直线 BC 的夹角等于ABC ，分别过点 C、点 A 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D、点 E（1 ）如图 1，当点 E 与点 B 重合时，若 AE=4，判断以 C 点为圆心 CD 长为半径的圆 C 与直线 AB 的位置关系并说明理由；（2 ）如图 2，当点 E 在 DB 延长线上时，求证：AE=2 CD；（3 ）记直线 CE 与直线 AB 相交于点 F，若 ，CD
4、= 4，求 BD 的长56E25.解：（1 ）过点 C 作 CFAB，垂足为点 F. （1 分）AED =90，ABC =CBD，ABC=CBD =45，ACD B(E) l（第 25 题图1）（第 25 题图2）ACD E lBACB =90，ABC =45，AE=4，CF=2 ，BC = ， （1 分）2又CBD =ABC =45，CDl，CD=2， （1 分）CD=CF=2， 圆 C 与直线 AB 相切. （1 分）（2）证明：延长 AC 交直线 l 于点 G （1 分）ACB = 90， ABC =GBC，BAC =BGCAB = GB（1 分）AC = GC（1 分）AEl，CDl，
5、AECD （112CDGAE分）AE = 2CD （1 分）（3 ） （I ）如图 1，当点 E 在 DB 延长线上时：过点 C 作 CGl 交 AB 于点 H，交 AE 于点 G，则CBD = HCBABC =CBD，ABC =HCBCH = BH（1 分）ACB = 90， ABC +BAC =HCB +HCA = 90BAC =HCA CH = AH = BHCGl， 56FBE设 CH = 5x，则 BE = 6x，AB = 10x在 Rt ABE 中， 28ABE由（2）知 AE = 2CD = 8， ，得 1CH = 5，BE = 6，AB = 10CGl， ，HG =3（1 分）
6、1HGBEACG = CH + HG = 8易证四边形 CDEG 是矩形， DE = CG = 8 （1 分）2D（II）如图 2，当点 E 在 DB 上时：同理可得 CH = 5，BE = 6，HG = 3 （1 分） CGHBD=DE + BE = 8（1 分）（第 25 题图1）ACD E lGBHFB（第 25 题图2）ACD lGEHF综上所述，BD 的长为 2 或 824已知点 A（2，2）和点 B（ 4，n）在抛物线 y=ax2（a 0）上（1）求 a 的值及点 B 的坐标；（2）点 P 在 y 轴上，且 ABP 是以 AB 为直角边的三角形，求点 P 的坐标；（3）将抛物线 y
7、=ax2（a 0）向右并向下平移，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 ABBA为正方形，求此时抛物线的表达式【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移【分析】 （1）把点 A（2，2）代入 y=ax2，得到 a，再把点 B 代入抛物线解析式即可解决问题（2）求出直线 AB 解析式，再分别求出过点 A 垂直于 AB 的直线的解析式，过点 B 垂直于直线 AB 的解析式即可解决问题（3）先求出点 A坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题【解答】解：（1）把点 A（ 2，2）代入 y=ax2，得到 a= ，抛物线为 y= x2，x=4
8、时，y=8，点 B 坐标（4，8） ，a= ，点 B 坐标（4， 8） （2）设直线 AB 为 y=kx+b，则有 ，解得 ，直线 AB 为 y=x4，过点 B 垂直 AB 的直线为 y=x12，与 y 轴交于点 P（0，12） ，过点 A 垂直 AB 的直线为 y=x，与 y 轴交于点 P（0，0） ，点 P 在 y 轴上，且ABP 是以 AB 为直角边的三角形时点 P 坐标为（0，0） ，或（0，12 ） （3）如图四边形 ABBA是正方形，过点 A 作 y 轴的垂线，过点 B、点 A作 x 轴的垂线得到点 E、F直线 AB 解析式为 y=x12，ABF， AAE 都是等腰直角三角形，AB
9、=AA= =6 ，AE=AE=6，点 A坐标为（8， 8） ，点 A 到点 A是向右平移 6 个单位，向下平移 6 个单位得到，抛物线 y= x2 的顶点（0，0） ，向右平移 6 个单位，向下平移 6 个单位得到（6，6） ，此时抛物线为 y= （x 6） 2625已知，AB=5 ，tan ABM= ，点 C、D 、E 为动点，其中点 C、D 在射线 BM 上（点 C在点 D 的左侧） ，点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且AC=AD，AB=AE， CAD=BAE（1）当点 C 与点 B 重合时（如图 1） ，联结 ED，求 ED 的长；（2）当 EABM 时（如图 2） ，求四边
10、形 AEBD 的面积；（3）联结 CE，当ACE 是等腰三角形时，求点 B、C 间的距离【考点】三角形综合题【分析】 （1）如图 1 中，延长 BA 交 DE 于 F，作 AHBD 于 H，先证明BFDE，EF=DF，再利用ABHDBF，得 = ，求出 DF 即可解决问题（2）先证明四边形 ADBE 是平行四边形，根据 S 平行四边形 ADBE=BDAH，计算即可（3）由题意 ACAE，EC AC，只有 EA=EC，利用四点共圆先证明四边形 ADBE 是平行四边形，求出 DH、CH 即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，延长 BA 交 DE 于 F，作 AHBD 于 H在 RTABH 中
11、，AHB=90，sinABH= = ，AH=3，BH= =4，AB=AD，AHBD，BH=DH=4，在ABE 和ABD 中，ABDABE，BE=BD，ABE=ABD，BFDE，EF=DF，ABH=DBF， AHB=BFD，ABHDBF， = ，DF= ，DE=2DF= （2）如图 2 中，作 AHBD 于 HAC=AD，AB=AE，CAD=BAE，AEB=ABE=ACD=ADC，AEBD，AEB+EBD=180，EBD+ADC=180，EBAD，AEBD，四边形 ADBE 是平行四边形，BD=AE=AB=5，AH=3，S 平行四边形 ADBE=BDAH=15（3）由题意 ACAE，EC AC，
12、只有 EA=EC如图 3 中，ACD=AEB（已证） ，A、 C、B 、E 四点共圆，AE=EC=AB， = ， = ，AEC=ABC，AEBD，由（2）可知四边形 ADBE 是平行四边形，AE=BD=AB=5，AH=3，BH=4，DH=BDBH=1，AC=AD，AHCD，CH=HD=1，BC=BDCD=324如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 图象顶点为 C，与直线 y=x+m 图象交于 AB 两点，其中 A 点的坐标为（3，4）， B 点在 y 轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结 AC，求BAC 的正切值；（3）点 P 为直线 AB 上一点，若ACP 为直角三角形，求点 P
13、的坐标【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y=x+m 求出 m 得到直线 AB 的解析式为 y=x+1，这可求出直线与 y 轴的交点 B 的坐标，然后把 A 点和 B 点坐标代入 y=x2+bx+c 中得到关于 b、c的方程组，再解方程组求出 b、c 即可得到抛物线解析式；（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到 C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB 2=18，AC 2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明ABC 为直角三角形，ACB=90，于是利用正切的定义计算 tanBAC 的值；（3）分类讨论：当APC=90时，有（2）得点 P 在 B 点处，此时 P 点坐标为（0
14、，1）；当ACP=90时，利用（2）中结论得 tanPAC= = ，则 PC= AC，设 P（t，t +1），然后利用两点间的距离公式得到方程 t2+（t +11） 2= 20，再解方程求出 t 即可得到时 P 点坐标【解答】解：（1）把 A（3， 4）代入 y=x+m 得 3+m=4，解得 m=1直线 AB 的解析式为 y=x+1，当 x=0 时，y=x+1=1 ，B（0，1），把 B（0，1），A（3，4）代入 y=x2+bx+c 得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x22x+1；（2）如图，y=x 22x+1=（x1） 2，C（1，0），BC 2=12+12=2，AB 2=32+（ 41）
15、 2=18，AC 2=（3 1） 2+42=20，而 2+18=20，BC 2+AB2=AC2，ABC 为直角三角形，ACB=90，tanBAC= = = ；（3）当APC=90时，点 P 在 B 点处，此时 P 点坐标为（0，1）；当ACP=90时，tanPAC= = ，PC= AC，设 P（t，t+1），t 2+（t+11） 2= 20，解得 t1= ，t 2= （舍去），此时 P 点坐标为（ ， +1），综上所述，满足条件的 P 点坐标为（0，1）或（ ， +1）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解
16、坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形25如图，ABCD 中，AB=8，AD=10，sinA= ，E、F 分别是边 AB、BC 上动点（点 E不与 A、B 重合），且EDF=DAB，DF 延长线交射线 AB 于 G（1）若 DEAB 时，求 DE 的长度；（2）设 AE=x，BG=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当BGF 为等腰三角形时，求 AE 的长度【分析】（1）DEAB 时，根据 sinA= 即可解决问题（2）如图 2 中，作 DMAB 于 M，根据 DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解决问题（3）分三种情形BF=BG ， FB=FG， GB=GF，根据 BFAD，得出比例式，列方程即可解决【解答】解：（1）如图 1 中，
