1、第 1 页 共 4 页相似三角形-射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路” 时， “柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（）：t中，若为高，则有D AD、 或 。二、变
2、式推广逆用 如图（）：若中，为高，且有 或 或 ，则有或 ，均可等到为直角三角形。一般化，若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。 （后文简称：射影定理变式（2） ）如图（）：中，D 为上一点，若 ，或，则有，可得 AB；反之，若中，为上一点，且有 ，则有 ，可得到 ，或。三、应用例 如图（） ，已知：等腰三角形中，高、交于点，求证： 分析： 易证 =90 0-CHBD，联想到射影定理变式（ 2） ，可得 ，又，故有结论成立。（证明略）第 2 页 共 4 页例 如图（）：已知中，为弧中点，过点的弦被弦分为和两部分，求。分析：易得到 ，满足射影定理变式（2）的条件，故有 ，
3、易求得(解略)例 3 已知：如图（5 ） ，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，交的延长线于点，求证： 。证明：连， 垂直平分， ， ，平分 ， ，又C 公共， ，C ， 。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形 中，斜边 AB=5cm,BC=2cm， D 为 AC 上的一点， 交 AB 于 E，且ABCDEABAD=3.2cm，则 DE= （ ）A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm2、如图 1-1，在 Rt 中，CD 是斜别 AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线AC段的长，就可以求其他线段的长 A、1 B、2 C 、3 D、4第
4、3 页 共 4 页3、在 Rt 中， ， 于点 D，若 ，则 （ ）ABC90ABC34ABDCA、 B、 C、 D、44316916【填空题】5、 中， ， 于点 D，AD=6，BD=12，则 CD= ，AC= C90AB， = 。2:B6、如图 2-1，在 Rt 中， ， ，AC=6 ，AD=3.6，则 BC= 90CAB【解答题】7、已知 CD 是 的高， ，如图 3-1，求证：ABC,DEAFCBCEFBA第 4 页 共 4 页8、已知 ， ， ， 是正三角形，求证：90CABDCBAEBFDEF10、如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点E求证：（1）AEDCBM； （2）AECM=ACCD 11、已知：如图，等腰ABC 中，AB=AC ，ADBC 于 D，过点 B 做射线 BG，交 AD、AC 于 E、F 两点，与过点 C 平行于 AB 的直线交于点 G。求证： （1）BE 2=EFEG（2）若过点 B 的射线交 ADAC 的射线、的延长线分别于、两点，与过 C 平行于的直线交于点，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。
