1、 2017 初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解，对系数不为 1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5 初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（
2、取值范围） 、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂
3、心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。2目录第一章 数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2
4、分解因式第二章 二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章 相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性
5、质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）31.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离baab例 1 解不等式： 413x解法一：由 ，得 ；由 ，得 ；00x3x若 ，不等式可变为 ，x()4即 4，解得 x0 ，2又 x1，x0；若 ，不等式可变为 ，(1)34x即 14，不存在满足条件的 x；若 ，不等式可变为 ，3x()即 4， 解得 x4 2又 x3，x4综上所述
6、，原不等式的解为x0，或 x4解法二：如图 111， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA| ，即|PA|x 1|；| x3| 表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离| PB|，即|PB|x3|所以，不等式 4 的几何意义即为3|PA|PB|4由|AB|2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧x0，或 x4练 习1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则 c_.ba1a212选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 ab
7、1 3A B x0 4C DxP |x 1|x 3|图 1114（C）若 ，则 （D）若 ，则abab3化简：|x5|2 x 13|（x5） 1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；2()ccca（4）两数和立方公式 ；33()（5）两数差立方公式 22对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二：原式= 2(1
8、)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m264(m)(3 ) 2)cc2选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ ）2xkk（A） （B） （C） （D）214213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ）ab8ab（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方(0)a的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，而 ，23ab2ab21x， 等是
9、有理式22xy1分母（子）有理化5把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ， 与 ，23a36与 ，等等 一般地， 与 ， 与 ，2323xxbyaxby与 互为有理化因式axb分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法
10、，通常先写成分式的形式，然后通(0,)abb过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） b2(0)ab64(0)xy解： （1） ；3（2） ；2a（3） 6334()xyxy例 2 计算： ()解法一： 3 ()3 9 3(1)6 2解法二： 3()33(1)31()312例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .21106426解： （1） ，(1)()1，1000又 ，2 16（2） 26(2)(6)2,1+ +又
11、 42 ，2 4 2 ，6 6 2 .例 4 化简： 204205(3)(3)解： 2045() 204 204(32)()(3) 2041(3)例 5 化简：（1） ； （2） 9521(1)xx解：（1）原式 4()52552（2）原式= ，21()xx ， ，所以，原式 01x例 6 已知 ，求 的值 3232,xy2253y解： ，()()10y，321x 2225()3089yxy练 习1填空：（1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _12选择题：等式 成立的条件是 （ ）2x（A） （B） （C）
12、 （D）0x2x02x3若 ，求 的值21abab4比较大小：2 （填“ ”，或“”） 3 5 41.1.分式71分式的意义形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，分式 具有下列性质：A0BAAB； MA上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像 ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式abcd2mnp例 1 若 ，求常数 的值54()2xABx,AB解： ，()()254()x 解得 5,24A,3例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1n（2）计算： ；2390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 11234(
13、)2n（1）证明： ，1()()n （其中 n 是正整数）成立()1（2）解：由（1）可知 2390 11()()2390 190（3）证明： ，14n )4n 21n又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234() 12例 3 设 ，且 e1， 2c25ac2a 20，求 e 的值ca解：在 2c2 5ac2a 20 两边同除以 a2，得2e2 5e20，(2e 1)(e2)0，e 1，舍去；或 e212e2练 习81填空题：对任意的正整数 n， ( )；1(2)12n2选择题：若 ，则 （ ）23xyx（A） （ B） （C） （D）5445653正数 满足 ，求 的值,x
14、y2xy4计算 11.3910习题 11A 组1解不等式： (1) ； (2) ；3x327x(3) 16已知 ，求 的值y3xy3填空：（1） _；1819(2)()（2）若 ，则 的取值范围是_；22aa（3） _13456B 组1填空： （1） ， ，则 _ _；2a13b225ab（2）若 ，则 _ _；20xy3xy2已知： ，求 的值1,3C 组1选择题：（1）若 ，则 （ ）2abba（A） （ B） （C） （D）0b0ba（2）计算 等于 （ ）1（A） （B） （C） （D）aaa2解方程 2()3()10xx3计算： 14594试证：对任意的正整数 n，有 11234()
15、2n 1491.2 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x 23x 2； （2）x 24x12；（3） ； （4） ()aby1y解：（1）如图 111，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)( x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得x24x12(
16、x2)( x6)（3）由图 114，得2)aby()ayb（4） xy (xy)1(x1) (y+1) （如图 1 15 所示） 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1） _。652x（2） _。（3） _。（4） _。（5） _。ax12（6） _。8（7） _。（8） _。942m（9） _。65x（10） _。21y2、 3 x3、若 则 ， 。4baa b二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1） （2） （3） （4）672x 862x1072x（5） 中，有相同因式的是（ ）1A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5）
17、D、 （1）和（2） ；（3）和（4） ；（3）和（5）2、分解因式 得（ ）8baA、 B、 C、 D、ababa 1ba3 13、 分解因式得（ ）02b12xx图 1111211图 1122611图 113aybyxx图 11411xy图 11510A、 B、2 10ba4 5baC、 D、4、若多项式 可分解为 ，则 、 的值是（ ）x32 xA、 ， B、 ， C、 ， D、 ，102b10210a2b5、若 其中 、 为整数，则 的值为（ ）amx10amA、 或 B、 C、 D、 或9939三、把下列各式分解因式1、 2、3226pqp 22365ba3、 4、642y 82b2
18、提取公因式法例 2 分解因式：（1） （2） ba52 329xx解： （1） =)1(5a（2） = =329xx3()2(3)= ()或 32321)83()8x3(1)2x 22()(x()课堂练习：一、填空题：1、多项式 中各项的公因式是_。yzy4262、 _。xnxm3、 _。24、 _。zz5、 _。yy6、 分解因式得_。5236291xba7计算 = 二、判断题：（正确的打上“” ，错误的打上“” ）1、 （ ）ba4222、 （ ）m3、 （ ）5231563 xxx4、 （ ）nn3：公式法例 3 分解因式： （1） （2）64a223yx解：(1) =64a )()4()()(22 aa(2) =2yx )3(43 yxyxy
