1、2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、 选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1. 已知实数 满足 ， ，则 的值为（ ）.,abc21390bc372abc3bcaA. 2 B. 1 C. 0 D. 12. 已知实数 满足 ， ，则,abc1c035abc的值为（ ）.222135A. 125 B. 120 C. 100 D. 813. 若正整数 满足 且 ，则称 为好数组.那么好数组,abcc2abc,abc的个数为（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 14. 已知正整数 满足 ， ，则 的值为（ ,abc26390bc260abc22abc）.A. 424 B
2、. 430 C. 441 D. 4605. 梯形ABCD中，ADBC， ， ， ， ，则梯形的面积为（ 3AB4C2D1A）.A. B. C. D.102310336. 如图，梯形ABCD中，ADBC， ，90A点E在AB上，若 ， ， ，42AE8B7C，则 的值为（ ）.45DCA. 56 B. 58 C. 60 D. 62BCADE二、 填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 使得等式 成立的实数 的值为_.31aa2. 已知ABC的三个内角满足 .用 表示 中的最小者，10ABC10,CBA则 的最大值为_.3. 设 是两个互质的正整数，且 为质数.则 的值为_.,ab38
3、abpp4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.第二试一、 （本题满分 20 分）设 是两个不同的两位数，且 是由 交换个位数字和十,ABBA位数字所得，如果 是完全平方数，求 的值.2A二、 （本题满分 25 分）如图，ABC中，D为BC 的中点， 平分 ， 平分DEABDF， ， ，P为AD与EF的交点.证明： .ACBECF2FP三、 （本题满分 25 分）已知 是不全相等的正整数，且 为有理数，求,abc5abc的最小值.22abc PDB CAEF2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、 选择题：
4、（本题满分 42 分，每小题 7 分）1. 已知实数 满足 ， ，则 的值为（ ）.,abc21390bc372abc3bcaA. 2 B. 1 C. 0 D. 1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把 ， 看成一个整体变量求解方程.2ab3c解析：已知等式可变形为 ， ，解得2902372abc， ，所以 .218ab318c31cab2. 已知实数 满足 ， ，则,cbc0135c的值为（ ）.222135abA. 125 B. 120 C. 100 D. 81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设 ， ， ，则 ， ，1xa3yb5
5、zc10xyz10xyz，由 .0yz222x则 .213510abc3. 若正整数 满足 且 ，则称 为好数组.那么好数组,abcc2abc,abc的个数为（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过 且 的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法abc2abc一一验证.解析：若 为好数组，则 ，即 ，显然 或 .,c6ccab1a2若 ，则 ，即 ，可得 或 ，共1a21b2b,38c,45个好数组.2若 ，则 或 ，可得 ； ，不是整数舍去，共 个好数组.3,4c53,2c1共 个好数组 .3,1,8,52,abc4. 已知正整数 满足 ， ，
6、则 的值为（ ,c26390c260abc22abc）.A. 424 B. 430 C. 441 D. 460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去 整理后，通过 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一c,ab一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得 ，则 ，即 .2293175a2317516b当 时，均无与之对应的正整数 ；1,2345ba当 时， ，符合要求，此时 ，代入验证满足原方程.69a18c因此， ， ， ，则 .9a6b18c2241abc5. 梯形ABCD中，ADBC， ， ， ， ，则梯形的面积为（ 3ABCDA）.A. B. C. D.102310
7、323答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AEDC，AHBC，则ADCE是平行四边形，则，3BECBADB则ABE 是等腰三角形， ， ，经计算可得 .E2A423AH所以梯形ABCD的面积为 .1410236. 如图，梯形ABCD中，ADBC， ，90A点E在AB上，若 ， ， ，42AE8B7C，则 的值为（ ）.45DCA. 56 B. 58 C. 60 D. 62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形RtEAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CFA
8、D，交AD 的延长线于点 F，将CDF绕点C逆时针旋转 至CGB，则90ABCF为正方形，可得ECG ECD， .EGD设 ，则 ， .DEx28FBGx9Ax在RtEAD中，有 ，解得 .24958BCADFGEADHB CE二、 填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 使得等式 成立的实数 的值为_.31aa答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得 .321a令 ，则 ，代入整理可得 ，解得 ，x0x2310x1230,1xx舍负，即 或 ，验证可得 .1a88a2. 已知A
9、BC的三个内角满足 .用 表示 中的最小者，10ABC10,CBA则 的最大值为_.答案： 20对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析： ， ，10CBA32206 又当 时， 可以取到.40,80AB则 的最大值为 .23. 设 是两个互质的正整数，且 为质数.则 的值为_.,ab38abpp答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为 是质数，只能拆成1和p，另一方面通过 、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果 .38ab解析：因为 互质，所以 、a、b两两互质，因为 质数，所以,38ab可
10、得 ， ，不是质数舍；318abp1ab4p可得 ， ， ，符合题意.381ab7a1b7p则 .p4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑 满足题设要求，其和为34，接下来只需要考1,81,1,虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为 ，考虑 ，依抽20,*naN16,14,*kkiiaakN屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，
11、剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由 可知，存在数列和为34的情况.1,81,1,第二试一、 （本题满分 20 分）设 是两个不同的两位数，且 是由 交换个位数字和十,ABBA位数字所得，如果 是完全平方数，求 的值.2A答案： 65对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数 设为 ，转ab10为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设 ，则 ，由 不同得 ，10,9,AababN10Bba,ABab. 5分222B由 是完全平方数，则 ， ，可得 ， 10分
12、ab1|ab1ab也是完全平方数，所以 或 . 15分ab4若 ，则 ， ；16a5若 ，则没有正整数解.4因此 ， ， . 20分bA二、 （本题满分 25 分）如图，ABC中，D为BC 的中点， 平分 ， 平分DEABDF， ， ，P为AD与EF的交点.证明： .ACBECF2FP对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为 、 都在 DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出EFPD，此时若能得出 ，则自然可以得到结论.90EPPDB CAEF解析：由 平分 ， 平分 ，可得 . 5分DEABDFAC90EDF由 得BEDF ，则 . 10分BE又 ， ，则BED DFC， . 15分C9
13、0B得四边形BDFE是平行四边形， ， . 20分PEP又EDF是直角三角形， . 25分2EFD三、 （本题满分 25 分）已知 是不全相等的正整数，且 为有理数，求,abc5abc的最小值.22abc答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到 ，,abc 50bc可以通过分母有理化来实现分离，再利用 互不相等，从最小正整数开始讨论即,abc可得出最小值.解析： ，由 是有理数，50bc22555cabcaabc可得 . 10分2a. 15分2cbbac不妨设 ，若 ， ，因为 ，则 ，取等号当且a12b13acb仅当 时. 20分2b若 ，因为 ，则 .cb24ac所以 的最小值为3，当 ， ， 时. 25分22a1bc
