1、 OFABCDEFEDCBOACEBODFA北京市丰台区 2015-2016 学年度第一学期 初三数学 第 24 章 圆 综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图， 为 O 的直径， 为弦， ， 交 于 ，BDACBADB， 2AE4（1）求证： ，并求 的长； （2）延长 到 ，使 ，连接 ，判断直线 与 O 的位FF置关系，并说明理由.2. 已知：如图，以等边三角形 ABC 一边 AB 为直径的 O 与边 AC、 BC 分别交于点D、 E，过点 D 作 DF BC，垂足为 F（1）求证： DF 为 O 的切线；（2）若
2、等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的面积3、如图，已知圆 O 的直径 垂直于弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且ABCDEODFCFAD（1）请证明： 是 的中点；E（2）若 ，求 的长8BC4如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， BAC = 60， P 是 OB 上一点，过 P 作 AB的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 交 PQ 于点 DOD（1）求证： CDQ 是等腰三角形；（2）如果 CDQ COB，求 BP:PO 的值5 已知:如图, BD 是半圆 O 的直径, A 是 BD 延长线上的一点， BC AE，
3、交 AE 的延长线AB CDEOGF于点 C, 交半圆 O 于点 E，且 E 为 的中点. DF（1）求证： AC 是半圆 O 的切线；（2）若 ，求 的长62AD， BC6.如图， B 内接于O ，过点 A的直线交O 于点 P，交 BC的延长线于点 D，且AB2=APAD（1）求证： ；（2）如果 60AC，O 的半径为 1，且 P 为弧 AC 的中点，求 AD 的长 .7如图，在 ABC 中， C=90, AD 是 BAC 的平分线， O 是 AB 上一点, 以 OA 为半径的 O 经过点 D. （1）求证： BC 是 O 切线；（2）若 BD=5, DC=3, 求 AC 的长.8如图，
4、AB 是 O 的直径， CD 是 O 的一条弦，且 CDAB 于 E，连结 AC、OC、BC.（1）求证：ACO=BCD；（2）若 BE=2，CD=8，求 AB 和 AC 的长. 9如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足为 ， 交BCOAFOBCADBF于 ，且 ADE（1）求证： ；F（2）如果 ， ，求 的长53sin4B10如图，已知直径与等边 的高相等的圆 O 分别与边 AB、BC 相切于点 D、E，边ACAC 过圆心 O 与圆 O 相交于点 F、G。（1） 求证： ； DE（2） 若 的边长为 a，求 的面积.ABEOPDCBAOACDBOQPCBAGFE D COBA第
5、13 题图11如图，在 ABC 中， BCA =90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 P， Q 是 AC 的中点 （1）请你判断直线 PQ 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 A30， AP= ，求 O 半径的长.2312如图，已知点 A 是 O 上一点，直线 MN 过点 A，点 B 是 MN 上的另一点，点 C 是OB 的中点， ，12CB若点 P 是 O 上的一个动点,且 ,AB= 时，求 302APC 的面积的最大值13如图，等腰 ABC 中， AB=AC=13， BC=10，以 AC 为直径作 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，过点 D 作 的切线交 AB 于O点
6、E，交 AC 的延长线与点 F.（1）求证： EF AB；（2）求 cos F 的值.14 （应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30的直角三角尺按图示的方式测量.(1)若 O 分别与 AE、 AF 交于点 B、 C，且 AB=AC,若 O 与 AF相切. 求证: O 与 AE 相切；(2)在满足(1)的情况下，当 、 分别为 AE、 AF 的三分之一点时，且 AF=3，求 的弧长. BC二、圆与相似综合15已知：如图， O 的内接 ABC 中， BAC=45， ABC =15，A BCM NOPFAB CDEGOEBAD OC 并交
7、 BC 的延长线于 D，OC 交 AB 于 E. （1）求 D 的度数；（2）求证： ；2AC（3）求 的值 .B16如图，O 的直径为 ，过半径 的中点 作弦 ，ABOGABCE在 BC 上取一点 ，分别作直线 ，交直线 于点DEDC、.MF、求 和 的度数； CO求证： ；如图，若将垂足 改取为半径 上任意一点，点 改取G在 上，仍作直线 ，分别交直线 于点 .、 ABMF、试判断：此时是否仍有 成立？若成立请证明你FDMCO的结论；若不成立，请说明理由。三、圆与三角函数综合17已知O 过点 D（4 ，3 ） ，点 H 与点 D 关于 轴对称，y过 H 作O 的切线交 轴于点 A（如图 1
8、） 。y求O 半径；求 的值；sinO如图 2，设O 与 轴正半轴交点 P，点 E、F 是线段 OP 上的动点（与 P 点不重合） ，联结并延长DE、 DF 交O 于点 B、C，直线 BC 交 轴于点 G，若y是以 EF 为底的等腰三角形，试探索DEF的大小怎样变化？请说明理由。sinG图 1图 2O xyD(4,3)AHC FEPBGO xyD(4,3)图 1图 2四、圆与二次函数（或坐标系）综合 18、如图，M 的圆心在 轴上，与坐标轴交于 A（0， ） 、B （1，0） ，抛物线x3经过 A、B 两点 23yxbc（1） 求抛物线的函数解析式；（2） 设抛物线的顶点为 P试判断点 P 与
9、M 的位置关系，并说明理由；（3） 若M 与 轴的另一交点为 D，则由线段 PA、线段yPD 及弧 ABD 围成的封闭图形 PABD 的面积是多少？19如图，在平面直角坐标系中， O 是原点，以点 C（1，1 ）为圆心，2 为半径作圆，交 x轴于 A， B 两点，开口向下的抛物线经过点 A， B，且其顶点 P 在 C 上（1）求 ACB 的大小；（2）写出 A， B 两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点 D，使线段 OP 与 CD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由20 （以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为 1 的与
10、轴交于 两点，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经1OxAB、 1O(20)形2yxbc过 两点，其顶点为 、 F（1）求 的值及二次函数顶点 的坐标；bc形 xyA BO-2 4 5-1-32-1-21O1（2）将二次函数 的图象先向下平移 1 个单位，2yxbc再向左平移 2 个单位，设平移后图象的顶点为 ，在经过点CB和点 的直线 上是否存在一点 ，使 的周长最小，0,3DlPA若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. P五、以圆为背景的探究性问题21下图中, 图(1)是一个扇形 OAB，将其作如下划分：第一次划分： 如图(2)所示，以 OA 的一半 OA1 的长为半径画弧交 OA
11、 于点 A1，交 OB于点 B1，再作 AOB 的平分线，交 于点 C，交 于点 C1， 得到扇形的总数为 6 个，AB分别为： 扇形 OAB、扇形 OAC、扇形 OCB、扇形 OA1B1、扇形 OA1C1、扇形 OC1B1；第二次划分： 如图(3)所示，在扇形 OC1B1 中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC1 的一半 OA2 的长为半径画弧交 OC1 于点 A2，交 OB1 于点 B2，再作B 1OC1 的平分线，交 于点 D1，交 于点 D2，可以得到扇形的总数为 11 个；C2第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分； 依次划分下去.(1) 根据题意, 完成右边的表格；
12、(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为 2008 个? 为什么?(3) 若图(1)中的扇形的圆心角AOB=m，且扇形的半径 OA 的长为 R我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形 （或扇形 ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记1OAC1B为 S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为 S2；，把第 n 次划分的最小扇形面积记为 Sn.求 的值.1n22圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等” ，记作 （如图AOB） ；圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半” ，记作 （如图）请回答下列问题：1()2AOB
13、CD（1）如图，猜测 并说明理由；PAB与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系 ,（2）如图，猜测 并说明理由.APBCD与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系 ,（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）23已知：半径为 R 的 经过半径为 r 的 O 圆心， 与O 交于 M、N 两点O （1）如图 1，连接 O 交 O 于点 C，过点 C 作 O 的切线交 于点 A、B ，求的值；OAB（2）若点 C 为 O 上一动点.当点 C 运动到 内时，如图 2，过点 C 作 O 的切线交 于 A、B 两点请 你探索 的值与（1 ）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；当点运动到 外时，过点
14、C 作 O 的切线，若能交 于 A、B 两点请你在图 3 中画出符合题意的图形，并探索 的值（只写出 的值，不必证明） AB北京市丰台区 2015-2016 学年度第一学期 初三数学 第 24 章 圆 综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图， 为 O 的直径， 为弦， ， 交 于 ， ，BDACBADBCE2A4EPOACDB图OBDAC图 图C DOPA BOFABCDE（1）求证： ，并求 的长；ABED AB（2）延长 到 ，使 ，连接 ，判断直线 与 O 的位置关系，并说明FOF理由.1解： ， . ABCC ，
15、 D 又 ，E ABED2 241AB（舍负） 3（2）直线 与 相切 FO连接 为 的直径， ABD90BAD在 中，由勾股定理，得 Rt 2214831432F， 3ABBOA（或 ， 是等边三角形， FBA， ）60O30F 9F又 点 A 在圆上， 直线 与 相切A2. 已知：如图，以等边三角形 ABC 一边 AB 为直径的 O 与边 AC、 BC 分别交于点D、 E，过点 D 作 DF BC，垂足为 F（1）求证： DF 为 O 的切线；（2）若等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的面积2 （1）证明：连接 DO. DFE BCOAFEDCBOA 是
16、等边三角形 ， C=60， A=60， ABC OA=OD， 是等边三角形 . ADO =60.OD DF BC ， CDF =30. FDO=180- ADO- CDF= 90. DF 为O 的切线. （2） 是等边三角形， CD=AD=AO= AB=2. OAD21Rt 中， CDF =30， CF= CD=1. DF= . CF 32CFD（3）连接 OE，由（2 ）同理可知 E 为 CB 中点， .E ， .1 23)(2DFOSFDOE形 360E扇 形 2DOEFESS形形3、如图，已知圆 O 的直径 垂直于弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且ABCOADFCFAD（1）请证明：
17、 是 的中点；（2）若 ，求 的长8BC3、 （1）证明：连接 ，如图AC， 且 过圆心CFDEFE， O， ， 是等边三角形 AD 30FCD在 中， ， 点 为 的中点RtO 1212B（2）解：在 中 ，CEt8A4CA又 ，B324162 23DE4如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， BAC = 60， P 是 OB 上一点，过 P 作 ABFEDCBOACEBODFA的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 交 PQ 于点 DOD（1）求证： CDQ 是等腰三角形；（2）如果 CDQ COB，求 BP:PO 的值4 （1）证明：由已知得 ACB=9
18、0， ABC=30， Q=30， BCO= ABC=30. CD OC， DCQ= BCO=30， DCQ= Q， CDQ 是等腰三角形. （2）解：设 O 的半径为 1，则 AB=2， OC=1， AC= ， BC=12AB.3等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等， CQ=BC= .3 AQ=AC+CQ=1+ ， AP= ，3231AQ BP=AB AP= PO=AP AO= ，21 211 BP PO= . 35 已知:如图, BD 是半圆 O 的直径, A 是 BD 延长线上的一点， BC AE，交 AE 的延长线于点 C, 交半圆 O 于点 E，且 E 为 的中点. DF（1
19、）求证： AC 是半圆 O 的切线；（2）若 ，求 的长62AD， BC5.解：（1）连接 OE, E 为 的中点， .EFEC ， . .OEBC. EBOB BC AC， C=90 . AEO= C=90. 即 OE AC.又 OE 为半圆 O 的半径， AC 是半圆 O 的切线. （2）设 的半径为 ，x ， . . .EAC 22(6)()x312ABDOBOEBC， . . 即 .EABC E912C46.如图， 内接于O ，过点 的直线交O 于点 P，交 的延长线于点 ，且AB2=APAD（1）求证： ；（2）如果 60ABC，O 的半径为 1，且 P 为弧 AC 的中点，OPDCBA
