1、第 1 页（共 19 页）2017 年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1 （5 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x2 或 x2，则 UA=（ ）A （ 2，2） B （，2）（2，+） C2，2 D （，22，+）2 （5 分）若复数（1i） （ a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） B （，1） C （1，+） D （1，+）3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D4 （5 分）若 x，y 满足，则 x+2y 的最大值为（ ）A1 B3 C5 D95 （5 分）已知函数 f（x）=3 x（） x，则
2、f（x ） （ ）A是偶函数，且在 R 上是增函数 B是奇函数，且在 R 上是增函数C是偶函数，且在 R 上是减函数 D是奇函数，且在 R 上是减函数6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）第 2 页（共 19 页）A60 B30 C20 D107 （5 分）设，为非零向量，则“存在负数 ，使得=”是0”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：lg30.48）
3、A10 33 B10 53 C10 73 D10 93二、填空题9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin=，则 sin= 10 （5 分）若双曲线 x2=1 的离心率为，则实数 m= 11 （5 分）已知 x0，y0，且 x+y=1，则 x2+y2 的取值范围是 12 （5 分）已知点 P 在圆 x2+y2=1 上，点 A 的坐标为（2，0） ，O 为原点，则的最大值为 13 （5 分）能够说明“设 a，b ，c 是任意实数若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 14 （5 分）某学习小组由学
4、生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；第 3 页（共 19 页）（ii）女学生人数多于教师人数；（iii ）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 该小组人数的最小值为 三、解答题15 （13 分）已知等差数列a n和等比数列b n满足a1=b1=1，a 2+a4=10，b 2b4=a5（）求a n的通项公式；（）求和：b 1+b3+b5+b2n116 （13 分）已知函数 f（ x）=cos（2x ）2sinxcosx（I）求 f（x）的最小正周期；（II）求证：当 x，时，f（x ） 17 （13 分）某大学艺术专业 40
5、0 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ， 80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男第 4 页（共 19 页）女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例18 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PA BC ，ABBC，
6、PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC上一点（1）求证：PABD ；（2）求证：平面 BDE平面 PAC；（3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积19 （14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A（2 ，0 ） ，B（2，0） ，焦点在 x 轴上，离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E求证：BDE 与BDN 的面积之比为 4：520 （13 分）已知函数 f（ x）=e xcosxx（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0）
7、 ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）在区间 0，上的最大值和最小值第 5 页（共 19 页）2017 年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1 （5 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x2 或 x2，则 UA=（ ）A （ 2，2） B （，2）（2，+） C2，2 D （，22，+）【分析】根据已知中集合 A 和 U，结合补集的定义，可得答案【解答】解：集合 A=x|x 2 或 x2=（，2）（2，+） ，全集U=R， UA=2，2 ，故选：C【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题2 （5 分）若复数（1i） （ a+i）在复平面内对应的点
8、在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） B （，1） C （1，+） D （1，+）【分析】复数（1i） （a+i） =a+1+（1 a）i 在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得 a 范围【解答】解：复数（1i） （a +i）=a +1+（1 a）i 在复平面内对应的点在第二象限，解得 a1则实数 a 的取值范围是（， 1） 故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理第 6 页（共 19 页）能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能
9、是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当 k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当 k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当 k=3 时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4 （5 分）若 x，y 满足，则 x+2y 的最大值为（ ）A1 B3 C5 D9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解
10、目标函数的最值即可【解答】解：x，y 满足的可行域如图：第 7 页（共 19 页）由可行域可知目标函数 z=x+2y 经过可行域的 A 时，取得最大值，由，可得A（3 ，3 ） ，目标函数的最大值为：3+23=9 故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键5 （5 分）已知函数 f（x）=3 x（） x，则 f（x ） （ ）A是偶函数，且在 R 上是增函数 B是奇函数，且在 R 上是增函数C是偶函数，且在 R 上是减函数 D是奇函数，且在 R 上是减函数【分析】由已知得 f（x）=f（x ） ，即函数 f（x）为奇函数，由函数 y=3x 为增函数，
11、y=（） x 为减函数，结合“增” “减”=“增”可得答案【解答】解：f（x）=3 x（） x=3x3x，f（ x）=3 x3x=f（x） ，即函数 f（x ）为奇函数，又由函数 y=3x 为增函数，y=（） x 为减函数，故函数 f（x ）=3 x（） x 为增函数，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题第 8 页（共 19 页）6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A60 B30 C20 D10【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥
12、的体积=10 故选：D【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）设，为非零向量，则“存在负数 ，使得=”是0”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】 ，为非零向量，存在负数 ，使得=，则向量，共线且方向相反，可得 0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足 0，而= 不成立即可判断出结论【解答】解：，为非零向量，存在负数 ，使得=，则向量，共线且方向相反，第 9 页（共 19 页）可得 0反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足0，而= 不成立，为非零向量，则“ 存在负数 ，使得=”是
13、0”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8 （5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：lg30.48）A10 33 B10 53 C10 73 D10 93【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10 lg310 0.48，代入 M 将 M 也化为 10为底的指数形式，进而可得结果【解答】解：由题意：M3 361，N10 80，根据对数性质有：3=10 lg310 0.48，M 33
14、61（10 0.48） 36110 173，=10 93，故本题选：D【点评】本题解题关键是将一个给定正数 T 写成指数形式： T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题二、填空题9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin=，则 sin= 【分析】推导出 +=+2k，kZ，从而 sin=sin（ +2k）=sin ，由此能求出结果【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，第 10 页（共 19 页）+=+2k，kZ，sin= ，sin=sin（+2k ）=sin=
15、故答案为：【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题10 （5 分）若双曲线 x2=1 的离心率为，则实数 m= 2 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m 即可【解答】解：双曲线 x2=1（m0）的离心率为，可得：，解得 m=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力11 （5 分）已知 x0，y0，且 x+y=1，则 x2+y2 的取值范围是 ，1 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可【解答】解：x0，y0，且 x+y=1，则 x2+y2=x2+（1x） 2=2x22x+1，x 0，1，则令 f（ x）=2x 22x+1，x0，1，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）=最大值为：f（1）=22+1=1 则 x2+y2 的取值范围是：，1故答案为：，1【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力
