1、12017 年考研数学二真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分1若函数 在 处连续，则cos,0()xfxab（A） （B） （C） （D）12120ab2ab【详解】 ， ，要使函数在 处连续，000coslim()lilimxxxfaa0li()()xff0x必须满足 所以应该选（A ）1122ba2设二阶可导函数 满足 ， ，且 ，则（ ）()f()1f()1f()0fx（A） （B） 10fxd 1xd（C） （D）0110()()fx010()()ffx【详解】注意到条件 ，则知道曲线 在 上都是凹的，根据凹凸性的定义，显 fx,然当 时， ，当 时， ，而且两个式子
2、的等号不是处处成,x()21fx0,()21fx立，否则不满足二阶可导所以 所以选择（B） 110() )0fxddd当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数 ，此时2(1fx，可判断出选项（A ） ， （C） ， （D）都是错误的，当然选择（B） 希望0110(),()33fxdfxd同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧3设数列 收敛，则n（A）当 时， （B ）当 时，lims0nxli0nxlim()0nxlim0nx(C）当 时， （D）当 时，2()n sin【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的其实此题注意，设 ，则linx
3、A22limsn,(),lim(),lim(sin)sinnx xAxA 分别解方程 时，发现只有第四个方程 有唯2i0,0,s0 02一解 ，也就是得到 0Alim0nx微分方程 的特解可设为 （ ）2489(1cos)yex*y（A） （B）2(cosixeBxC2(cos2in)xAeBxC（C） （D）2n)【详解】微分方程的特征方程为 ，有一对共轭的复数根 2480rri所以 不是特征方程的根，所以对应方程 的特解应该设为 ；12 289xye 21*xyAe而 是方程的单根，所以对应方程 的特解应该设为i cos；从而微分方程 的特解可设为2*(cosin2)xyeBCx24(1)
4、xye，应该选（C） 21(cosin2)xAeBx5设 具有一阶偏导数，且对任意的 都有 ，则（ ）(,)fy(,y(,)(,)0fyfxy（A） （B ）0,(1,)ff,)(1,ff（C） （D）() 0)【详解】由条件对任意的 都有 可知 对于 是单调增加的，(,)xy(,)(,fxyfxy(,)fxy对 就单调减少的所以 ，y1,0(,)1,(0,),0,1(,)(1,0fffffffff只有第三个不等式可得正确结论（D ） ，应该选（D ） 6甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒） ，虚线表示乙的速度曲线 （单位：米
5、/秒） ，三块阴影部分的面积分别为1()vt 2()vt，计时开始后乙追上甲的时刻为 ，则（ ）0,230t（A） （B）t 0152t（C） （D）05【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时， 表示时刻21()()TStvtd内所走的路程本题中的阴影面积 分别表示在时间段 内甲、12,T123,S0,5,30乙两人所走路程之差，显然应该在 时乙追上甲，应该选（C） 5t37设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （ A123,P102PA123()A）（A） （B） （C ） （D）12232313【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目可知 123 1232300(,
6、) , ,AP 所以 ，所以可知选择（B） 12312323()A8已知矩阵 ， ， ，则 010B102C（A） 相似， 相似 （B ） 相似， 不相似,C, ,A,B（C） 不相似， 相似 （D） 不相似， 不相似【详解】矩阵 的特征值都是 是否可对解化，只需要关心 的情况,B123,1 2对于矩阵 ， ，秩等于 1 ，也就是矩阵 属于特征值 存在两个线性无关的A02EA特征向量，也就是可以对角化，也就是 AC对于矩阵 ， ，秩等于 2 ，也就是矩阵 属于特征值 只有一个线性无关的B012 2特征向量，也就是不可以对角化，当然 不相似故选择（B） ,二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4
7、 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9曲线 的斜渐近线为 2(1arcsin)yx解： ， ，所以斜渐近线为 limli1xxx2lim()liarcsinxxyx2yx10设函数 由参数方程 确定，则 ()ysinte20|tdy4【详解】 ，所以 2 3cos1cos()sincos,11ttttdedyyexxet 201|8tdyx11 .20ln()【详解】 02 200l(1)1ln()1ln()|()x xdxddx 12设函数 具有一阶连续的偏导数，且已知 ， ，则(,)fy (,)yyfee(0,)f(,)fx【详解】 ，所以 ，由 ，得(,)(1)()yyydfe
8、dxedxe(,)yfxeC(,)f，所以 0C13 10tanyx【详解】交换二重积分的积分次序得： 11110000ttantalncoslcs.xyddyxdx14设矩阵 的一个特征向量为 ，则 4213Aa12【详解】根据特征向量的定义，有，解得 4211332aa1三、解答题15 （本题满分 10 分）求极限 03limxted【详解】令 ，则 ，tu,txtdu00xxt uedd03330002lilimlilim3xtx xxxe e 16 （本题满分 10 分）5设函数 具有二阶连续偏导数， ，求 ， (,)fuv(,cos)xyfe0|xdy20|x【详解】 ， ；12,c
9、os),inxxxdyfef01|(,)xf2 1122221(,(,cs)i(,cos),cos)sin,os)in(,)xxx xffefefeef 20112|(,)(,xdyfff17 （本题满分 10 分）求 21limlnnkk【详解】由定积分的定义 12 01 120lilnlimlnln()()24nnk kxdxd18 （本题满分 10 分）已知函数 是由方程 ()yx3yx【详解】在方程两边同时对 求导，得（1）230y在（1）两边同时对 求导，得x2()xy也就是2()1yy令 ，得 当 时， ；当 时，0x11y21x20y当 时， ， ，函数 取极大值 ；1y0()当
10、 时， ， 函数 取极小值 2xyx2y19 （本题满分 10 分）设函数 在区间 上具有二阶导数，且 ， ，证明：()f0,1(1)0f()lim0xf（1）方程 在区间 至少存在一个实根；x,6（2）方程 在区间 内至少存在两个不同实根2()()0fxfx,1证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件 可知，存在 ，及 ，使得0()limxf01(0,)x，由于 在 上连续，且 ，由零点定理，存在 ，使()0fx()fx1,1f 1得 ，也就是方程 在区间 至少存在一个实根；0f,（2）由条件 可知 ，由（1）可知 ，由洛尔定理，存在 ，使得0()limxf()()0f(0,)；()f设
11、，由条件可知 在区间 上可导，且 ，分别在()Ff()Fx0,(),(),()FF区间 上对函数 使用尔定理，则存在 使得0,12,0101，也就是方程 在区间 内至少存在两个不同实1212()02()()fxfx,根20 （本题满分 11 分）已知平面区域 ，计算二重积分2(,)|Dxyy2(1)Dxd【详解】由于积分区域关于 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知 所以0Dx2sin22 20422046(1)(1)(co1)sincoi(isn)5DDxdxdrrdd其中利用瓦列斯公式，知 2 4 60 0 01315315sin,sin,sin228426ddd 21 （本题满分 11
12、分）设 是区间 上的可导函数，且 点 是曲线 上的任意一点， 在点 处()yx3,()yP:()LyxLP的切线与 轴相交于点 ，法线与 轴相交于点 若 ，求 上的点的坐标0,PYX,0PpXY满足的方程(,)xy7【详解】曲线过点 的切线方程为 ，令 ，得 ；(,)Pxy()()YyxXx0()pYyx曲线过点 的法线方程为 ，令 ，得 , 1()Yp由条件 ，可得微分方程PpXYyxy标准形为 ，是个一阶齐次型微分方程1dyx设 ，方程化为 ，整理，得yux1uxd21dux分离变量，两边积分，得 arctnlln2C由初始条件 ，得 ，确定常数(1)0y,0xyu1所以曲线的方程为 1a
13、rctllx22 （本题满分 11 分）设三阶矩阵 有三个不同的特征值，且123,A312.（1）证明： ；()r（2）若 ，求方程组 的通解123,Ax【详解】 （1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 是非零矩阵，也就是 A()1rA假若 时，则 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 ，又因为()rA0r 2，也就是 线性相关， ，也就只有 312123,()3r()r（2）因为 ，所以 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于 ，()rAx 3120所以基础解系为 ；21x又由 ，得非齐次方程组 的特解可取为 ；123,Ax1方程组 的通解为 ，其中Ax12xk为任意常数k23 （本题满分 11 分）8设二次型 在正交变换 下的标准形为2212313132(,)8fxxaxxxQy，求 的值及一个正交矩阵 21yaQ【详解】二次型矩阵41Aa因为二次型的标准形为 也就说明矩阵 有零特征值，所以 ，故21yA0A2.a14(3)642EA令 得矩阵的特征值为 0EA123,6,0通过分别解方程组 得矩阵的属于特征值 的特征向量 ，属于特征值特()0ix113征值 的特征向量 ， 的特征向量 262133261所以 为所求正交矩阵123612,016Q
