1、1. 设晶体中的每个振子的零点振动能.试用德拜模型求晶体的零点振动能.证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 就是各0E振动模零点能之和。 和 代入00012mEgdE将 23sVgv积分有，由于40239168mmsVENv098mBDBDkNk得一股晶体德拜温度为 ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热210K能相比拟2. 试画出二维长方格子的第一、第二布里渊区.3. 证明：在磁场中运动的布洛赫电子，在 K 空间中,轨迹面积 An 和在 r 空间的轨迹面积 Sn之间的关系 An= ( )2SnqBhc ()dkdrcvtt解 ： qBr
2、ttkqrc两 边 对 积 分 ,即 =22()nArSB4. 证明：面心立方晶格的倒格子为体心立方.解：面心立方晶格的基矢为 aaaj,b,c22kikij则面心立方原胞体积3V4=a2bc面 心 立 方 倒 格 矢 238aikijaijk2=，bijk同 理 ： ij a c显 然 ， ， 为 体 心 立 方 原 胞 基 矢 ， 因 此 面 心 立 方 晶 格 倒 格 子 为 体 心 立 方5. 证明：根据倒格子的定义证明简单立方格子体积与其倒格子体积成反比解: 设简单立方晶格常数为 a，则基矢为 a,b,c,Vaijk3体 积 =其倒格矢 ， ，231baiV3122bajV123ba
3、kV则倒格子体积 1236. 是否存在与库伦力无关的晶型，为什么？答：不存在与库仑力无关的晶型，因为共价结合中电子虽不能脱离电负性 的原子，但靠近的两个原子各给出一个电子，形成电子共有的形状，位于两原子之间通过库仑力把两个原子结合起来。离子晶体中正负离子的吸引力是库仑力金属晶体中原子实与电子云之间的作用力为库仑力分子结合中，电偶极矩把原本分离的原子结合起来，电偶极矩就是库仑力氢键结合中，氢与电负性大的原子共价键结合，氢键与电负中心不重合，迫使它通过库仑力与电负性大的原子结合.7. 如果有一维单原子晶格的振动写成如下驻波形式.证明格波的色散关系与行波的相同解：一维单原子列的运动方程为： 2112
4、nnnndXtmtXtt将题设中驻波解带入得： 2sinisi(1)sii()sisiimAaqtAaqtAaqtAaqtnn2sn(2sicoi)21coaqm241()aq即驻波色散关系与行波一样8. 证明二维正方格子于第一布里渊区的角隅处的一个自由子的动能为该区侧面中心处动能的二倍。再求对三维简单立方晶格,其相应的倍数是多少？（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 2,AiBja第一布里渊区如图所示a0 a22 , .,BxyziKijaaKm A区 边 中 点 的 波 矢 为 角 顶 点 的 波 矢 为自 由 电 子 能 量 222,Axa点 能 量所以22222 ,B
5、xyKama点 能 量 /2BAb)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 ,AijCka第一布里渊区如图72所示 2;Ama点 能 量 222222 3,BxyzKmaama点 能 量所以 /3A9. 设10. 证明应用紧束缚方法于一维单原子链。如果只计算近邻原子之间的相互作用。其 S 态能带为11. 论述霍尔系数测量原理以及在化合物研究中的应用。将半导体放在 x-y 平面里，加上 z 方向的磁场，通以 x 方向电流，导体内沿 y 方向将产生电场，当电场达到稳定时，有 yxqEvB因电流密度为 p 为空穴密度,则 ，其中 ,电子导电情况类似xxj 1yxzEjBpq1kpq在化合物半导体研
6、究中，霍尔系数的测量可直接测得载流子密度而且从其符号可以判定是电子导电还是空穴导电。12. 证明六角晶体的介电常数张量为1230解：设介电常数为二阶张量 ，D,E 分别为电位移矢量和电场强度，则 ， DE其中 ， 表示沿 x,y,z 轴的分量，z 轴与六角晶体六重轴平行，x 与另一基矢（ ）平行，设 E 沿 z 轴方向，则 =xyzDyzxzyz 0E， ，xzDyzE如晶体和电场同时绕 z 轴转 ，使 x 轴转到-x 轴，y 轴转到-y 轴，则转后xxyDyz由于上述转动是六角晶体的一个对称操作 ，即D ,xyD故 ，zxzy，0zz同理取电场沿 x 轴方向，并绕 x 轴转 ，可得 ，从而x
7、y0xy因二阶张量本身性质 ，故六角晶体的介电常数张量为123013. 设有一晶体，平衡时体积为 V0，原子之间相互作用为 0.如果相距为 r 的原子相互作用势能为证明体积弹性模量为14. 以格林艾森状态近似公式出发说明晶格膨胀产生的原理15. 画出一维紧束缚近似状态下 的 E（k）、V(k)、M*（k）函数以及图形，并对电子在恒定场作用下的振荡运动加以说明设电场力 F=-eE,则 ，可知电子在 k 空间匀速运动，由于电子运动只能保持在一个能带中，用约化布里渊区表示，电子从布里渊区边界一边移出同时从另一边界移入，即电子在 k 空间循环运动，现在电子随时间做振荡变化电子速度的振荡意味着电子在实空
8、间的振荡。16. 试以能带结构解释半导体、导体、绝缘体导体中不仅有未被电子占据的空带和被电子占满的满带，还有部分被电子占据的导带。本征半导体虽只有满带和空带，但满带和空带之间的禁带很窄，热激发能很容易使电子进入空带，使原来的满带成为价带空带成为导带。导电性来源：价带中的空穴和导带中的电子。杂质半导体的禁带中存有杂质能级，也能提供电子或接受电子形成空穴参与导电。绝缘体只有满带和空带，禁带很宽，难以导电17. 以金属热电子发射现象出发说明热电偶测温原理如图，A、为不同的金属，根据量子理论，热电子发射的发射电流为由于 j 与温度有关，金属 A 在 M 和 N 端发射电流不同，将在 A 的两端产生电势
9、差 u1，同理 B 的两端也将产生电势差 u2。虽然 u1 和 u2 两端的温度差一样但由于 j 与 Ef 有关，而 A、B 的 Ef 不同因此u1 不等于 u2.这样便在 A、B 构成的回路中产生电流，此电流与 M、N 的温度有关。测量回路中的电流便可得到 M 和 N 的温度关系，这就是热电偶测温原理。18. 解释自由电子和近自由电子能态密度函数自由电子能态密度函数为 g(w)=cE1/2近自由电子只在布里渊区边界上产生了较大畸变。远离布里渊区边界时，能态密度函数与自由电子接近，在能量接近边界 Ea 处，随着 E 的增加，等能面一个比一个更强烈的向外突出，使它们的体积越来越大的增长，相应的，
10、能态密度在接近 Ea 时，应比自由电子显著增大。E 超过 Ea 时，由于等能面开始残破，面积不断下降，到达 Ec 时，等能面将缩成几个顶点角，故由 Ea 到 Ec,g(w)将不断降为 0.19. 设二维晶格的两个基矢为，求其倒格矢。20. 画出面心立方晶格的固体物理学原胞并画出其基矢。21. 已知某晶体的体积弹性模量为 K，若要使相邻原子间距缩小 0.5%，求施加力的大小。22. 求出一维原子链的频率分布函数。23. 热平衡下，频率为 w 的温度为 T 的平均声子数为。并说明在高温极限该值为.24. 一维原子链原子间距为 a，总长度为 Na，用紧束缚近似求出原子 S 态能级对应的能态函数，并求
11、出其能态密度函数表达式。解 010101(1),()2cos2cosikias sEkJeJkaEJka0)sikRsp(2) , 112()2sinsiLdNaNNEEJkJka(3), 0 00()22Fk FFk0 01 11cos,()sinF sNEJaEJJa25. 设有一维晶体的电子能带可写成 ， 其中 为晶27()(cos2)8kkma格常数， 是电子的质量。m试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢 k 状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。解：（1） 271()(cos2)8Eka= coska+ (2cos2ka1)2ma781 (coska2) 21 24当 ka(2
12、n+1) 时,n=0,1,22max()Ek当 ka=2n时, in0能带宽度2maxin（2） 1()1(s)4dEkka(3) 2* 1co2Ek 当 时,带底，0*m当 时,带顶，a326. 证明立方晶格介电常数为. 00证：设介电常数为二阶张量 ，D,E 分别为电位移矢量和电场强度，则 ， DE其中 ， 表示沿 x,y,z 轴的分量，z 轴与立方晶体六重轴平行，x 与另一基矢（ ）平行，设 E 沿 z 轴方向，则 =xyzDyzxzyz 0E， ，xzDyzE如晶体和电场同时绕 z 轴转 ，使 x 轴转到-x 轴，y 轴转到-y 轴，则转后xxyDyz由于上述转动是立方晶体的一个对称操
13、作 ，即D ,xyD故 ，zxzy，0zz同理取电场沿 x 轴方向，并绕 x 轴转 ，可得 ，从而xy0xy取电场沿着111方向，则 =yzDyz13E绕111转动 ,使 z 轴转动到原 x 轴，x 轴转到原 y 轴，y 轴转到原 z 轴;23电位移矢量转动后应写成 =yzDzyx13E由于上述操作是对称操作，故 即 0xyz原命题得证27. 图示并写出立方晶格（111）面与（100）面的交线晶向。28. 金刚石晶胞常数为。求最近邻原子的距离和平均每立方厘米原子数。29. 有一晶格，每一格点上有一原子，基矢为其中 i，j ，k 为 x，y ，z 方向单位向量。问：（1）这种晶格属于哪种布拉菲格
14、子；（ 2）原胞体积和晶胞体积各是多少？30. 试求出自由电子在稳定磁场中的回转频率。31. 如何通过实验来测定载流子试电子还是空穴？根据霍尔效应，将半导体放在 x-y 平面里，加上 z 方向的磁场，通以 x 方向电流，测定霍尔系数，霍尔系数为正，是空穴；为负，是电子。32. 晶体膨胀时费米能级如何变化？解：晶体中电子数目 ,2“2()()6FFBNQEKT下量子态总数 ,FE0()()d以自由电子为例， , ,312()4()mNEV328()()FFmQEVE晶体膨胀时， 不变， 不变， 上升，则 下降，即晶体膨胀时，费米能级降低。N()FQEVFE33.倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶
15、面系。123Ghb123()h证明：因为 ，3312,aaCABhh123Ghb利用 ，容易证明2ijijb1230hCA所以，倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系123b123()h34. 电子在周期场中的势能22(),mxnabxna当0 ， ()Vx b当 (-1)+其中 d4b， 是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I)题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函数，所以()Vxa11()()()abLbVxdVxd题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，故只需在4ab3ab,3b()0Vx区间内积分这时， ，于是
16、 ,0n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaaa（3） ，势能在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 20 0 01()cos,()cos()cos2 2bbmmxxVxdxVxdb1 120,1()bg gmEEb第 一 个 禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduu第二个禁带宽度 代入上式2316mbg 2,2gV以 代 入 上 式 ,再次利用积分公式有220()cosbg xEdb 2mb2gE35. 求两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数和库仑相互作用能.设离子的总数为 。2N解:设想一个由正负
17、两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 34(1).nx当 X=1 时，有 1.22nl.3436. 有 N 个相同原子组成面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热。并论述在低温极限下比热正比于 T2.证明：在 到 间的独立振动模式对应于平面中半径 到 间圆环的面积kdnd，且 则2n253Lsnkdkv即3 32
18、 20/ /2 2 203111m D DB B xB BkT kTdsTskTsd dEEveveve ， 2,()vsTC3时 ，37.为什么晶格粒子除了有吸引力还要有排斥力，并说明吸引力和排斥力的来源。晶格粒子处于平衡位置时能量最低，偏离平衡位置时均会向平横位置移动。当粒子小于平衡位置时需要排斥力使距离变得大，反之需要有吸引力使之变小。吸引力来自正离子和负离子以及正离子和负电子云之间的库仑力排斥力来自临近离子或原子实的电子云有显著重排时，由于泡利不相容原理而产生的重叠排斥能。38. 半金属交叠的能带为：,2111()0,0.8kEkM.22220()(),6式中 为带 1 的带顶， 为带 2 的带底，交叠部分为 .10E20Ek120()1EkeV由于能带交叠，能带 1 中部分电子转移到带 2，而在带中形成空穴，讨论 T=0k 时费米能级数。解：由于 和 只与 的绝对值 有关，因此 空间等效面为球面。1()k2kk能带 1 中的能态密度 131()4kVdsNE 2331124()kkVdsEE11220MV能态 2 中能态密度 22 0332 1()4()4k kVdsNEE
