1、第 1 页 共 12 页北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2018.1第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合 ， ，则|03Ax|12BxAB（A） |1（B） |10x（C） |02x （D） |232下列函数中，在区间 上单调递增的是(0,)（A） 1yx（B） |1|yx（C） sinyx（D） 12yx3执行如图所示的程序框图，输出的 值为S（A） 2（B） 6（C） 30（D） 274已知 为曲线 ： （ 为参数）上的动点设 为原点，则
2、的M3cos,inxy OM最大值是（A） 1（B） 2（C） 3（D） 45实数 满足 则 的取值范围是,xy10,y 2xy（A） 0,2 （B） (,0第 2 页 共 12 页（C） 1,2（D） 0,)6设 是非零向量，且 不共线则“ ”是“ ”的,ab,ab|ab|2|ab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7已知 ， 是函数 的图象上的相异两点若点 ， 到直线 的距离相等，B2xyA12y则点 ， 的横坐标之和的取值范围是A（A） (,1)（B） (,2)（C） (1,)（D） (2,)8在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子
3、的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作 ）的乘积等于常数H OH已知 pH 值的定义为 ，健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45140pHlg之间，那么健康人体血液中的 可以为O（参考数据： ， ）lg20.3lg.48（A） 1（B） 1（C） 16（D） 10第 3 页 共 12 页第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在复平面内，复数 对应的点的坐标为_2i110数列 是公比为 的等比数列，其前 项和为 若 ，则na2nnS21a_； _5S11在 中， ， ， 的面
4、积为 ，则 _ ABC3aABC34c12把 件不同的产品摆成一排若其中的产品 与产品 都摆在产品 的左侧，则不同4 C的摆法有_种 （用数字作答） 13从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示该几何体的表面积是_ 14已知函数若 ，则 的值域是_；若 的值2,()13.xxcf 0()fx()fx域是 ，则实数 的取值范围是_ ,24c第 4 页 共 12 页三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 2()sincos()3fxx（）求 的最小正周期；（）
5、求 在区间 上的最大值()fx0,216 （本小题满分 13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻1 月 1 日 7:36 4 月 9 日 5:46 7 月 9 日 4:53 10 月 8 日 6:171 月 21 日 7:31 4 月 28 日 5:19 7 月 27 日 5:07 10 月 26日6:362 月 10 日 7:14 5 月 16 日 4:59 8 月 14 日 5:24 11 月 13日6:563 月 2 日 6:47 6 月 3 日 4:47
6、9 月 2 日 5:42 12 月 1 日 7:163 月 22 日 6:15 6 月 22 日 4:46 9 月 20 日 5:59 12 月 20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻2 月 1 日 7:23 2 月 11日7:13 2 月 21日6:592 月 3 日 7:22 2 月 13日7:11 2 月 23日6:572 月 5 日 7:20 2 月 15日7:08 2 月 25日6:552 月 7 日 7:17 2 月 17日7:05 2 月 27日6:522 月 9 日 7:15 2 月 19日7:02 2 月
7、 28日6:49（）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于 7:00 的概率；（）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立记为这两人中观看升旗的时刻早于 7:00 的人数，求 的分布列和数学期望 X X()EX第 5 页 共 12 页（）将表 1 和表 2 中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如 7:31 化为 ） 记表 2 中31760所有升旗时刻对应数据的方差为 ，表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为2s，判断 与 的大小 （只需写出结论）2*s2*s17 （本小题满分 14 分）如图，三棱柱 中， 平面 ， ，1ABCAB
8、1C12ABC.160A过 的平面交 于点 ，交 于点 .1EF（）求证： 平面 ；C1AB（）求证：四边形 为平行四边形；（）若 ，求二面角 的大小.23BF1CF18 （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 ()esin1axf0a（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1()yf,()f（）证明： 在区间 上恰有 个零点 ()fx0,219 （本小题满分 14 分）已知椭圆 过点 ，且离心率为 2:1(0)xyCab(2,)A32（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点若直线 上存在点 ，使得四边形3ykxC,MN3xP是平行四边形，求 的值PAMNk20 （本小题满分 13
9、 分）第 6 页 共 12 页数列 ： 满足： ， ， 或nA12,(4)na 1anm10ka(,)k对任意 ，都存在 ，使得 ，其中 且两两不相等ij,stijst,2ijstn（）若 ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；2m ； ； 1,1,2,1,2,（）记 若 ，证明： ；12nSaa 3m0S（）若 ，求 的最小值08m北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1A 2D 3C 4D 5D 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5
10、 分，共 30 分. 9 10 ，11(1,)32n141312 13 14 ；86,)4,12注：第 10，14 题第一空 2 分，第二空 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分）第 7 页 共 12 页解：（）因为 2()sincos()3fxx 4 分1sin2)3x 5 分3sin2cos1x， 7i()分所以 的最小正周期 8 分()fx2T（）因为 ，02 所以 10 分33x 当 ，即 时， 112512分 取得最大值为 13()fx3分 16 （本小题满分 13 分）解：（）记事件 A 为“
11、从表 1 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 1 分在表 1 的 20 个日期中，有 15 个日期的升旗时刻早于 7:00，所以 353()204P分（）X 可能的取值为 4,1分记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”，则 ， 5 分 5()13P2()1(B)3P； ；4(0)()9X 124()C()39PX 812BPP分所以 X 的分布列为：第 8 页 共 12 页X 0 1 2P 499 10 分()0123E注：学生得到 X ，所以 ，同样给分(,)B12()3EX（） 13 分2*s17 （本小题满分 14 分）解：
12、（）因为 平面 ，所以 1AB1C1AB分因为 三棱柱 中， ，所以 四边形 为菱形，11C1AC所以 3 分1AC所以 平面 4 分 1B（）因为 ， 平面 ，所以 平面 5 分1/A11C1/A1BC因为 平面 平面 ，所以 6 分 EFBEF因为 平面 平面 ，/A1平面 平面 ，平面 平面 ，1EFBCAF1E11ABCE所以 7 分/所以 四边形 为平行四边形 8 分1（）在平面 内，过 作 ACAzC因为 平面 ， B1如图建立空间直角坐标系 9 分xyz-由题意得， ， ， ， ， (0,)A(2,0)B(,20)C1(,3)A1(0,3)C因为 ，所以 ， 23BFC4,33F
13、 第 9 页 共 12 页所以 24(,0)3F由（）得平面 的法向量为 1ABC1(0,3)AC 设平面 的法向量为 ， 1(,)xyzn则即 0,AF n3240.xy令 ，则 ， ，所以 11 分1y3z(2,13)n所以 13 分11|cos,AC n由图知 二面角 的平面角是锐角，1BF所以 二面角 的大小为 14A45分18 （本小题满分 13 分）解：（）当 时， ，1a()esin1xf所以 2 分ico)xf因为 ， ， 4 分(0)1(f所以曲线 在点 处的切线方程为 5 分yx0,()f 1yx（） 6 分()esincoafx由 ，得 7 分0is0x因为 ，所以 8
14、分a()2f当 时， 由 ， 得 (0,),xsinco0ax1tanx所以 存在唯一的 ， 使得 9 分0(,)2x1t与 在区间 上的情况如下：()fxf0(,)x0x0(,)x第 10 页 共 12 页()fx+0f 极大值 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 11 分()fx0(,)x0(,)x因为， 12 分020e1aff且 ，()所以 在区间 上恰有 2 个零点 13fx0,分19 （本小题满分 14 分）解：（）由题意得 ， ， 所以 22a32ce3c分因为 ， 3 分22abc所以 ， 4 分1所以 椭圆 的方程为 5C214xy分（）若四边形 是平行四边形，PAMN则 ，且 . 6 分/|所以 直线 的方程为 ，(2)ykx所以 ， 7 分(3,)Pk2|1A设 ， 1,Mxy(,)Nxy由 得 ， 8 分23,4k2(41)830kxk
