1、2018 年考研数学一考试大纲及其解读2017-09-18 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构高等教学 约 56%线性代数 约 22%概率论与数理统计 约 22%四、试卷题型结构单选题 8 小题，每小题 4 分，共 32 分填空题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分解答题（包括证明题） 9 小题，共 94 分1高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初
2、等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：， 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系函数对任意自变量，只有唯一因变量与之对应（知道就行）2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性一般性了解（知道就行），有界性（连续函数必有界），单调性、周期性、奇偶性后面几章会用到3理解复合函数及分段函数的概念，
3、了解反函数及隐函数的概念会求分段函数的复合函数，知道反函数的基本性质（与原函数对应关系相反），隐函数了解概念即可（非显函数）4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念要求同考纲，初等函数在定义域内均连续5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系了解（知道）极限定义，相关证明没有要求，左右极限需要掌握6掌握极限的性质及四则运算法则唯一性和保号性（重要），熟练掌握四则运算法则7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 掌握用夹逼定理（适用于函数和数列）和单调有界定理（适用于数列）求极限8理解无穷小量、无穷大
4、量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限知道什么是无穷小量（趋于 0）、无穷大量（趋于正负无穷），掌握无穷小量的比较方法（作比，理解低阶、同阶、等价和高阶无穷小），熟练掌握用等价无穷小求极限（只适用于因式）9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型掌握连续判断、间断点类型及其判断10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质熟练掌握并会使用有界性（闭区间连续函数必有界）、最值定理、零点定理和介值定理解题2二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函
5、数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（LHospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系导数定义式必须熟练掌握并会使用，其他要求同上
6、（会计算）2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分尽可能掌握一阶微分形式不变性并会用其解题，其他要求同上3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数知道什么是高阶导数，会用莱布尼茨公式求高阶导数4会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数要求同上，特别注意分段点的导数（用定义式）5理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy ）中值定理熟练掌握并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagran
7、ge ）中值定理、柯西中值定理和泰勒（Taylor ）定理，前三个定理证明也需要掌握6掌握用洛必达法则求未定式极限的方法要求同上，牢记洛必达法则使用的三个条件7理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用以上内容需全部掌握，还需要分清极值与最值，极值与导数为零的点的关系8会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形函数形态、拐点、渐近线重点掌握9了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径会计算曲率和曲率半径
8、（两个公式），曲率圆一般性了解3三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念非常清晰的理解原函数和可积的关系，弄清不定积分（函数）和定积分（常数）的本质2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法不定积分和定积分计算是
9、重点内容，近年不定积分解答题出题频率变小，定积分出解答题频率变大，两块都不能掉以轻心3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分必须掌握，可能以填空题形式出现4理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式重要考点，常与极限洛必达法则联用，必须掌握5了解反常积分的概念，会计算反常积分掌握反常积分和其计算（重点是计算）6掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值积分的实际应用必须掌握，大概率解答题内容4四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念 向量的
10、线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程 直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示2掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件3理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运
11、算的方法 4掌握平面方程和直线方程及其求法5会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题6会求点到直线以及点到平面的距离7了解曲面方程和空间曲线方程的概念8了解常用二次曲面的方程及其图形， 会求简单的柱面和旋转曲面的方程9了解空间曲线的参数方程和一般方程了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程19 加粗部分为本章必须掌握的重点，其余内容一般性了解5五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件
12、和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义知道是什么东西就行2了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质3理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性2.3 会求二重极限和判断连续、可微、可偏导等、理解偏导数和全微分及其表达形式，会用全微分形式不变性求偏导4理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法掌握方向导数与
13、梯度意义和公式并计算5掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法多元函数微分学重点会求偏导数6了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数会用多种方法求隐函数的偏导数（树形图、全微分等）7了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法以及应用8了解二元函数的二阶泰勒公式知道就行9理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题掌握二元函数极值存在条件并会用公式判断，会用
14、拉格朗日乘数法求条件极值并解决简单的应用题6六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用考试要求1理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理 2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）3理解两类曲线积分的概念，了
15、解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系4掌握计算两类曲线积分的方法5掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数6了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分7了解散度与旋度的概念，并会计算8会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）18 条加粗的部分是本章必须掌握的重点内容7七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要
16、条件 几何级数与级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet）定理 函数在上的傅里叶级数 函数在上的正弦级数和余弦级数考试要求1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件2掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，
17、会用根值判别法4掌握交错级数的莱布尼茨判别法5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法8了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件10掌握及麦克劳林（ Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数11了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与
18、余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式111 加粗部分为本章必须掌握的重点部分，其余部分一般性了解，计算是重点8八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程的简单应用考试要求1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念非常清楚解、通解、初始条件和特解概念2掌
19、握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法重点掌握内容3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4会用降阶法解下列形式的微分方程： 和 2.3.4 要求同上5理解线性微分方程解的性质及解的结构掌握齐次方程与非齐次方程通解的性质和结构6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程7会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程6.7 掌握常见二阶常系数齐次线性微分方程解的形式，并会分析解的结构，组合自由项即将微分方程拆为若干项再按一般方法分别求解（重要）8会解欧拉方程 要求同
20、上9会用微分方程解决一些简单的应用问题能解决微分方程相关的实际应用题（重点是把实际问题转换为数学问题）9线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1了解行列式的概念，掌握行列式的性质知道什么是行列式，熟练掌握行列式的性质（计算）2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式掌握求行列式方法（重要）二、矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算考试要求1理解矩阵的概念，了解单位矩阵
21、、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质知道什么是单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，并掌握它们的性质用于解题2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质有关矩阵的运算性质及方阵与行列式之间的关系必须熟练掌握并会解题3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件 ，理解伴随矩阵的概念， 会用伴随矩阵求逆矩阵逆矩阵和伴随矩阵是线代中两个非常重要的概念，相关性质以及应用需要熟练掌握4理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质 和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩 的概念，掌握用初等变换求矩阵的
22、秩和逆矩阵的方法5了解分块矩阵及其运算掌握常见分块矩阵的运算三、向量考试内容向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质考试要求1理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念2理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4理解向量组等价的概念，理解矩
23、阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系1.2.3.4 需要全部熟练掌握5了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念6了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵7了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法8了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质5.6.7.8 施密特正交化和正交矩阵概念、性质是掌握重点，其他了解即可四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解考试要求1会用克拉默
24、法则克拉默法则必会2理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件3理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法4理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5掌握用初等行变换 求解线性方程组的方法2.3.4.5 关于齐次和非齐次线性方程组的求解必须熟练掌握，这是线代大题必考的步骤（结合五六章）五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1理解矩阵的特征值和特征向量的概念
25、及性质，会求矩阵的特征值和特征向量2理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法3掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质1.2.3 所列内容均需全部掌握，有关特征值、特征向量必考大题六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理二次型概念及其矩阵、合同矩阵、标准型、规范性及惯性定理需要掌握（等价、合同、相似要
26、清晰分辨）2掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形配方法了解即可，出题概率非常小，正交变换法化二次型为标准型是重点3理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法考点之一，可能以选择题或填空题方式考察概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算有关随机事件关系及运算需要掌握，相关题目会做2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，
27、会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式这五大公式特别重要，后续章节涉及相关计算性的问题有可能会用到。3理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法事件的独立性和相关性质要掌握，后续会用到。二、随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率分布函数的性质和概念是基础，要求做到熟练掌握。2理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 01 分布、二项分布、几何分布、 超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用
