1、新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 1 -2013 北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5、6本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合 ， ，则|(1)20AxB0xABA B C D ,0(,1,21,)2.已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为naq34a8aqA B C 或 D 或32
2、233. 如图，在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ，则图形 面积的估计值为,mnA. B. C. D. mannam2a2nam4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A. B. 180240C. D.27635.在四边形 中， “ ，使得 ”是“四边形ABCDR,ABDCB为平行四边形”的66主5 新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 2 -A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.用数字 1，2，3，4，5 组
3、成没有重复数字的五位数，且 5 不排在百位，2，4 都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. B. C. D. 364287.双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该抛C12,F24yxC物线的一个交点为 ，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为A1AA. B. C. D.2123238. 若数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列naTnnTa为周期数列，周期为 . 已知数列 满足 ， nana1(0)m1, 1=0.nna，则下列结论中错误的是A. 若 ，则 可以取 3 个不同的值 34mB. 若 ，则数列 是周期为 的数列2
4、naC. 且 ，存在 ， 是周期为 的数列T*N1nTD. 且 ，数列 是周期数列Qm2na二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 在极坐标系中，极点到直线 的距离为_. cos210.已知 ，则 按照从大到小 排列为_.121ln,si,2ab,ab11.直线 过点 且倾斜角为 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线 与直线1l(,0)302l(,0)1l1l的交点坐标为_.212.在 中， ，则 ABC30,45,2Ba_;bC_.ABS13.正方体 的棱长为 ，若动点 在线段 上运动，则 的取值1D1P1DAP新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势
5、志愿填报 招生简章 模拟考试- 3 -范围是_.14.在平面直角坐标系中，动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 的距离，(,)Pxy (1,)记点 的轨迹为曲线 . PW(I) 给出下列三个结论：曲线 关于原点对称；曲线 关于直线 对称； yx曲线 与 轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ；12其中，所有正确结论的序号是_; ()曲线 上的点到原点距离的最小值为_.W三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）已知函数 .cos2()1in()4xfx（）求函数 的定义域；()f() 求函数 的单调递增
6、区间.x16.（本小题满分 13 分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为 50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元，50 元和 150 元三种；（3）顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概率为 ，获得 50 元奖金的概率为 .p2%(I) 假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求 的取值范围.p17. （本小题满分 14 分）如图 1，在直角梯形 中， ， ， ，ABCD90AB30C2B新东方在线 2
7、013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 4 -. 把 沿对角线 折起到 的位置,如图 2 所示,使得点 在平面 上4ADACPACPABC的正投影 恰好落在线段 上，连接 ,点 分别为线段 的中点 HBEFAB(I) 求证：平面 平面 ；/EF(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值；P(III)在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点的距离相等？请说明理由.AM,PHAF18. （本小题满分 13 分）已知函数 ,点 为一定点,直线 分别与函数 的图象和 轴()exf(0)Aa()xta()fxx交于点 , ,记 的面积为 .MNSt（I）当 时 ,求函数 的单调
8、区间；0a()t（II）当 时, 若 ,使得 , 求实数 的取值范围.2020()eSta19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 的菱:M21(0)xyab 60形的四个顶点.（I）求椭圆 的方程；（II）直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，求lABAB1(0,)2AOB（ 为原点）面积的最大值.CDBA主1 H E C P B A F 图 2 新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 5 -20. （本小题满分 13 分）设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数
9、之和为Amnmn负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. () 数表 如表 1 所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可） ； 表 1() 数表 如表 2 所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每A列的各数之和均为非负整数，求整数 的所有可能值； a()对由 个实数组成的 行 列的任意一个数表 ，mnmnA能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之 表 2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科）参
10、考答案及评分标准 2013.5一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C B C A B D 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分）三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 80 分)1 2 3 71 0 19 2 10 cba 11. (1,3)12 31;13 0,1 14; 2221aa新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 6 -15 （本小题满分 13 分）解：（I）因为sin()04x所以 2 分,k
11、Z所以函数的定义域为 4 分 |+,4xkZ（II）因为 6 分22cosin()1fxx= (i)1sinco8 分 2i()4x又 的单调递增区间为 ，sinyx(2,)2kZk令 24k解得 11 分32xk又注意到+,4所以 的单调递增区间为 ， 13 分()fx3(2,)4kZk16. 解：（I）设至少一张中奖为事件 A则 4 分2()10.57PA(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 则 可以取 6 分5,04,1的分布列为 451P50%2p%p新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 7 -8 分所以 的期望为50%(52)
12、(452%(145)Epp11 分2.914所以当 时，即 12 分1.6450p8725所以当 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业13 分807217.解：（I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上PABCHAC所以 平面 ，所以 1 分HP因为在直角梯形 中， ， ，D90B30，2BC4A所以 ， ，所以 是等边三角形，60BAC所以 是 中点， 2 分H所以 3 分/EP同理可证 F又 ,CBP所以平面 平面 5 分/EH（II）在平面 内过 作 的垂线 AA如图建立空间直角坐标系，则 ， ， 6 分(0,2)(0,23)P(,10)B因为 ，(,13)E(,)HE设平面 的
13、法向量为 PB,nxyz因为 ，(3,10)(,023)P所以有 ，即 ，Hnxyz FzyxHECPBA新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 8 -令 则 所以 8 分3,x,y(3,0)n10 分cos, 4|2HEn所以直线 与平面 所成角的正弦值为 11 分PB3(III)存在，事实上记点 为 即可 12 分EM因为在直角三角形 中， ， 13 分 HA12EAP在直角三角形 中，点PB4,FB所以点 到四个点 的距离相等 14 分E,OC18.解: (I) 因为 ，其中 2 分1()|e2tStata当 ， ，其中0a|t0t当 时， ，
14、 ，t1()e2tSt1()e2tS所以 ，所以 在 上递增， 4 分 t,当 时， ， ，0t1()e2tSt1()e2tS令 ， 解得 ，所以 在 上递增()0tt(St,1)令 ， 解得 ，所以 在 上递减 7 分 1)e2tSt1t)t,0综上， 的单调递增区间为 ，(t(0,)(,的单调递增区间为 )St（II）因为 ，其中1()|e2ttata当 ， 时，a0,t1()e2tS因为 ，使得 ，所以 在 上的最大值一定大于等于00t(St0,2 e，令 ，得 8 分1()()e2tStta()t1ta新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试-
15、9 -当 时，即 时12a3a对 成立， 单调递增()()e0tStt(,2)t()St所以当 时， 取得最大值 2tSt21ea令 ，解得 ，1()eaea所以 10 分 3当 时，即 时23对 成立， 单调递增1()()e0tStta(,1)ta()St对 成立， 单调递减2t,2所以当 时， 取得最大值 1ta()St1()ea令 ，解得()e2Sln2a所以 12 分ln3综上所述， 13 分 19.解:(I) 因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2，:M21(0)xyab一内角为 的菱形的四个顶点,60所以 ,椭圆 的方程为 4 分31ab213xy(II)设 因为 的垂直平分线通过
16、点 ， 显然直线 有斜率，12(,)()AxyBAB(0,)2AB当直线 的斜率为 时,则 的垂直平分线为 轴,则0y1212,xy所以211111 1=|2|()(3)3AOB xSxy x因为 ，22111(3)(3)x所以 ，当且仅当 时， 取得最大值为 7 分2AOBS16|2xAOBS32当直线 的斜率不为 时,则设 的方程为0ykxt新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 10 -所以 ，代入得到213ykxt22(31)630kxkt当 , 即 224(9)0kt1t方程有两个不同的解又 ， 8 分12631ktx231xkt所以 ，2ytk又 ，化简得到 1210x2314kt代入 ，得到 10 分 4t又原点到直线的距离为 2|1tdk2222124(93)| tABkx所以2222()|=|131AOB kttSdk 化简得到 12 分 213(4)ABt因为 ，所以当 时，即 时， 取得最大值0t2t73kAOBS32综上， 面积的最大值为 14 分AOB20.（I）解：法 1： 422371237137000 改 变 第 列 改 变 第 行法 2： 1413723712370010 改 变 第 列 改 变 第 列
