1、 http:/ 海淀区高三年级第一学期数学期末练习试卷分析北京新东方 祁昱 孟祥飞随着期末考试的结束，高三的一轮复习也画上了一个句话。这里笔者对海淀期末试卷的部分试题将进行深入的解析，希望对各位同学有一定的帮助。整体来看海淀期末试题，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,考查数学传统的主干知识，和以往一样，其中 8,14,20 三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探索精神。部分试题有创新，突出思维品质的考查，笔者认为在一轮复习的结点处很好的检验了学生的复习质量。下面以理科试卷为例，对个别题目进行深入解析点评。一、选择 15 难度均不大，考查了复数，参数方程，向量，算法，平面几
2、何证明的基本知识。6.数列 满足 （ 且 ） ，则“ ”是“数列na11,nnar*,rNR01r成等差数列”的A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件点评：这个题目比较容易误选 C 选项，r=1 是数列 一定成等差数列，但是数列 成nana等差数列时，r=1 或 r= ，所以选择 A217. 用数字 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数03的个数为A. B. C. D. 141010872点评：此题考查了排列组合中基本计数原理。先采用分类计数，将“有且只有一个数字出现两次的四位数”按照包含“0”的个数分为：没有“0” ，
3、1 个“0”,2 个“0”三类；没有“0”为 ；1 个“0”为 ；2 个“0”为 ；最后得 108243AC31C32C8. 椭圆 的左右焦点分别为 ，若椭圆 上恰好有 6 个不同的2:(0)xyab12,F点 ，使得 为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是P12FCA. B. C. D.(,)31(,)(,1)31(,),32点评：此题作为选择题其实难度并不大，读题可以理解为 的等腰三角形明显|PF有两个，当点 P 在短轴端点即可； 和 的有四个；所以可知|21FP|21，又 所以 ，解得 ，但是cF2|1caa|1 ca13ehttp:/ 其实 为等边三角形，此时 P 只有两个，所以舍
4、去，21e12FP最后 D.1(,),32二、填空的 9,10,11 题难度不大，主要考察的是双曲线，数列以及二项式定理的基本知识12. 三棱锥 及其三视图中的主视图和左视图如图DABC 所示，则棱的长为_.B点评：此题考察将三视图和立体图形的关系，需要考生有一定的空间想象力以及将空间图形转化成平面图形的能力。本体的突破点在于主视图中间的一条实线，即三棱锥里 在平面 ACD 内的投影长为 4 的BD底边即 AC。左视图中长度为 4 的边为 CD，长度为 底边为点 B 到 AC 的高。主视图中的2中线可以推断底面三角形 ABC 为等腰三角形，AB=AC 且 BC=4.利用勾股定理可以求出22BD
5、C13. 点 在不等式组 表示的平面区域内，(,)Pxy0,31xy若点 到直线 的最大距离为 ，则,kx2_.k点评：此题考察的主要是线性规划和平面几何知识。首先画出线性可行域。由于直线是过定点(0,-1)斜率存在的直线，因此，此时直线是一条旋转的动直线。由最1ykx优解只可能在可行域的凸点处取得，因此，只有 3 个点（0,3） （1,2） （0,1）可能是最优解。通过图像可知，最大值应在(0,3)处取得，用点到直线距离公式可知2|31| 1kk14. 已知正方体 的棱长为 ，动点 在正方体 表面上运1ABCD1P1ABCD动，且 （ ） ，记点 的轨迹的长度为 ，则 _;Pr03P()fr
6、()2f关于 的方程 的解的个数可以为 _.（填上所有可能的值）.()fk点评：本题难度较高，主要考察的是对新定义的快速理解应用。题目中的函数 f 表示的是满足到正方体一点为定长的正方体表面的点的轨迹长度。第一空 即表示到点 A 距离为1()2fDABC22主234主http:/ 的点构成的曲线长。即三个面的半径为 0.5 的四分之一圆弧长度之和，即 。第二34问较难，考察根的个数，其实可以看成是函数 y=f(r)与 y=k 这条直线的交点。受 r 的范围影响，可以取极限和特殊值判断这个函数的草图。对于 f(r)的图象，当 r=0 时函数值为0，当 r= 时函数值为 0。当 r=1 和 r=
7、是，可以得出 ,此323()1(2)frf时满足条件的点的轨迹都为三个半径为 1 的四分之一圆弧长之和。因此 f(r)的图象可以化成如下：用一条平行于 x 轴的直线截这个曲线的交点可以为 0,2,3,4.3、解答题 15,16,17 难度均不大，考查也是传统的三角函数，统计和概率以及立体几何；其中 16 题（）以开放式的形式出现让人耳目一新，有些 2012 年文理概率题的感觉。18. （本小题满分 13 分）已知函数e().1axf（I） 当 时,求曲线 在 处的切线方程；1a()f0,()f（）求函数 的单调区间.()fx解：当 时， ， 1ae1axf2e()1xf又 ， ，(0)f(0)
8、2f所以 在 处的切线方程为 x, 2yx（II）2e(1)()axf当 时，0a2()0)fxhttp:/ |1x所以 的单调递减区间为 ()f (,)当 时，令 ，即 ，解得 0a()0fx(1)0ax1ax当 时， ，1所以 ()fx， f随 x的变化情况如下表：来源:学+科+网 Z+X+X+K(,1)1(,)a1(,)a()fx无定义 0AA极小值 A所以 ()fx的单调递减区间为 ， ，(,1)(,)a单调递增区间为 (,a当 时，0a1xa所以 ()f， f随 的变化情况如下表：x1(,)a1(,)a1(,)a)f0 无定义 (xA极大值 AA所以 ()f的单调递增区间为 ，1(,
9、)a点评：这个导数题目非常亲切，考查的是导数中相对容易入手的单调区间的分类讨论，导函数以一次函数为核心展开分类讨论学生也会感觉比较容易入手，但是并不代表这个题目简单，因为包含定义域 ，所以需要讨论极值点和定义域的位置关系，题目在入口比较1xhttp:/ （本小题满分 14 分）已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于2,E2:Cypx(2,0)lC两点（不同于点 ） ，直线 分别交直线 于点 .,AB,EABx,MN（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知 为原点，求证： 为定值.OMON解：（）将 代入 ，得2,E2ypx1所以抛物线方程为 ，焦点坐标为 2(,0)2（）设 ，
10、， ，21(,)yA2(,)yB(,)(,)MNxy设直线 方程为lxm与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得：2yx240y则由韦达定理得：1212,ym直线 的方程为： ，即 ，AE12yx12yx令 ，得 2x142My同理可得： 2Ny又 ，4(,)(,)mmOy12()4MNyhttp:/ ，即 为定值 OMNO2点评：这个解析几何题目可以说难度不大，但是极具水平。在常见的韦达联立的基础上，将条件包含了点坐标和直线方程，很好的检测出了学生对解析几何“到底要算谁”和“如何算”两个问题的掌握情况，在实际教学中发现，学生对解析几何普遍模板化学习比较严重，并不真正理解“到底要算谁”和“如何算”
11、，而此题出现的量较多，需要学生对题目有很深刻的理解才能合理演算得出最终结果。20. （本小题满分 13 分）已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称()fx(0,)()fxy0,)为“一阶比增函数” ；若 在 上为增函数，则称 为“二阶比增函()fx2fxy(, (fx数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为1. 2()已知函数 ，若 且 ，求实数 的取值范围；32()fxhx1(),f2()fxh()已知 ， 且 的部分函数值由下表给出，0abc1()f()fxabcabc()fdt4求证： ；(240dt()定义集合 2)|(,(0,)(
12、,fxkxfxk且 存 在 常 数 使 得 任 取 ,请问：是否存在常数 ，使得 ， ，有 成立？若M()fx()M存在，求出 的最小值；若不存在，说明理由. 解：（I）因为 1(),fx且 2()f，http:/ 在 是增函数，所以 而2()fxghx(0,)0h在 不是增函数，而2()fhx(,) 2()1x当 是增函数时，有 ， 所以当 不是增函数时，()0h()h0h综上，得 0() 因为 1()fx，且 abc所以 ，)4=abc所以 ，()fdabc同理可证 ，4()f4()cftab三式相加得 ()()()2,fabfcdtc所以 240dt因为 所以,ab(),a而 ， 所以0
13、d所以 (24)0dt() 因为集合 2(|),(0,)(,fxkxfxk且 存 在 常 数 使 得 任 取 ,所以 ()fx，存在常数 ，使得 对 成立k()fx(0,)我们先证明 对 成立0(,)x假设 使得 ，0(,)x0f记 20)fm因为 是二阶比增函数，即 是增函数.()fx2()fxhttp:/ 时， ，所以0x022()fxfm2()fx所以一定可以找到一个 ，使得1021fk这与 对 成立矛盾 ()fxk(,)对 成立0所以 ()f， 对 成立()0fx(,)下面我们证明 在 上无解 ,假设存在 ，使得 ，20x2()0fx则因为 是二阶增函数，即 是增函数()f 2(f一定
14、存在 ， ，这与上面证明的结果矛盾 320x322()0fx所以 在 上无解()f(,)综上，我们得到 fx， 对 成立()0fx(,)所以存在常数 ，使得 ， ，有 ()fxM成立0M又令 ，则 对 成立，1()()fx()0fx(,)又有 在 上是增函数 ，所以 ，230,fx而任取常数 ，总可以找到一个 ，使得 时，有k0x0()fxk所以 的最小值 为 0 M点评：典型的北京特色，由于真正挑战此题的学生不多，研究此题的意义不大，但是在近来一二模的大轴题中，这道题算不上最难的题目。不过，绝大多数同学从考试策略的角度来讲，此题应该务必将第一问完成，基础好的学生可以力争一下二问，有志向数学满分的同学可以挑战第三问。
