1、2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷本试卷共 8 页，满分 100 分，考试时间 150 分钟。说明：本试卷中， 表示矩阵 的转置矩阵， 表示矩阵 的伴随矩阵，TA*A是单位矩阵， 表示方阵 的行列式， 表示矩阵 的秩。Er1、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 3 阶行列式 =2，若元素 的代数余子公式为12321aija（i,j=1,2,3)，则 【 ijA323A】A. B.0 C.1 D.212.
2、设 为 3 阶矩阵，将 的第 3 行乘以 得到单位矩阵 ，21E则 =【 】AA. B. C. D.22213.设向量组 的秩为 2，则 中 【 】31,321,A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设 3 阶矩阵 ,则下列向量中是 的属于特征值 的特46351AA2征向量为 【 】A. B. C. D.0110201215.二次型 的正惯性指数为 【 212321321 4),( xxxf 】A.0 B.1 C.2 D.32、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中
3、填上正确答案。错误、不填均无分、6.设 ，则方程 的根是 13)(xf 0)(xf7.设矩阵 ,则 = 02A*8.设 为 3 阶矩阵， ,则行列式 = 11)2(A9.设矩阵 , ,若矩阵 满足 ,则 = 4B0PBPA10.设向量 , , ,则 由 线性表出T)1(T)2(T)4(3321,的表示式为 11.设向量组 线性相关，TTTk),0(,)1(,)3(321 则数 k12.3 元齐次线性方程组 的基础解系中所含解向量的个数0321x为 13.设 3 阶矩阵 满足 ，则 必有一个特征值为 AEA14.设 2 阶实对称矩阵 的特征值分别为 和 1，则 215.设二次型 正定，22121
4、),(xttxf则实数 的取值范围是 t3、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16.计算 4 阶行列式 的值。310D17.已知矩阵 ，求 。0123aA1A18.设矩阵 ,且矩阵 满足 ,求 。10AXXAE319.设向量,TTTT kk)1(,)1,(,)2,(,)1( 231 试确定当 取何值时 能由 线性表出，并写出表示式。k2120.求线性方程组 的通解（要求用其一个特解和1320413xx导出组的基础解系表示） 。21.设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 与13xA201Bx可逆矩阵 ，使得 。P22.用正交变换将二次型 化为标准形，312321321),( x
5、xxf 写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题 7 分）23.设向量组 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：321,存在全不为零的常数 使得 。1,k0321k2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）1、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1.D 2.A 3.C 4.B 5.C2、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. 57. 018. 49. 23110. 21311. 12. 13. 214. E15. 0t13、计算题（本大题共 7 小题，每小题
6、9 分，共 63 分）16.解 = 310D310.3 分5031.9 分17.解 010100112323 aa.2 分010a.7 分从而 0101aA.9 分18.解 由 ,得 XAE3 EA3)(.2 分又由 可逆 010110EA.5 分由 ,可得X3)( )()(2EAXEA两边左乘 ,得到1EA 31201012102.9 分19 解 设 ， 321xx.2 分该线性方程组的增广矩阵为 2220111 kkA.6 分由于 能有 线性表出，则必有321,3)(Ar此时 ，方程组有唯一解0k 0,132x表示式为 1.9 分20.解 方程组的增广矩阵 001213210A.2 分可知
7、 4，方程组有无穷多解 )(r.4 分由同解方程组 4321xx求出方程组的一个特解 ,T)01,(*导出组的一个基础解系为 T)1,02(2.7 分从而方程组的通解为 TTTccc ),(),1()0,1( 221* 为任意常数） 2,(.9 分21.解 由条件可知矩阵 的特征值为 A2,132.2 分由 ，得 01210xxAEx.4 分对于 ，由线性方程组 求得一个特征向量为1)(xAET),(对于 ，由线性方程组 求得两个线性无关的特征2320)2(xAE向量为TT)1,0(,)1(32令 ,则 1),(321PBAP1.9 分22.解 二次型的矩阵 102.2 分由 0)2(1012AE故 的特征值为 ,32.4 分对于 ，求解齐次线性方程组 ，得到基础解系210)(xAT)1,0(3将其单位化，得 T)2,3.7 分令 ,则 为正交矩阵，2100),(321PP经正交变换 ，化二次型为标准形 321321yPx 21y.9 分4、证明题（本题 7 分）23.证 由于向量组 线性相关，故存在不全为零的常数 ，321,321,k使得0321kk.2 分其中必有 。否则，如果 ，则上式化为011 032k其中 不全为零，由此推出 线性相关，与向量组中任意两个向32,k32,量都线性无关的条件矛盾 .5 分类似地，可证明 0,32k.7 分
