1、 第 1 页 共 9 页 第 2 节 平面向量基本定理及其坐标表示【选题明细表】 知识点、方法 题号平面向量基本定理及其应用 2,4,13平面向量的坐标表示及运算 1,6,9,10共线向量的坐标表示 3,5,7,8综合问题 11,12,14,15基础对点练(时间:30 分钟)1.(2015 肇庆三模)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b 等于( C )(A)(3,7) (B)(3,9)(C)(5,7) (D)(5,9)解析:向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).2.(2015 泉州一模)若向量 a,b 不共线,则下列各
2、组向量中,可以作为一组基底的是( C )(A)a-2b 与-a+2b(B)3a-5b 与 6a-10b(C)a-2b 与 5a+7b(D)2a-3b 与 a-b解析:作为基底的两向量不共线,只有选项 C 中的两个向量 a-2b 与第 2 页 共 9 页 5a+7b 不共线,因此向量 a-2b 与 5a+7b 可以作为一组基底.3.(2015 高考四川卷)设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:由向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,可得 4x=26,解得 x=3.故选 B.4.(2016 西安校级模拟)已知
3、 D 是ABC 所在平面内一点, = +,则( B )(A) = (B) =(C) = (D) =解析:因为 = + ,所以 = -= + -= ( - )= .5.(2015 茂名二模)已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 ab,则 a+b 等于( A )(A)(-2,-1) (B)(2,1)第 3 页 共 9 页 (C)(3,-1) (D)(-3,1)解析:根据题意,向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 ab,则有 1x=2(-2),即 x=-4,即 b=(-4,-2),则 a+b=(-2,-1).6.(2015 安康三模)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,
4、=(2,4),=(1,3),则 等于( C )(A)(2,4) (B)(3,5)(C)(-3,-5) (D)(-2,-4)解析:因为 = = - ,所以 = - = -2 =(-3,-5).7.(2015 河北石家庄二模)已知向量 a=(2,1),b=(x,-1),且 a-b 与 b共线,则 x 的值为 . 解析:因为 a-b=(2-x,2),又 a-b 与 b 共线且 b=(x,-1),所以 2x+2-x=0,所以 x=-2.答案:-28.(2016 德阳校级月考)已知向量 =(k,11), =(4,5), =(5,8),且A,B,C 三点共线,则 k= . 第 4 页 共 9 页 解析:因
5、为向量 =(k,11), =(4,5), =(5,8),所以 =(4-k,-6), =(1,3),因为 A,B,C 三点共线,不妨设 = ,所以(4-k,-6)=(1,3),所以解得 k=6.答案:69.(2015 河南许昌模拟改编)在ABC 中,点 P 在 BC 上,且 =2 ,点Q 是 AC 的中点,若 =(4,3), =(1,5),则向量 的坐标为 .解析:如图.=3=3( + )=3( +2 )=3 +6( - )第 5 页 共 9 页 =6 -3=6(1,5)-3(4,3)=(-6,21).答案:(-6,21)能力提升练(时间:15 分钟)10.(2015 浮山县校级期中)已知四边形
6、 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则点 D 的坐标是( C )(A)(-9,9) (B)(-9,0)(C)(0,9) (D)(0,-9)解析:设 D 的坐标为(x,y),因为 A(-1,2),B(0,0),C(1,7),所以 =(1,-2), =(1-x,7-y),因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 = ,所以 1-x=1,7-y=-2,解得 x=0,y=9.11.(2015 岳阳模拟)在ABC 中,点 D 满足 = ,点 E 是线段 AD 上一个动点,若 = + ,则 t=(-1) 2+ 2的最小值是( C )(A) (B) (C) (D)第 6 页
7、 共 9 页 解析:如图,E 在线段 AD 上,所以存在实数 k 使得 =k ,0k1, = ,所以 =k( + )=k +( - )= + ,所以所以 t=(-1)2+ k2=(k-)2+ ;所以 k=时,t 取最小值 .12.ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),mn,则 cos A= . 解析:因为 mn,所以(3c-b)c=(a-b)(3a+3b),即 bc=3(b2+c2-a2),所以 =,所以 cos A= =.答案:第 7 页 共 9 页 13.(2015 运城期中)如图,ABCD 中,E,F 分别是
8、BC,DC 的中点,G 为交点,若 =a, =b,试以 a,b 为基底表示 , , .解:根据图形得 = + =a-b;= + =b-a;= + ,因为 和 共线,所以存在实数 x 使 =x =x(a-b);所以-a+x(a-b)=(x-1)a-b,又 = + ,所以同样 =-a+(y-1)b;所以解得 x=,y=.所以 =-a-b.精彩 5 分钟1.(2016 遵义高三联考)在平面直角坐标系中,向量 n=(2,0),将向量n 绕点 O 按逆时针方向旋转后得向量 m,若向量 a 满足|a-m-n|=1,则第 8 页 共 9 页 |a|的最大值是( B )(A)2 -1 (B)2 +1(C)3
9、(D) + +1解题关键:注意利用数形结合思想求解.解析:依题意,m=(1, ),所以 m+n=(3, ),设 a=(x,y),又|a-m-n|=1,所以(x-3) 2+(y- )2=1.所以向量 a 的终点坐标(x,y)的轨迹是以(3, )为圆心,半径为 1的圆.所以|a|的最大值为圆心(3, )到原点的距离加上半径.所以|a|的最大值为 +1=2 +1.2.(2015 益阳一模)如图,在OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,若=x +y (x,yR),且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界),则 的取值范围是( C )(A), (B),(C), (D),解题关键:注意利用极端值(特值、特殊位置)突破解题思路.第 9 页 共 9 页 解:若 P 在线段 AB 上,设 = ,则有 = + = + = +( - ),所以 = ,由于 =x +y (x,yR),则 x= ,y= ,故有 x+y=1,若 P 在线段 MN 上,设 = ,则有 = ,由于在OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,则 =x +y =x +y (x,yR),则 x= ,y= ,故有 x+y=2,若 P 在四边形 ABNM 内(含边界),则 x0,y0,则 ,.
