1、1第三章 圆圆心角和圆周角的关系（第 2 课时） 一 教学任务分析本节共分 2 个课时，这是第 2 课时，主要研究圆周角定理的 2 个推论，并利用这些解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能：1掌握圆周角定理的 2 个推论的内容. 2会熟练运用推论解决问题.过程与方法1培养学生观察、分析及理解问题的能力.2在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点：圆周角定理的几个推论的应用.教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”二 教学设计分析本节课设计了七个教学环节：课前复习新课学习（一）推
2、论的应用（一）新课学习（二）推论的应用（二）方法小结作业布置.第一环节 课前复习活动内容：1.求图中角 X 的度数：2x= x= 2.求图中角 X 的度数： ABF=20， FDE=30x= x= 活动目的：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习 1 是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；练习 2 是复习定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.活动的注意事项：两个题目相对比较简单，关键在于引导学生学会看图，从图中看出圆心角和圆周角的一些关系.第 2 题的第 2 个图难度稍大，学生不易一眼看出个中关系，需要借助辅助线，连接 CF，把 x 分解为 2 个角
3、，使得问题简单解决，本题需要重点讲解，体现读图和应用的灵活性.第二环节 新课学习（一）活动内容：（1）观察图，BC 是 O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？3你能证明吗？首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（ BAC）然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（ BAC 是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.解：直径 BC 所对的圆周角 BAC=90证明：BC 为直径 BOC=180 （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）BOCA21（2）观察图，圆周角 BAC=90，弦 BC 是直径吗？
4、为什么？首先，让学生猜想结果；然后，再让学生尝试进行证明.解：弦 BC 是直径.连接 OC、 OB BAC=90 BOC=2 BAC=180（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）B 、 O、 C 三点在同一直线上BC 是 O 的一条直径（3）从上面的两个议一议，得出推论：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.几何表达为：直径所对的圆周角是直角；BC 为直径 BAC=90490的圆周角所对的弦是直径. BAC=90 BC 为直径活动目的：本环节的设置，需要学生经历猜想实验验证严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.活动的注意事项：
5、在（2）证明弦 BC 是直径的问题中，学生往往容易进入误区，直接连接 BC，认为 BC 过点 O，则直接说 BC 是直径，这样的说理是错误的，应该是连接 OB 和 OC， 再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接 BC，思路是先保证过点 O，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒.第三环节 推论的应用（一）活动内容： （1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？（2）如图， O 的直径 AB=10cm，C 为 O 上的一点， B=30，求 AC 的长.解AB 为直径 BCA=90在 Rt ABC 中，
6、 ABC=30，AB =10 521ABC活动目的：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第 1 题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.活动的注意事项：第 2 题练习中，涉及“在直角三角形中 30所对的直角5边等于斜边的一半”这个定理的使用，估计学生不容易想到应用这个定理，从而无法解决这个问题，让学生思考后，发现无法联系到本定理，则需要老师从旁适时提醒.第四环节 新课学习（二）活动内容： （一）如图，A ， B，
7、 C， D 是 O 上的四点，AC 为 O 的直径，请问BAD 与BCD 之间有什么关系？为什么？首先：引导学生进行猜想；然后：让学生进行证明.解：BAD 与 BCD 互补AC 为直径ABC=90,ABC=90ABC+BCD+ABC+BAD=360BAD+ BCD=180BAD 与 BCD 互补（二）如图，C 点的位置发生了变化，BAD 与 BCD 之间有的关系还成立吗？为什么？首先：让学生猜想结论；然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；最后：让学生利用所学知识进行严密证明.解：BAD 与 BCD 的关系仍然成立连接 OB，OD , （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）21B
8、AD1BC1+2=360BAD+ BCD=180126BAD 与 BCD 互补（三）圆内接四边形概念与性质探索如图，两个四边形 ABCD 有什么共同的特点？得出定义：四边形 ABCD 的的四个顶点都在 O 上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节，我们我们发现BAD 与BCD 之间有什么关系？推论：圆内接四边形的对角互补.几何语言：四边形 ABCD 为圆内接四边形BAD+ BCD=180（圆内接四边形的对角互补）活动目的：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节
9、，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论.活动的注意事项：在（二）的探索中，学生会陷入BAD 和BCD 所对圆心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.其次，在两个图形中四边形 ABCD 的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考.第五环节 推论的应用（二）活动内容： 如图，DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，A 与DCE 的大小有什么关系？让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节解： A= CDE四边形 ABCD 是圆内接四边形7 A+ BCD=180（圆内角四边形的对角
10、互补） BCD+ DCE=180 A= DCE活动目的：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用.活动的注意事项：个别学习能力低下的学生会不懂得思考问题的方式和方法，让学生做的时候，适当关注这部分学生，作出及时引导.第六环节 方法小结活动内容： 议一议：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结.方法 1：解决问题应该经历“猜想实验验证严密证明”三个基本环节.方法 2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.活动目的：通过小结，让学生
11、回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言.第七环节 作业布置随堂练习 3.在圆内接四边形 ABCD 中， A 与 C 的度数之比为 4:5，求 C的度数.解：四边形 ABCD 是圆内接四边形 A+ C=180（圆内角四边形的对角互补）8 A: C=4:5 10895即 C 的度数为 100.习题 3.51.如图，在 O 中，BOD=80，求A 和C 的度数.解：BOD=80 4021BDA（
12、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）四边形 ABCD 是圆内接四边形DAB+ BCD=180BCD=180-40=140（圆内接四边形的对角互补）2.如图，AB 是O 的直径，C=15，求BAD 的度数.（方法一）解：连接 BCAB 为直径 BCA=90（直径所对的圆周角为直角）BCD+DCA=90，ACD=15BCD=90-15=75BAD= BCD=75（同弧所对的圆周角相等）（方法二）解：连接 ODACD=15 AOD =2ACD=309（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）OA= ODOAD =ODA又AOD +OAD +ODA=180BAD=753.如图，分别
13、延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边相交于点 E， F，若 E=40， F=60,求 A 的度数.解：四边形 ABCD 是圆内接四边形ADC+CBA=180（圆内接四边形的对角互补） EDC+ADC=180，EBF +ABE=180 EDC+ EBF=180EDC=F+ A,EBF= E+ A F+ A+ E+ A=180 A=404.如图， O1 与 O2 都经过 A， B 两点，且点 O2 在 O1 上，点 C 是弧 AO2B上的一点（点 C 不与 A， B 重合） ，AC 的延长线交 O2 于点 P，连接AB， BC， BP.（1）根据题意将图形补充完整；（2）当点 C 在弧 AO2B 上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）解：大小不变的角有：ACB APB10BCP三 教学设计反思1.根据学生特点灵活应用教案本教案的编写，学生的能力是相对较高的，因此课堂的容量会比较大，如果碰到学习能力不足的学生群体，则要根据实际情况进行调整，可以把第三环节的应用减少为一道题目，或者合并到第五环节两个应用一起进行.2.让学生有充分的探索机会，经历猜想，实验证明，严密证明的环节学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了，因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量，验证猜想，最后再进行严密的几何证明.
