1、7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当 B 0 时，Ax ByC0 表示直线Ax ByC 0 的 ；Ax ByC0 表示直线 AxBy C0 的 .(2)当 B 0 时，Ax ByC0 表示直线Ax ByC 0 的 ；Ax ByC0 表示直线 AxBy C0 的 .2.线性规划(1)不等式组是一组对变量 x，y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x，y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.ZAxBy 是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为 .由于 ZAxBy 是关于 x，y 的一次解析式，所以又可叫做 .另外注意：线性约束条件除了用一次
2、不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x ，y) 叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 .其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的 .线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).设 ，画出直线 l0.观察、分析、平移直线 l0，从而找到最优解 .最后求得目标函数的 .(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建
3、立数学模型，即根据题意找出条件，确定 函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即 ，在可行域内求得使目标函数 .自查自纠：1.(1)上方区域 下方区域 (2)下方区域 上方区域2.(1)目标函数 线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解 可行域 最优解(4)线性约束条件画出可行域 z0最大值或最小值(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1) 在区域 xy10 内B.点(0，0)在区域 xy10 内C.点(1，0)在区域 y2x 内D.点(0，0) 在区域 xy0 内解：将(0，0) 代入 xy 0，成立.故选 D.不等式 x2y60 表示的区域在直
4、线x2y60 的( )A.左下方 B.左上方C.右下方 D.右上方解：画出直线及区域范围知 C 正确.故选 C.( )若变量 x，y 满足约束条件2014湖 北则 z2xy 的最大值是( )x y 4，x y 2，x 0， y 0， )A.2 B.4 C.7 D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线 y2xz 经过点 A(3，1) 时， z 取最大值，且为 7.故选 C.点 在直线 2x3 y60 的上方，( 2， t)则 t 的取值范围是 .解： 在 2x3y 60 的上方，则 2( 2，t)3t6 0，解得 t .故填 .( 2)23 t|t 23不等式组
5、表示的平面区域内x 0，y 0，4x 3y 12)的整点( 横坐标和纵坐标都是整数的点 )共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1 ，2)，(2，1)，共 3 个，故填 3.类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域( )记不等式组2013大 纲所表示的平面区域为 D，若直线x 0，x 3y 4，3x y 4)ya( x 1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是_.解：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线 ya(x1)恒过定点 C(1，0) ，由图并结合题意易知 kBC ，k AC4，要使直线12ya( x 1)与平面区域 D 有公共点，则 a4.故12
6、填 .12， 4点拨：关于不等式组所表示的平面区域(可行域) 的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点 O(0， 0)为特殊点； 这里的直线 ya(x1) 是过定点( 1，0)且斜率为 a 的直线系.注意：含一个参数的直线方程都可看成有一个定元素的直线系.( )不等式组2014安 徽表示的平面区域的面积为x y 2 0，x 2y 4 0，x 3y 2 0)_.解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|2 ，C 点坐标(8 ， 2)，S ABC S ABD S BCD 2(22) 4. 12故填 4.类型二 利用线性规划求
7、线性目标函数的最优解( )若变量 x，y 满足约束条2014广 东件 且 z2x y 的最大值和最小值分y x，x y 1，y 1， )别为 m 和 n，则 mn( )A.8 B.7 C.6 D.5解：作出可行域(如图阴影部分所示 )后，结合目标函数可知，当直线 y2xz 经过点 A 时，z的值最大，易得 A(2，1) ，则mz max2213.当直线 y2x z 经过点 B 时，z 的值最小，易得 B(1， 1)，则 nz min2(1) 13.故 mn6.故选 C.点拨：可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数 z2 xy，求出最大值 3 与最小值3，从而得到相应范围.若线性规划的可行域
8、不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 z 的大小变化，得到最优解.设 x，y 满足 则2x y 4，x y 1，x 2y 2， )zxy ( )A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由 zxy ，得 y xz，令 z0，画出 yx 的图象，当它的平行线经过 A(2，0)时，z 取得最小值为 zmin202，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，yxz 向右上方移动时，zxy 也趋于无穷大，所以
9、zx y 无最大值，故选 B.类型三 含参数的线性规划问题(1)若不等式组 所表示x 0，x 3y 4，3x y 4)的平面区域被直线 ykx 分为面积相等的两部分，43则 k 的值是( )A. B. C. D.73 37 43 34解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线 ykx 只需经过线段 AB 的中点 D43即可，此时 D 点的坐标为 ，代入可得 k .故(12，52) 73选 A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组(a 为常数) 所表示的平面区域的面x y 1 0，x 1 0，ax y 1 0)积等于 2，则 a 的值为( )A.5 B.1 C.2
10、D.3解：如图可得阴影部分即为满足 x10 与xy10 的可行域，而直线 axy10 恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0 ，1) 旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为ABC，因为ABC 的点 A 和 B 的坐标分别为 A(0，1)和 B(1，0) ，且 SABC 2，设点 C 的坐标为 C(1，y)，则1y2y4，将点 C(1，4)代入12axy10 得 a3.故选 D.点拨：此类问题综合性较强，注意到ykx ，axy 10 都是含参数且恒过定点的43直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：参数的几何意义；条件的合理转化.(1)若 x，y
11、满足约束条件目标函数 z ax2y 仅在点(1 ，0)x y 1，x y 1，2x y 2. )处取得最小值，则 a 的取值范围是( )A.(1， 2) B.(4，2)C.(4，0 D.(2，4)解法一：zax2y 的斜率为 ，目标函数在a2点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率 满足：a21 24a2，所以参数 a 的取值范围a2是(4， 2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为 A(1，0) ， B(3，4)，C(0 ，1) ，由于目标函数的最小值仅在 A 点处取得，zA a，z B3a8，z C2，依题意，zA az B3a8，z Aaz C2，所以参数 a 的取值范围是(4，
12、2)，故选 B.(2)( )若变量 x，y 满足约束条件2014湖 南且 z2x y 的最小值为6，则y x，x y 4，y k， )k_.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k，k )，(4 k，k)，(2，2) ，且可行域如图，则 k2.最小值在点( k，k )处取得，3k6，得 k2.故填 2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知 当 x，y 取何2x y 2 0，x 2y 4 0，3x y 3 0. )值时，x 2y 2 取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分 )，可行域是封闭的ABC (包括边界) ，由 得顶点x 2y 4
13、 0，3x y 3 0，)A(2， 3)，同理可得 B(0，2)， C(1，0) ，因为 x2y 2是可行域内一点 P(x，y) 到原点的距离的平方，所以，当 P(x，y) 和 A(2，3)重合时，(x 2y 2)max2 2 3213 ，显然，原点到直线BC：2xy20 的距离 d 最小，这里 d ，(x 2y 2)|20 0 2|22 12 25min d2 ，45此时点 P 的坐标满足 即点 P 的坐标为 P2x y 2 0，x2 y2 45，) x 45，y 25，).(45，25)综上可知，当 x2，y 3 时，x 2y 2 取得最大值，最大值是 13；当 x ，y 时，x 2y 2
14、 取得最45 25小值，最小值是 .45点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a2b 2 取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程 f(x)x 2ax2b0 的一个根在(0 ，1)内，另一个根在(1，2) 内，求：(1) 的值域；b 2a 1(2)(a1) 2(b2) 2 的值域.解：由题意知 f（0） 0，f（1） 0，f（2） 0) b 0，a 2b 1 0，a b 2 0. )可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为 A( 3，1) ，B(2，0)，C(1，0)
15、.如图所示.(1)设 kbk( a1)2，则 k 表示可行b 2a 1域内一个动点 P(a，b) 和定点 Q(1，2)连线的斜率，因为 A(3，1)，C (1，0)，则kAQ ， kCQ1，k AQkk CQ， k1.14 14 的值域是 .b 2a 1 (14，1)(2)(a1) 2(b2) 2 表示可行域内一个动点P(a， b)和定点 Q(1，2)的距离的平方，显然，当动点 P(a，b) 和点 C(1，0)重合时距离最小，最小值为 2 ，而 P(a，b)和点 A( 3，1)重合时距离最大，2最大值为 ，所以(a1) 2 (b2) 2 的值域为17(8，17).类型五 线性规划与整点问题设
16、不 等 式 组所表示的平面区域x 0，y 0，y nx 3n （n N * ）)为 Dn，记 Dn 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点) 个数为 an(anN *)，则数列 an的通项公式为_.解：直线 ynx 3nn(x3)，过定点(3，0)，由 ynx 3n0 得 x3，又 x0，所以 x1 或 x2.直线 x2 交直线 ynx3n 于点(2，n )，直线 x1 交直线 ynx3n 于点(1，2n)，所以整点个数 ann2n3n.故填 3n.点拨：求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.设实数 x，y 满足不等式组若 x，y 为
17、整数，则 3x4yx 2y 5 0，2x y 7 0，x 0， y 0， )的最小值为( )A.14 B.16 C.17 D.19解：画出可行域如图，令 3x4yz，y x ，过 x 轴上的整点34 z4(1，0)，(2 ，0)，(3，0)，(4 ， 0)，(5 ，0)处作格子线，可知当 y x 过(4，1) 时有最小值( 对可疑34 z4点(3，2)，(2 ， 4)，(4，1)逐个试验) ，此时zmin3 44 16.故选 B.类型六 线性规划在实际问题中的应用某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩
18、 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩 )分别为 _，_.解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x，y 亩，总利润为 z 万元，则目标函数为z(0.554x 1.2x)(0.36y0.9y )x 0.9y.线性约束条件为即x y 50，1.2x 0.9y 54，x 0，y 0， ) x y 50，4x 3y 180，x 0，y 0. )画出可行域如图所示.作出直线 l0：x 0.9y0，向上平移至过点B(30，20) 时， zmax300.
19、9 2048.故填 30；20.点拨：对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品 5件和 B 类产品 10 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元，现该公司至少要生产 A 类产品 50 件，B 类产品 140 件，所需租赁费最少为元.解：设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该公司所需租赁费为 z 元，则z
20、200x 300y，甲、乙两种设备每天生产 A，B 两类产品的情况如下表所示：产品设备 A 类产品( 件) (50)B 类产品 (件) (140) 租赁费(元)甲设备 5 10 200乙设备 6 20 300则 x，y 满足的关系为即5x 6y 50，10x 20y 140，x 0，y 0， ) x 65y 10，x 2y 14，x 0，y 0. )作出不等式组表示的平面区域，当z200x 300y 对应的直线过两直线的交点 (4，5)时，目标函数x 65y 10，x 2y 14)z200x 300y 取得最小值为 2300 元.故填 2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)
21、 表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ByC 0 不经过原点，则把原点代入Ax ByC ，通过 AxBy C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式( 组) 表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点 Pi 逐一代入目标函数 ZPi mxn
22、y，比较各个ZPi，得最大值或最小值.1.不等式组 所表示的平面区域是 ( )x 2，x y 0)解：画出直线 x2，在平面上取直线的右侧部分( 包含直线本身)；再画出直线 xy 0，取直线的右侧部分(包含直线本身 )，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选 D.2.( )设变量 x，y 满足约束条件2014天 津则目标函数 zx 2y 的最小值x y 2 0，x y 2 0，y 1， )为( )A.2 B.3 C.4 D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为 y x z，由图可12 12知，当直线 y x z 经过点 (1，1)时，z 取得最12 12
23、小值 3.故选 B.3.设二元一次不等式组 所x 2y 19 0，x y 8 0，2x y 14 0)表示的平面区域为 M，则使函数 ya x的图象过区域 M 的 a 的取值范围是(a 0， a 1)( )A.1，3 B.2， 10C.2，9 D. ，910解：如图，阴影部分为平面区域 M，显然a1，只需研究过(1，9)，(3 ，8) 两种情形，a 19且 a38 即 2a9，故选 C.4.若不等式组 表示的平面区域x y 0，2x y 2，y 0，x y a )是一个三角形，则 a 的取值范围是( )A.a B.0a143C.1a D.0a1 或 a43 43解：如图，由条件可知，当直线 x
24、ya 在直线 xy 右上方时，可行域可以组成一个三角形，43即 a 时，可行域可以组成一个OAB；当430a1，可以组成一个三角形，所以 0a1 或a ，故选 D.435.( )x，y 满足约束条件2014安 徽若 zy ax 取得最大值的最优x y 2 0，x 2y 2 0，2x y 2 0. )解不唯一，则实数 a 的值为( )A. 或 1 B.2 或12 12C.2 或 1 D.2 或1解：作出可行域如图阴影部分所示，kAB2， kAC1.由 zyax 得 yaxz.当a0，直线 y axz 与直线 AB 重合时，z 取最大值 2，此时 a2；当 a0 时，直线 yaxz 与直线 AC
25、重合时，z 取最大值 2，此时 a1.故选 D.6.若实数 x，y 满足不等式组且 xy 的最大值为 9，则实数x 3y 3 0，2x y 3 0，x my 1 0)m( )A.2 B.1 C.1 D.2解：如图，令 zxy ，则 yxz，平移可知可行域只可能是ABC，且 xy 的最大值只在点 C 处取得，联立方程组 2x y 3 0，x my 1)得 C (若 m ，则与(3m 12m 1， 52m 1) 122xy30 平行，不可能)，(xy) max 9，解得 m1.故3m 12m 1 52m 1选 C.7.若点 P(m，3)到直线 4x3y10 的距离为4，且点 P 在不等式 2xy
26、3 表示的平面区域内，则 m.解：由题意可得 解得|4m 9 1|5 4，2m 3 3， )m3，故填3.8.若 x，y 满足 且 zy xx y 2 0，kx y 2 0，y 0， )的最小值为4，则 k 的值为_.解：由所给条件知目标函数取最小值4 时，对应的直线为 yx 4，由 xy20 且 y0 知，直线 kxy2 0 过点(4 ，0) ，k .故填 .12 129.变量 x，y 满足 x 4y 3 0，3x 5y 25 0，x 1. )(1)假设 z14x3y，求 z1 的最大值；(2)设 z2 ，求 z2 的最小值；yx(3)设 z3x 2y 2，求 z3 的取值范围.解：作出可行
27、域如图中阴影部分，联立易得 A，B(1，1)，C(5，2).(1，225)(1)z14 x3yy x ，易知平移 y x 至43 z13 43过点 C 时，z 1 最大，且最大值为 453214.(2)z2 表示可行域内的点与原点连线的斜率yx大小，显然直线 OC 斜率最小.故 z2 的最小值为 .25(3)z3x 2y 2 表示可行域内的点到原点距离的平方，而 2OB 2OA 2OC 229.故 z32，29 .10.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示：甲产品(每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天)煤(t)
28、9 4 360电( kwh) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨，获得利润 z 万元.依题意可得约束条件利润目标函数 z6x12y.9x 4y 360，4x 5y 200，3x 10y 300，x 0，y 0. )如图，作出可行域，作直线 l：6x 12y0，把直线 l 向右上方平移至 l1 位置，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z6x12y取最大值.解方程组 得 M(20，24).3x 10y 300，4x 5y 200)所以生产甲种产品
29、20t，乙种产品 24t，才能使此工厂获得最大利润.11.若关于 x 的实系数方程 x2axb0 有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，3) 内，记点( a， b)对应的区域为 S.(1)设 z 2ab ，求 z 的取值范围；(2)过点(5，1)的一束光线，射到 x 轴被反射后经过区域 S，求反射光线所在直线 l 经过区域 S内的整点( 即横纵坐标为整数的点 )时直线 l 的方程.解：(1)方程 x2axb0 的两根分别在区间(0，1)和(1 ，3)上的几何意义是：函数 yf(x)x 2axb 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1 ，3)内，由此可得不等式组即
30、 则在坐标平面f（0） 0，f（1） 0，f（3） 0) b 0，a b 1 0，3a b 9 0，)aOb 内，点(a，b)对应的区域 S 如图阴影部分所示，易得图中 A，B，C 三点的坐标分别为( 4，3)，(3，0)，( 1 ，0).(1)令 z 2ab ，则直线 b2 az 经过点 A 时，z 取得最小值，经过点 C 时， z 取得最大值，即zmin 11，z max2，又 A，B，C 三点不在可行域内，所以11z2.(2)过点(5，1)的光线经 x 轴反射后的光线所在直线必过点(5，1)，由图可知，区域 S 内满足条件的整点为(3，1)，所以所求直线 l 的方程为：y1 (x5) ，即 yx4.1 （ 1） 3 （ 5）( )当实数 x，y 满足2014浙 江时，1 axy4 恒成立，则x 2y 4 0，x y 1 0，x 1 )实数 a 的取值范围是_.解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)， ，(2 ，1) ，(1，32)都代入 1axy 4 得 1 a 4，1 a 32 4，1 2a 1 4.)解不等式组可得 1a .故填 .32 1， 32
