1、 函数及其表示方法一、目标认知学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法了解每种方法的优点在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法分段函数解析式的求法难点: 对函数符号 的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法二、知识要点梳理知识点一、函数的概念1函数的定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定
2、的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x) ，x A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域.2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函
3、数值的字母无关.3区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示区间表示：x|axb=a，b； ；.知识点二、函数的表示法1函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值.2分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况知识点三、映射与函数1.映射定义： 设 A、
4、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：AB.象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象.注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为 f(a).2.函数： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：A B 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的函数，记为 y=f(x).注意：(
5、1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合= 定义域，值域 =象集合.三、规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其
6、结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点 “和“最低点“ ，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用
7、求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式“函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时
8、要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1) ， 对应关系不同，因此是不同的函数；(2) 的定义域不同，因此是不同的函数；(3) 的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4) 定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则 ，其中核心是对应法则 ，它是函数关系的本质特征 .只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域
9、不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式 1】判断下列命题的真假(1)y=x-1 与 是同一函数；(2) 与 y=|x|是同一函数；(3) 是同一函数；(4) 与 g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3) 是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1) ； (2) ； (3) .思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1) 的定义域为 x2-20， ；(2) ；(3) .总结升华：使解析式有意义的常见形式有分式分母不为零；偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多
10、个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量 x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域：(1) ； (2) ； (3) .思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为 0 即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可解：(1)当|x-2|-3=0，即 x=-1 或 x=5 时， 无意义，当|x-2|-30，即 x-1 且 x5 时，分式有意义，所以函数的定义域是(-，-1)(-1 ，5)(5 ， +)；(2)要使函数有意义，须使 ，所以函数的定义域是 ；(3)要使函数有意
11、义，须使 ，所以函数的定义域为-2.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R；(2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数 f(x)=3x2+5x-2，求 f(3)， ，f(a)，f(a+1). 思路点拨：由函数 f(x)符号的含义， f(3)表示在 x=3 时， f(x)表
12、达式的函数值.解：f(3)=3 32+53-2=27+15-2=40；.举一反三：【变式 1】已知函数 .(1)求函数的定义域；(2)求 f(-3)， 的值；(3)当 a0 时，求 f(a)f(a-1)的值.解：(1)由 ；(2) ； ；(3)当 a0 时，.【变式 2】已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x)思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道 f(g(2)表示的是函数 f(x)在 x=g(2)处的函数值，其它同理可得解：(1)f(2)=22 2-32-25=-23；g(2)
13、=22-5=-1；(2)f(g(2)=f(-1)=2(-1) 2-3(-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2(-23)-5=-51；(3)f(g(x)=f(2x-5)=2(2x-5) 2-3(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x)=g(2x 2-3x-25)=2(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如 f(g(x)，里层函数就是 g(x)，外层函数就是 f(x)，其对应关系可以理解为 ，类似的 g(f(x)为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求
14、出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)： (1)y=x 2-2x+4； .思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x 2-2x+4=(x-1)2+33，值域为3，+)；(2) ；(3) ；(4) ，函数的值域为(-，1)(1 ，+).类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从 A 到 B 的映射，哪些不是? 如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R，B=R，对应法则 f：取倒数；(2)A= 平面内的三角形，B= 平面内的圆，对应法则 f：作三角形的外接圆；(3)A= 平面内的圆，B=平面内的三角形，对应法则 f：作
15、圆的内接三角形思路点拨：根据定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一” 解：(1)不是映射，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应，不满足 “A 中任意” ；若把 A 改为A=x|x 0 或者把对应法则改为“加 1”等就可成为映射；(2)是映射，集合 A 中的任意一个元素(三角形) ，在集合 B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合 A 中的任意一个元素(圆) ，在集合 B 中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足 “B 中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可
16、成为映射总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集 A、终止集 B 和对应法则 f 三个角度入手举一反三：【变式 1】判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9 ，对应法则A=N *， B=0，1，对应法则 f:xx 除以 2 得的余数；A=N ，B=0，1，2， f：xx 被 3 除所得的余数；设 X=0，1，2，3，4，思路点拨：判断是否构成映射应注意：A 中元素的剩余；“多对一” “一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：构成映射，构成映射，构成映射，不构成映射，0 没有象. 【变式 2】已知映射 f： AB ，在 f 的
17、作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取 xA，都有唯一的 yB 与 x 对应；(2)A 中的某个元素在 B 中可以没有象；(3)A 中的某个元素在 B 中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在 B 中有不同的象；(5)B 中的元素在 A 中都有原象；(6)B 中的元素在 A 中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6) 的说法是正确的，(2) 、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式 3】下列对应哪些是从 A 到 B 的映射？是从 A 到 B 的一一映射吗？是从 A 到B 的函数吗？(1)A=N，B=1，-1，f：xy=(-1) x；(2)A=N，B=N +，f ：x y=|x
18、-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：xy=|x| ；(5)A=N，B=Z ，f：xy=|x| ；(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.答：(1)、(4) 、(5) 、(6)是从 A 到 B 的映射也是从 A 到 B 的函数，但只有(6) 是从 A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从 A 到 B 的映射也不是从 A 到 B 的函数.6. 已知 A=R，B=(x，y)|x，y R，f ：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，f：x(x+1，x 2+1)，求 A 中的元素 的象，B 中元素 的原象. 解：A 中元素 的象为故 .举一反三：【变式 1】设 f：AB 是集合
19、A 到集合 B 的映射，其中(1)A=x|x0，B=R，f：xx 2-2x-1，则 A 中元素 的象及 B 中元素-1 的原象分别为什么？(2)A=B=(x，y)|xR，yR，f：(x ，y)(x-y，x+y) ，则 A 中元素(1，3)的象及 B 中元素(1，3) 的原象分别为什么？解：(1)由已知 f：xx 2-2x-1，所以 A 中元素 的象为；又因为 x2-2x-1=-1 有 x=0 或 x=2，因为 A=x|x0，所以 B 中元素-1 的原象为 2；(2)由已知 f:(x，y)(x-y ，x+y)，所以 A 中元素 (1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2 ，4)；又因为由 有
20、x=2，y=1 ，所以 B 中元素(1 ，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)；(2)若 f(x+1)=2x2+1，求 f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)f(2x-1)=x 2，令 t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x 2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1) 2+1即：f(x)=2x 2-4x+3.举一反三：【变式 1】(1) 已知 f(x+1)=x2+4x+2，求 f(x)；(2)已知： ，求 ff(-1).解：(1)( 法 1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(
21、x+1)-1f(x)=x 2+2x-1；(法 2)令 x+1=t，x=t-1 ，f(t)=(t-1) 2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x 2+2x-1；(法 3)设 f(x)=ax2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1) 2+b(x+1)+ca(x+1) 2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)-10，f(-1)=2(-1)+6=4 ff(-1)=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2) 配凑法；(3) 定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象. (1) ； (2) ；(3) ； (4) .思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1) ，图象为一条直线上 5 个孤立的点；(2) 为分段函数，图象是两条射线；(3) 为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知 ，求 f(0)，ff(-1)的值. 思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
