1、1一元微积分的几何综合应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积 (,),()()()baDXDxyabgxyfSdxyfgxd型 区 域 的 面 积 为 ;,f a由 曲 线 与 直 线 所 围 图 型 的 面 积 为 ;(,)() ()dcDYfcdfy型 区 域 的 面 积 为 ;,xfygySgd 由 曲 线 与 直 线 所 围 图 型 的 面 积 为 ; 21(,),()()()DDfdf型 区 域 的 面 积 为 ;2、旋转体体积 2(,),0()()()bxaXxyabgxyfxVfgxd 型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 =;)0yfga所
2、围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 =;2(,)(),()dycYDfcdfy型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 ; 2),xfxyyyVgd 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 ;(,)0()() ()byaXaxbgfxxfx型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 =;),0yfg所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 生 成 的 =;(,)(),2()dxcYDxyfycdVfgyd型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 ;),xfcdxy 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 ;22()() ()()baabkgfkfkxk绕 旋 转 一 周 的 =2), bay
3、fyxaxbyVfgdx所 围 图 形 绕 旋 转 一 周 的 ;()()2()()baDxyf x绕 旋 转 一 周 的 ;注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示 ,xy3、曲线的弧长 2:(),()btLaLftygtabdsftgtd的 弧 长 =;的 弧 长4、旋转体的侧面积 2:()0, 2()2()1()bxLayfxabxSfdsfxfdx 绕 轴 旋 转 一 周 的 侧 面 积 ;()(),()()xyfygDgyf ss绕 轴 旋 转 一 周 的 =222()11baff d2（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积
4、分域 对称于 轴时，令 是 关于 轴某一侧的部分，则有DxDx(,)2(,)(,)(,)(,0fyfydfyfyfxd连 续 若 关 于 为 偶若 关 于 为 奇上述性质可类似地应用于关于 轴的对称性与函数关于 的奇偶性x（3）当积分域关于原点对称时，若 ，则有),(),(yfxf .0),(Ddyxf（4）若将 互换，积分域 不变， （ 关于 对称）,xyD则 （轮换性）1()(,)(,)(,)2Dfdfxdffxd2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域 对称于 面时，令 是 关于 面某一侧的部分，则有oyoy(,)(,),(,)(,)(,0fxzfxzdvfxzfxyzfydv
5、连 续 若 关 于 为 偶若 关 于 为 奇上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将 互换，积分域 不变， ,xz则 （轮换性）()(,)(,)fydvfxzydvfyzxdv3、记忆重积分的算法对 ， (,),()()XDabgh型 区 域 ()(,),bhxagDfydfyd对 ，Yxyycd型 区 域 ()ycx对 ，(,),()()型 区 域 ()(,)cosinos,in)hgDDfdf fd特别地， 2 21 1(,)cr rd对 ， 为 在 面的投(,()(,)xyzDxyzhxy（ 疑 似 ） 柱 体 区 域 Dxoy影则 ，此为先二后一法(,)(,
6、),hgxyDfxyzdvfz对 绕 轴（ ）的旋转体区域 ， 为 在 处的横截面区域，0Fazbz则 ，此为先一后二法(,)(,)zbaDfxyzdvfxyd特别地，截面面积为已知的立体体积 ()()bbaaDxVAxdyzdv=对由球面与锥面所围成的区域 ，可利用球坐标法计算：2(,)(sinco,sin,cosinfxyzdvfrrrr3二、一元微积分的几何综合应用典型例题例 1、 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是()fx0x0x0xftd（B）（A）连续奇函数（B）连续偶函数（C）在 x=0 间断的奇函数（ D）在 x=0 间断的偶函数例 2、如图， 在 上有连续的
7、导数，则定积分 ( ) fx,a0axfdC（A）曲边梯形 ABOD 面积 （B）梯形 ABOD 面积（C）曲边三角形 ACD 面积 （D）三角形 ACD 面积例 3、设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所转成的平面图形， 分别3xya)0(xyxV,是 D 绕 轴和 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 ，则 x yV17a提示： ， 2530aVd 7302()6yVfd例 4、求曲线 的全长 .xty8sinS解： ，而 .3xsi)(32214y例 5、设 ，求其所示曲线与直线 及 轴， 轴围成的区域绕 轴旋21()txfedxy转一周生成的旋转体体积 V解： 11 122000()()()(
8、)Vffxfdfx1)e例 6、求曲线 和 所围图形的面积 及其绕极轴旋转一周的 .cos4r, SxV解： 24(1)22008(1cos)61DSdrd.8202sincsxVyr 0)(cos dttt例 7、某曲线以极坐标可表示为 ，(3)则其在 处的切线的直角坐标方程为 .(,)1,) 3xy则其斜渐近线的直角坐标方程为 .（注意仅 时， ）2yxx例 8、已知抛物线 上任一点 处的曲率半径为 ， 是该抛物线上yx(,)M()()s介于点 与 之间的弧长，求 (1,)A 223dxss解： ，32()1()(4)yxx211()4xxydd4， ，故有原式 ()()6dxxs2()6
9、41dxs9例 9、求曲线 与 轴所围成图形的面积 .0,sineyx A2e提示： .dAx0 dxenxn)1(0si tdetntnsi0例 10、设 是 内过点 的光滑曲线，当 时，曲线上()y,)2, x任一点处的法线都过原点，当 时， 满足 。求 的表达式.x()yy()y提示：当 时， ，即 ，得 ，有xyx2C2当 时，得 的通解为0012cosinCx由 在 处连续且可导，有yx1()0,1(0)yy故 .2,()cosin,xx例 11、设 是第一象限内连接点 的一段连续曲线， 为该曲()yf(,),AB(,)Mxy线上任一点，点 为 在 轴上的投影， 为坐标原点. 若梯形
10、 的面积与曲边CMOOCA的面积之和为 ，求 的表达式.B32)6f提示 ： ，当 时，得 ，131()(2)6xxfftd0x211()()fxfx则 因 ，由 的连续性知 .2(),f0)(f 2()f例 12、设 在 0, 1上连续,在 (0, 1)内大于零,且 ( 为常数) ,3a又曲线 与 所围成的图形 S 的面积值为 2,求 ,并问 为何值时,图xfyy x形 S 绕 轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.提示： ，则 ，由 2，有()32fa2()3fxaCx10()fdC4因此 ，体积为 ,2(4x216)33Va令 ,得 .又 ,故知当 时,体积最小.0)315)(V515)(
11、5例 13、曲线 与直线 及 围成一曲边梯形. 该图形xye,0xty绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为 , 侧面积为 , 在 处的底面积为 .x (Stxt()Ft()求 的值;()计算极限 .()St lim()tF提示： () 2200()1t tVydxy() .0limli()tt tFtli()()1LHtttttee例 14、设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 .对任意的yx, 0y，直线 ，曲线 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一0,t0ty周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 的表达式.5提示：由 得2200()1t
12、tStVydxy21yy由题意知 , ,则有 ，即ddt解得 ,由 ，得 ，从而 .2ln()tyCC()xe三、重积分计算典型例题例 1、计算 210xyde解： 原式 221y210()yed12e例 2、设区域 由曲线 围成，则 Dsin,x5Dxyd提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义例 3、设 是 的第 象限的部分，记 ，则k1|),(2kkxyI)(（B）（A） （B ） （C ） （D）01I02I03I04I提示：由轮换性知 由不等式性质知 13,24,例 4、求二重积分 ，其中()Dxyd 22()|1(),xyyx提示：由 得 ，22()sincor原式 3(sinco)
13、240si)dd 33488(is)(incos)3d注;令 ,则原式 1,XxYy540coirr例 5、设 ，计算 10yxD2maxdDI,yxy解：记 ， ，： 1:0y2:x3:1则 1 2 32 2()d()d()DDI y2113000d dxxx y23415()d6例 6、设 ，则 :sec,r22sin1cosDrr136提示：可化为直角坐标形式 （注： ， ）actyxatxy例 7、计算二重积分 ，其中 D 为由曲线 与xDeyd所围区域1yx【解】：如图， (,)|01,xyxyyO 1 x610limxxxDeydeyd1 112 20 00li lixxx xx
14、ed10lim2 xx xeed01lim2xx例 8、 设 为单调递减的可微函数，且 ， 为其反函数，若曲线()f (1)0f()gx与 及 轴所围区域绕 轴旋转一周的体积为 ，求 ()yf,yy1()0fxdgy解：由题意知， ，则102()xfd10()2xfd原式 1() () ()10000 ()fxfxfxgggyxfxd 1 122200例 9、连续函数 的定义域为 ，且 ，)(f),Dyftf 1)()sin()227其中 ,求 .,|,2ytxyD(xf提示：由二重积分奇偶对称性性质知， Ddxyf0)(sin2207有 ，得 .20 0()()1()1t tftdfdfd
15、()ftft xef2)(例 10、求 2601limsinttxt y 026 50 sinlimsin()lm6tyt ttdxd .2 40650s1lili38xtutdutt例 11、已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ，(,)fxy(1,)(,)0fyfx，其中 ，计算 (,)Dfya(,),0Dxy(,)xyDIfd解： 1100(,)()(,)xy xy xIfdfddf1 11100 00(,),xxf yx(,) ()(,)x xyfyff(,1)0111000,(,),fxdffyd(,)()fy Dxyxyda7例 12、设 f (r)在0 ，1上连续，则 0dlim12
16、22 yxnn yxf证明： ， 10201122d2 rfrfyx nnyn 设 ，则rfM0ma2 122 201 ddn nxy Mfxyr 注意到： ，于是由夹逼定理可知要证结论成立li()0n注： 是错误222221 lim0n nnxyfxyf 的例 13、 ，其中 由锥面 与平面 （ ）围成的区域.dvyx)(222xyza0【解 1】原式 .22 20 51()axyxyaddz 【解 2】原式 .2 230 0azxyzd a【解 3】原式 22224cos00(incosins)inarrrd.2340iadd51例 14、 ，其中 是由球面 所围成的闭区域.()xyzv1
17、22zyx【解 1】因区域 具有轮换性，则 2vdv故原式 22 201()()zxyxydv对 称奇 偶.2 221 110001xydddz 85【解 2】原式 .222 1212 30 001()zxyzxyz【解 3】原式 .dv 28.sin35drdr例 15、计算 ， 由平面 以及曲面 围成，其中 是由曲线2 8,zS绕 轴旋转所生成的旋转面.02xzy8解： 原式 .28 822 2019845zxyzddxyzd例 16、计算 ，其中 1I:xyz解： 1 222 22()()zdxyzd2 12 24cos 40000sin(sin(21)6drrdrr 例 17、求 上的
18、连续函数 ，(,)|1,xyzz,)fxyz使 (,)(,)3fzfxyv提示：令 ，则 (,)fxydvA 44,1zdA四、课后练习（一）一元微积分的几何综合应用1、设 在区间 上连续，则曲线 夹在 之间的平面图形()gxfm,ab(),fxg,ab绕直线 旋转而成的旋转体体积为（ ）yBAdxgfxfba )()(2 dxgfxfmba )()(2CgD2、设 连续，曲线 与 轴围成三块面积 ，其中 在 轴的下方，)(xf )(fy321,S31,在 轴的上方，若 ，则 （ ）S )(,2321 qpSqSbadxf)(CAqpBpCqp3、 与 轴、 轴围成图形的面积为 21()3xf
19、dy1ln34、求证：由平面图形 ， ，绕 轴旋转形成的旋转体体积bxa0)(0xfyy，并利用该题结论，计算 与 轴所围区域绕 轴旋转bafV)( 2)xy一周而成的旋转体体积（ ） 25、设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于 从 0 边到 的一段弧)(ea 2与极轴所围成的图形面积为 4(16、求摆线 一拱 的弧长 tyxsinco1)0t8S7、求心形线 的全长，其中 （ ）)(ar 0aa8、设 平面上有 及 ，若 表示1,yxyDtyxl:)0()(tS位于直线 左下方部分的面积，试求 .（ l dtS0)( x9） 210136)(230 xxdtSx9、点 是曲线 的一个拐点
20、， 、 分别是曲线 在 与 处的切线，其交点)2,(C1l2C)0,(2,3为 ，设函数 具有三阶连续导数，求 （ ）.4)(f 302(dxfxyl1)(fy2 0 2 3 4 x10、已知曲线 L 的方程21()4xtty（I）讨论 L 的凹凸性（凸） ；（II）过点 引 L 的切线，求切点 ，并写出切线的方程（ ） ；(1,0)0(,)xy1yx（III）求此切线与 L（对应 部分）及 x 轴所围的平面图形的面积（ ） 0x7311、设 ， ，求 的极值、单调区间和凹凸区间10fxtdt1f【 为极大值； 为极小值2()63f2()63f的单调增区间是 ；单调减区间是 .()fx(,),
21、()2(,)为凸区间； 为凹区间】,00,12、设 D 是位于曲线 下方、x 轴上方的无界区域，2(1,0)xay(I) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a) （ ）;2ln)(II) 当 a 为何值时，V(a) 最小 ? 并求此最小值（ ） e13、设 在 上连续，若由 ， 与 轴所围图形绕 轴f,1)(xfy0(,1txxx旋转一周所成的旋转体体积 ， ，则 3)(2tt2)9f()f3114、设 是正值连续函数， ，且对任何 ，曲线 在 上的)(xf 10f y,一段弧长总是等于由过 轴上点 且垂直于 轴的直线及 轴， 轴与这段弧围成的曲边xxx10梯形面积，求这条曲
22、线的方程 （ ）xey1215、设位于第一象限的曲线 过点 ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的()fx),交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分.(1) 求曲线 的方程（ ） ；()yf21y(2) 已知曲线 在 上的弧长为 ，试用 表示 的弧长sin,0ll()yfx（ ） s24l16、设非负函数 (x 0)，满足微分方程 ，当曲线 过原点()yx20xy()yx时，其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积（） 17617、请设计一条经过原点且介于曲线 与 轴之间的连续曲线 使其与曲线2xyC， 所围面积 等于由曲线 ， ，
23、 所围的面积 ，其中2xy0y1S2xy02S为曲线 上的任一点（ ） ),(0P2x293（二）重积分计算1、改变 次序.2sin0(,)xdfyd（ ）i 1sinarcsn0arc(,)y yfxd2、计算 .21 220101xI yln383、设 为由曲线 与 所围的区域，则 DyxxDed24、若 ，则 2,0|),(2yx 2y1095、设 为 上的连续奇函数，则 ()1,221()xyabdx2ab6、若 ，则 (,)02,Dxym(,)Dy19ln47、设 ，2|,1,2xyf则 |2(,)dxyf4ln138、设 为整个平面区域，则 0,xf，其 它 ， D()Dfyxdy14
