1、龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 1 页 共 9 页旋转证明一 利用旋转添加辅助线例 1. 如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的动点，且始终 .过点 A做045EFAPEF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. （3）若EFC 周长为 ，求正方形的面积.a变式 1：如图，点 M、N 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD 上，已知 AB=a，MCN 的周长为 2a，求证：MAN=451.如图，直角梯形 ABCD中，ADBC,ABBC,AD=2,BC=3,将腰 CD以 D为中心逆时针旋转 90到 ED，连结 AE、CE,则ADE 的面积是 。2.如
2、图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的动点，且始终满足 AF平分 ，BAE探究：BF、DE 与 AE的关系.5.如图 1，在正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF=45，则有结论 EF=BE+FD成立。（1）如图 2，在四边形 ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF 是BAD 的一半，那么结论 EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）若将（1）中的条件改为：在四边形 ABCD中，AB=AD，B+D=180，延长 BC到点 E，延长 CD到点 F，使得EAF 仍然是B
3、AD 的一半，则结论 EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系，并证明。A B A C D E F A B A DB A CB A EB A FB A A DMB CNAB CED龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 2 页 共 9 页例 2.在等边ABC 中，O 为ABC 内一点，连接 AO、BO、CO 且 AO=2,BO=1,CO= ,求AOB，BOC 的3度数分别是多少？2.如图，点 D为等边ABC 外一点， ,AD=4,CD=3，求 BD的长。03ADC3.在等边ABC 中，O 为ABC 内一点，连接 AO、BO、CO，有AOB ，BOC= .问：0
4、15012AO、BO、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。25（09 朝阳一模）. （本小题 8 分）图 图（1） 已知：如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC ，点 D、E 在斜边 AB 上，且DCE=45. 求证：线段 DE、 AD、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形 ABC 中，点 D、E 在边 AB 上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果 AB=10，求 BDAE 的值25（09 西城一
5、模） 已知： ， ，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、 D 两点落在直线2PA4BAB 的两侧.（1）如图，当APB= 45时，求 AB 及 PD 的长；（2）当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小.ABACADA龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 3 页 共 9 页EDB CA二 旋转型相似例 1.图 1是边长分别为 a和 b（ a b）的两个等边三角形纸片 ABC和 CDE 叠放在一起（ C与 C 重合）的图形（1）操作：固定 ABC，将 CDE 绕点 C按顺时针方向旋转 30，连结 AD， BE，如图 2；在图 2中，线段 BE与 AD之间具有
6、怎样的大小关系？证明你的结论（2）操作：若将图 1中的 CDE 绕点 C按顺时针方向任意旋转一个角度 ，连结 AD， BE，如图3；在图 3中，线段 BE与 AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论（3）根据上面的操作过程，请你猜想当 为多少度时，线段 AD的长度最大？是多少？当 为多少度时，线段 AD的长度最小？是多少？（不要求证明）EB CADDEB CA图 1 图 2 图 3例 2. 如图为等边ABC 和菱形 BDEF,DBF=60（1）观察图形 ,猜想 AF与 CD之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明. 1（2）将菱形 BDEF绕点 B按顺时针方向旋转,使菱形 BDEF的一边落
7、在等边ABC 内部,在图 中画出 2一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF 与 CD之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.练习1点 A、B、C 在同一直线上，在直线 AC 的同侧作 ABE和 CF，连接 AF，CE 取 AF、CE 的中点 M、N，连接 BM，BN， MN（1）若 E和 F是等腰直角三角形，且 09(如图 1)，则 MBN 是 三角形（2）在 和 中，若 BA=BE,BC=BF,且 ， （如图 2） ，则 是
8、A C B D F E 1A C B 2龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 4 页 共 9 页图图图2图NMA CEFB图图图3图MNEACFB图图图1)NMFAEB C三角形，且 BN .（3）若将（2）中的 A绕点 B 旋转一定角度,(如同 3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.3.填空或解答：点 B、C、E 在同一直线上，点 A、D 在直线 CE的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线 AE、BD 交于点 F。(1)如图，若BAC60，则AFB_；如图，若BAC90，则AFB_；(2)如图，若BAC，则AFB_(用
9、含 的式子表示)；(3)将图中的ABC 绕点 C旋转(点 F不与点 A、B 重合)，得图或图。在图中，AFB 与的数量关系是_；在图中，AFB 与 的数量关系是_。请你任选其中一个结论证明。4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：（2）如图，在梯形 ABCD中，ADBC，ACBD，垂足为 O。求证：AD 2+BC2=AB2+DC2。即四边形 ABCD是等平方和四边形。（3）如果将图中的AOD 绕点 O按逆时针方向旋转 a度（0a90）后得到图，那么四边形
10、ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由。龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 5 页 共 9 页三正方形中的旋转例 1.如图 1已知ABC 中，ABBC1，ABC90，把一块含 30角的直角三角板 DEF的直角顶点D放在 AC的中点上(直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF)，将直角三角板 DEF绕 D点按逆时针方向旋转。(1)在图 1中，DE 交 AB于 M，DF 交 BC于 N。证明 DMDN；在这一旋转过程中，直角三角板 DEF与ABC 的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出
11、其面积；(2)继续旋转至如图 2的位置，延长 AB交 DE于 M，延长 BC交 DF于 N，DMDN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图 3的位置，延长 FD交 BC于 N，延长 ED交 AB于 M，DMDN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。练习：1.已知AOB=90 0，在AOB 的平分线 OM上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与 C重合，它的两条直角边分别与 OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点 D、E当三角板绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时(如图 1)，易证：OD+OE= OC当三角板绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时，在图 2、图
12、 3这两2种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明2.（08 平谷一模 25） 在图中，把一副直角三角板 ABC和 EFG（其短直角边长均为 4）叠放在一起（如图） ，且使三角板 EFG 的直角顶点 G与三角板 ABC的斜边中点 O重合现将三角板 EFG绕点 O顺时针旋转（旋转角 满足条件： ） ，四边形 CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分o09（如图） （1）在上述旋转过程中，BH 与 CK有怎样的数量关系？四边形 CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）联结 HK，在上述旋转过程中，设
13、BH=x，GKH 的面积为 y，求 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH 的面积恰好等于ABC 面积的 ？若存在，求16出此时 x的值；若不存在，说明理由图 图HKE FG(O)BACEFG(O)BAC龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 6 页 共 9 页FEDCBANM FEDCBACBA图1FED CAB图2FED CAB3.（08 延庆一模 23） （1）已知：有两块完全相同的含 45角的三角板，如图 101，将 RtDEF的直角的=顶点 D放在 RtABC 斜边 AB的中点处，这时两块三角板重叠部分DBC 的面积是ABC
14、 的面积的 ；（2）如图 102，点 D不动，将 RtDEF 绕着顶点 D旋转 （0 90） ，这时两块三角板重叠部分为任意四边形 DNCM，这时四边形 DNCM的面积是ABC 的面积的 ；（3）若 RtDEF 的顶点 D在 AB上移动（不与点 A、B 重合） ，且两条直角边与 RtABC 的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是 RtABC 的面积的 ，如果存在，49请在图 103 中画出此时的图形，并说明点 D在 AB上的位置。如果不存在，说明理由。4.（08 东城一模 25） 已知ABC 中，AB=AC=3,BAC=90 0,点 D为 BC上一点，把一个足够大的直角
15、三角板的直角顶点放在 D处.（1）如图 1，若 BD=CD, 将三角板绕点 D逆时针旋转，两条直角边分别交 AB、AC 于点 E、点 F,求出重叠部分 AEDF的面积（直接写出结果） ； （2）如图 2，若 BD=CD, 将三角板绕点 D逆时针旋转，使一条直角边交 AB于点 E、另一条直角边交 AB的延长线于点 F,设 AE ，两块三角板重叠部分的面积为 ，求出 的函数关系式,并写出自变xy 与 x量 的取值范围； x（3）若 ,将三角板绕点 D逆时针旋转，使一条直角边交 AC于点 F、另一条直角边交射线BDCAB于点 E，设 CF= ，两块三角板重叠部分的面积为 ，求出 的函数关系，并写出自
16、变(1)xy 与 x量 的取值范围 x图101 图 102 图 103龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 7 页 共 9 页24（09 延庆一模）.如图 241，正方形 ABCD和正方形 QMNP， M是正方形 ABCD的对称中心，MN 交AB于 F，QM 交 AD于 E（1）猜想：ME 与 MF的数量关系（2）如图 242，若将原题中的“正方形”改为“菱形” ，且M =B，其它条件不变，探索线段 ME与线段 MF的数量关系，并加以证明（3）如图 243，若将原题中的“正方形”改为“矩形” ，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段 ME与线段 MF的数量关系，并说明理由（4）如图 244，
17、若将原题中的“正方形”改为平行四边 形，且M =B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出 ME：MF 的值。 （直接写出答案）四.倍长中线解决四边形旋转例 1.（08 北京）请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，ABCDEFGABE， ， PDF连结 若 ，探究 与 的位置关系及 的值PG， 60PCG小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决PHDA B EFCPG图 1D CGPA BEF图 224-1Q PNFEDC BMA24-3D EQPA NFBMCD24-2EQPNAFMBCFEQMDNPBA
18、C龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 8 页 共 9 页请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值；PGCPG（2）将图 1中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的BEFBEFABCD边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） 你在（1）中得到的两个结论是否发生AB变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图 1中 ，将菱形 绕点 顺时针旋转任意角度，原2(09)问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示） PGC解：（1）线段 与 的位置关系是 ； PG练习1.如图 1，操作：把正方形 CGEF的对角线
19、 CE放在正方形 ABCD的边 BC的延长线上（CGBC） ，取线段AE的中点 M。探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3步） ；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 DM的延长线交 CE于点 N，且 ADNE； 将正方形 CGEF绕点 C逆时针旋转 45（如图 2） ，其他条件不变；在的条件下且 CF2AD。附加题：将正方形 CGEF绕点 C旋转任意角度后（如图 3） ，其他条件不变。探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明。
20、2如图 24-1，已知点 D在 AC上， 和 都是等腰直角三角形，点 M为 EC的中点.ABCDE（1）求证： 为等腰直角三角形.BM（2）将 绕点 A逆时针旋转 ，如图 24-2， （1）中的“ 为等腰直角三角形”是否仍然E45BD成立？请说明理由.（3）将 绕点 A逆时针旋转 ，如图 24-3，13（1）中的“ 为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）. （4） 我们是否可以猜想，将 绕点 A任意旋转DE一定的角度，如图 24-4， （1）中的“ 为等腰直角三BM角形”均成立？（不用说明理由）.图 2BACEDFGMFMECGA DB图 3AB CDFGEM图 1龙文学校朝阳分校 课外辅导资料第 9 页 共 9 页
