1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学考生注意：1.答卷前，考生务 必在 答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有 道试题，满分 分，考 试时间 分钟.2150120一、填空题（本大题满分 分）本大题共有 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 分，否则一律得零分）48 41、若 ，则 .tantan32、设抛物线的顶点坐标为 ，准线方程为 ，则它的焦点坐标为 .0,21x5,03、设集合 ,集合 ，若 ,则 .log,5AbaB,2BA1,24、设等比数列 的公比 ，且 ,则 .naN2q38.lim531nna5、设奇函数 的定义域为
2、 ，若当 时， 的图像如右图,xf5,0xxf则不等式 的解是 .06、文已知点 和向量 ，若 ，则点 的坐标为 .,1A2,3aaAB5,4理已知点 ，若向量 与 同向， ，则点 的坐标为 .2132B,7、文当 满足不等式组 时，目标函数 的最大值为 .yx,834yxyxk6理在极坐标系中，点 到直线 的距离 .,4M:2cosin4ld2158、文圆心在直线 上的圆 与 轴交于两点 ，则圆 的方程为 .2xCy2,0,BAC2235xy理圆心在直线 上的圆 与 轴交于 ，则圆 方程 .70y9、若在二项式 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)10 411
3、0、若函数 在 上为增函数,则实数 的取值范围是 .2bxafba,0ab且11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质.12、若干个能唯一确定一个数列的量我们称为该数列的基本量，设 是公比为 的无穷等比数列，nq下列 的四个量中，一定能成为该数列“基本量”的是第、组.（写出所有符合要求的组号）n 与 与 与 与1S22a3S1anna（其中 为大于 的整数， 为 的前 项和）n二、选择题（本大题满分 分）本大题共有 题，每题都给出代号为 、 、 、 的四个结论，其中有且仅有164ABCD一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后
4、的圆括号内，选对得 分，不选、选错或者选出的代号超过4一个（无论是否都写在圆括号内）一律得零分.13、在下列关于直线 与平面 的命题中,真命题是( )ml, B若 且 ，则 若 且 ，则AlBll若 且 ，则 若 且 ，则 CDm14、理 是周期为 的函数，当 时 ，则 的解集为xfy22,0x2sinxf1f（ ）CAZk,3BZk,35x,2Dx,1文三角方程 的解集为（ ）1sinx CAZkx,32BZkx,352C, D,115、若函数 的图像可由函数 的图像绕坐标原点 逆时针旋转 得到，则 ( )xfy1lgxyO90xfAA10B0Cx0Dx16、某地 年第一季度应聘和招聘人数排
5、行榜前 个行业的情况列表如下245若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )B计算机行业好于化工行业 建筑行业好于物流行业AB机械行业最紧张 营销行业比贸易行业紧张CD三、解答题（本大题满分 分）本大题共有 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。86617、 （本题满分 分）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位， ，121aiazizi 2,51 Ra若 ，求 的取值范围.2z参考解答：由题意得 ，于是 ， ，153izi 21244zi13z由 ，得 ，因此实数 的取值范围为 .24a2870aa7a18、 （本题满分 分）某单位用木料
6、制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 (单位： )的矩形，1 yx,m上部是等腰直角三角形，要求框架围成总面 积 ，问 分别多少时用料最省？28m(精确到 )m01.参考解答：由题意得 ，所以 ，182xy284042xyx于是框架用料长度为 ，3162l行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易应聘人数 21832146750628行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工招聘人数 460981743当 ，即 时等号成立，此时 .32x16482322.34,28xy因此当 为 ， 为 时，用料最省.4my19、 （本题满分 分）本题共有 个小题，第 小题满分 分，第 小题满分 分.116
7、28函数 定义域为 ， 定义域为xf32Axaxg1l 1B求 ；A若 ，求实数 的取值范围.Ba参考解答：由 ，得 ，所以 或 ，即 .3201xx1x,1,A由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 .a20a2a2,1Ba因为 ，所以 或 ，即 或 ，而 ，所以 或 .BA2a1因此当 时实数 的取值范围为 .1,220、文（本题满分 分）本题共有 个小题，第 小题满分 分，第 小题满分 分.14628如图，直线 与抛物线 交于 两点，xy24812xyBA,线段 的垂直平分线与直线 交于点 .AB5Q求点 的坐标；Q当 为抛物线上位于线段 下方（含点 ）的动点时，PAB,求 面积的最大值.O参
8、考解答：解方程组 ，得 或 ，即 ， ，从而 的中点为 .2148yx12y84x,2A8,4BA2,1M由 ，得线段 的垂直平分线方程为 ，令 ，得 ，所以 .1ABk 1yx5yx5,Q直线 的方程为 ，设 . ，因为点 到直线 的距离为OQ0xy2,48Px52OQPO，所以 .221483d 21836PSdx因为 为抛物线上位于线段 下方的点，且 不在直线 上，所以 或 .PAB448x因为函数 在区间 上单调增，且当 时， ；23yx4,8x2当 时 .所以当 时， 的面积取到最大值 .896xOQ59630120、理（本题满分 分）本题共有 个小题，第 小题满分 分，第 小题满分
9、 分.1421628已知二次函数 的图像以原点为顶点且过点 ，反比例函数xfy11,xfy2的图像与直线 的两个交点间距离为 ， ，8fxf2求函数 的表达式；f证明：当 时,关于 的方程 有三个实数解3aaxf参考解答：由已知，设 ，由 ，得 ，所以 .211fx1f121fx设 ，它的图像与直线 的交点分别为 ，20kf y ,AkBk由 ，得 ， .因此 .8AB28fx28fx证法一：由 得 ，即 .fxa2a2a在同一坐标系内作出 和 但是大致图像，其中 的图像是以坐标轴2fx23fx 2fx为渐近线，且位于第一、第三象限的双曲线， 的图像是以 为顶点，开口向下的抛物线.3f280,
10、a因此， 与 的图像在第三象限有一个交点，即 有一个负数解.又因为 ，2fx3f fxf24f，所以当 时，在第一象限 的图像上存在一点 在384faa3f 3,f2fx图像上方.所以 与 的图像在第一象限有两个交点，即方程 有三个实数解.2fx3f axf证法二：由 ，得 ，即 ，得方程的一个解 .f 2880xa1方程 可化为 ，由 ， 得8xa00ax342， ，因为 ， ，243243 20x3所以 ，且 ，若 ，即 ，21x2x124aa则 ， ，得 或 ，这与 矛盾，43aa403所以 ，故原方程有三个实数解.121、 （本题满分 分）本题共有 个小题，第 小题满分 分，第 小题满
11、分 分，1631426第 小题满分 分.3如图 是底面边长为 的正三棱锥， 分别为 上点，ABCPFED,PCBA,截面 底面 ，且棱台 与棱锥 的棱长和相等DEFABC（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）证明： 为正四面体若 ，求二面角 的大小； 21设棱台 的体积为 ，是否存在体积为 且各棱长均相等的平行ABCVV六面体，使得它与棱台 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出EF这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.参考解答：因为棱锥 与棱台 的棱长和相等，所以 ，ABCPABDEFDEFPDEF，所以 为正四面体.60DECP取 中点 ，连接 .因为 ， ，所以 平面 ，
12、M, MBABCAMBC，则 为二面角 的平面角.由知， 的各棱长均为 ，所以 ，132由 是 的中点，得 ，所以 .PA3sinAD3arcsin存在满足条件的直平行六面体.棱台 的棱长和为定值 ，体积为 .BCEF6V设直平行六面体棱长均为 ，底面相邻两边夹角为 ，则该六面体棱长和为 ，体积为 .121261sin8V因为正四面体 的体积为 ，所以 ， ，可知 .ABCP201V08arc故构造棱长均为 ，底面相邻两边夹角为 的直平行六面体即满足要求.128arcsin22、文（本题满分 分）本题共有 个小题，第 小题满分 分，第 小题满分 分，第 小题满分 分.83162438若 的方程
13、为 ，点 及 ，求点 的坐标；（只需写出一个）C,92nyx0,3P3S3P若 的方程为 ，点 ，对于给定的自然数 ， p1n证明： 成等差数列；2221,.,xn若 的方程为 ，点 ，对于给定自然数 ，当公差 变化时，0bayx,1ad求 的最小值.nS文参考解答： ，由 ，得 .由 ，219aOP313622a239aOP2319xy解得 ，所以点 的坐标可以为 .230xy30,对每个自然数 ， ，由题意 ，及 ，k1n21kPd21kkypxd得 ，即 ，2kkxpdkxp所以 是首项为 ，公差为 的等差数列.2221,.,xn2（解法一）原点 到二次曲线 上各点的最小距离为 ，最大距
14、离为 ，O2:10yCabba因为 ，所以 且 ，所以 .21aP0d221nOPnd201dn因为 ， ，所以 在 上递增，3nSa,0a故 的最小值为 .nS2221nabnba（解法二）对每个自然数 ，由 ，解得 ，k21kxykdab21kbdya因为 ，得 ，所以 ，以下与解法一相同.20kyb201ad01n22、理（本题满分 分）本题共有 个小题，第 小题满分 分，第 小题满分 分，第 小题满分 分.8362834设 是二次曲线 上的点，nyxPyxP,.,21 N,3C且 ， 构成了一个公差为 的等差数列，2aO2.aO0d其中 是坐标原点，记 .nnS21若 的方程为 ， ，
15、点 且 ，求点 的坐标；（只需写出一个）C502yx30,153S3P若 的方程为 ，点 ，对于给定自然数 ，当公差 变化时，2ba,aPnd求 的最小值；nS请选定一条除椭圆外的二次曲线 及 上一点 ，对于给定的自然数 ，写出符合条件的点C1存在的充要条件，并说明理由.P,21理参考解答： ，由 ，得 ，由 ，210aO31325Sa2370aOP231570xy解得 ，所以 的坐标可以为 .236xy3P,0（解法一）原点 到二次曲线 上各点的最小距离为 ，最大距离为 ，12byaxba因为 ，所以 且 ，所以 .21aO0d221nOPand201dn因为 ， ，所以 在 上递增，3nS
16、,0故 的最小值为 .nS 2221bnbaa（解法二）对每个自然数 ，由 ，解得 ，k21kxykdab21kbdya因为 ，得 ，所以 ，以下与解法一相同.20kyb201ad01n（解法一）若双曲线 ，点 ，则对于给定的 ，点 存在的充要条件2:xyCb,PnnP,.21是 .因为原点 到双曲线 上各点的距离 ，且 ，所以点0dOC,ha21OPanP,.21存在当且仅当 ，即 .221nP0d（解法二）若抛物线 ，点 ，则对于给定的 ，点 存在的充要条件:ypx1,Pnn,.21是 .理由同上.（解法三）若圆 ，点 ，则对于给定的 ，点 存在22:aa10, nP,.21的充要条件是 .因为原点 到圆 上各点的最小距离为 ，最大距离为 ，且 ，401dnOCa10O所以 且 ，即 .22OP241dn
