1、1专题 2.3 基本初等函数【三年高考】1. 【2017 课标 1，理 11】设 x、 y、 z 为正数，且 235xyz，则A2 xb1.若 logab+logba= ， ab=ba，则 a= ， b= .【答案】 4 2【解析】设 log,1bat则 ，因为 252ttab，因此22,4.ba ba6 【2016 高考上海理数】已知点 (39)在函数 xf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的 反 函 数.【答案】 2log【解析】将点 39（ ， ） 带入函数 xf1a的解析式得 a2，所以 xf12，用 y表示 得2xl(y1)，所以 12log().7 【2016 高考天津理数】已
2、知函数 f（ x）=2(4,0l1)3ax（ a0,且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 |()|2f恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）（A） （0， 23 （B） ， 34 （C） 3， 2 4（D） 3， 2） 4【答案】C8 【2016 高考上海理数】已知 aR，函数 21()log()fxa.（1）当 5a时，解不等式 ()0fx；（2）若关于 x的方程 2log450a的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围；3（3）设 0a，若对任意 1,2t，函数 ()fx在区间 ,1t上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的取值范围.【解析】 （1）由 21log
3、50x，得 15x，解得 ,0,4x（2） 4aax， 241a，当 a时， 1x，经检验，满足题意当 3时， 12x，经检验，满足题意当 3且 4时， 14a，21x， 2 1是原方程的解当且仅当 10ax，即 2； x是原方程的解当且仅当20a，即 于是满足题意的 ,2综上， 的取值范围为 1,3,4（3）当 12x时， 12ax， 221loglogaaxx，所以 fx在 0,上单调递减函数 f在区间 ,t上的最大值与最小值分别为 ft， 1ft 221loglog1ft aatt即 210tat，对任意 ,2t成立因为 0a，所以函数 2ytt在区间 ,上单调递增， 1t时， y有最小
4、值3142，由 ，得 3a故 的取值范围为 2,39.【2015 高考四川，理 8】设 a， b 都是不等于 1 的正数，则“ 3ab”是“ logl3ab”的 （ ）（A）充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 3ab，则 1ab，从而有 log3lab，故为充分条件. 若 log3lab不一定有 1，比如. ,3，从而 b不成立 .故选 B.410.【2015 高考天津，理 7】已知定义在 R 上的函数 21xmf （ 为实数）为偶函数，记0.52(log3),log5,afbfcfm，则 ,abc 的大小关系为( )（A） c
5、（B） ab （C） （D） a 【答案】C11.【2015 高考浙江，理 18】已知函数 2()(,)fxabR，记 (,)Mab是 |(|fx在区间1,上的最大值.（1）证明：当 |2a时， (,)2Mab；（2）当 ， b满足 ,，求 |的最大值.【解析】 （1）由22()4fxb，得对称轴为直线 2ax，由 |，得|2a，故 f在 1,上单调， (,)ma|(1)|,|Mf，当 2时，由(1)4fa，得 max)12f，即 b，当 a时，由2f，得 (,)f，即 (,)，综上，当 |时，(,)Mb；（2）由 (,)2b得 |b， |1|(1)|2f，故|3a， |，由 |,0|a，得
6、|3ab，当 a， b时，|b，且 2|1|x在 ,上的最大值为 2，即 (,1)2M， |的最大值为3.【2017 考试大纲】1.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.5a(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.2.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模
7、型.(4)了解指数函数 (0,1)xya 与对数函数 log(0,1)yxa互为反函数.3.幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结 合函 数1232,yxyxyx的图像, 了解它 们的 变化 情况 .【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.纯基本初等函数的试题，一般考查指对数式的基本运算性质.【2018 年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以 5 种幂函数
8、为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托 ，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对
9、对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托 ，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同6时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测 2018 年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.【2018 年高考考点定位】高考对基
10、本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.【考点 1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】指数函数 (0,1)xya，当 a时，指数函数在 (,)单调递增；当 0a1时，指数函数在 ,)单调递减.对数函数 log(,)ayx，当 a1时，对数函数在 (0,)单调递增；当 a时，对数函数在 (0,)单调递减.幂函数 yx图象永远过（1,1） ，且当 0时，在 (,)x时，单调递增；当 0时，在(,)时，单调递减.【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或
11、指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和 1 比较；对数值往往和 0、1 比较.【考点针对训练】1. 【吉林省实验中学 2017 届高三第九次模拟】已知 ，则13213log,log0abc的大小关系是abc、 、A. B. C. D. acbac【答案】A72. 【天津市耀华中学 2017 届高三第一次校模拟】若 ， ， ，则（ 1ln2a0.83b132c）A. B. C. D. abcacbcbc【答案】A【解析】由题意可得： ，则： .0.8131ln0
12、,22cabc本题选择 A 选项.【考点 2】指数函数的图象和性质【备考知识梳理】y ax a1 00 时， y1； x0 时，01过定点(0,1) 在(，)上是增函数 在(，)上是减函数【规律方法技巧】1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数 a的范围，分 a1和 0两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解8【考点针对训练】1. 【云南省民族中学 2017 届高三适应性考试（三） 】设函数 的图象与 的图
13、象关于直线 对称，且 ，则 _【答案】 22 【山西省临汾第一中学 2017 届高三全真模拟】已知函数 ，则2,31xff4fA. B. C. D. 14186【答案】D【解析】 选 D.1-2024.6fffff【考点 3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质【备考知识梳理】1对数的定义:如果 (1)0xaNa 且 ，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 axlogN 其中a叫做对数的底数， 叫做真数2对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质 ()01a且 ： 0alog ； 1alog ； alogN(2)对数的换底公式:基本公式 lcb (a， c 均大于 0 且不等于 1， b0
14、)(3)对数的运算法则：如果 ()01且 ， M， ，那么 ()aaalogMNloglN ， aaalogllNog -， naalMlog (nR)3对数函数的图像与性质a1 01 时， y0；正负 当 00 当 x1 时， y4,得 g(3x+1)-2+g(x)-20.则 g(3x+1)g(x).3 x+1x，解得 .14原不等式的解集为 .本题选择 B 选项.1,42 【河北省石家庄市 2017 届高三冲刺】已知定义在 上的奇函数 ，当 时， Rfx0，则使得 成立的 的取值范围为_2log1fx21fxfx【答案】 |【解析】当 时， 在 单调递增，又因为 定义在 上的奇函数，所以0f0,fR单调递增，由 ，所以 ，得 。填 .fxR在 2xf121xx|x1【考点 4】二次函数的图象和性质【备考知识梳理】二次函数的图象和性质解析式 f(x) ax2 bx c(a0) f(x) ax2 bx c(a0)图象定义域 (，) (，)值域 4ac b24a ， ) ( ， 4ac b24a 单调性在 x 上单调递( ， b2a减；在 x 上单b2a， )调递增在 x 上单调递b2a， )减在 x 上单调( ， b2a递增
