1、指数函数及其性质教学设计教学目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质。2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象。3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质。二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等。2.通过探讨指数函数的底数 a0，且 a1 的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人。三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣。2.体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识。教学重点指数函数的概念、图象和性质。教学难点对底数的分类，
2、如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。教具 多媒体课件教学过程教学环节 师生互动 设计意图（一）创设情景问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？学生思考，教师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中与下列结论有关的信息，并简单板书学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y2 x通过问题引导学生思考我们本节课的教学重点，锻炼学生的主动思考能力总结归纳能力。问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的
3、84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用 x 表示,学生回答:： y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y0.84 x教师提问：你能发现关系式 y=2x， y0.84 x 有什么相同的地方吗？学生讨论，教师引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。通过两个生活中的例子引导学生发现规律，并总结出指数函数的剩留量用 y 表示。学生回答：这两个函数都是函数 y=ax 的具体形式.教师总结：函数 y=ax 是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型指数函数.定义。教师通过总
4、结归纳让学生学习到归纳重点的重要性。（二）讲解新课（一）指数函数的概念一 般 地 ， 函 数y=ax（ a 0， a 1）叫 做 指 数 函 数 ， 其 中 x是 自 变 量 ， 函 数 的 定 义域 是 R.问题：指数函数定义中，为什么规定“”如果不这10a且样规定会出现什么情况？教师结合引入，给出指数函数的定义学生思考，教师适时点拨，给出如下解释：(1)若 a0 会有什么问题？如 则在实数范围内相应的函21,xa数值不存在；(2)若 a=0会有什么问题？对于 , 无意义0xa(3)若 a=1又会怎么样？1x无论 x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.教师：为了避免上述各种情况的发生,所
5、以规定 且 0a1对于指数函数的定义的认识需要深入，通过问题启发学生思考什么样的函数才是指数函数，有助于帮助学生更好的理解定义，对判断指数函数有很大的优点。（三）例题讲解例 1：指出下列函数那些是指数函数：y=23x； y=3x1； y=x3； y=3 x；y=（4）x； y= x； y=4 ；2xy=xx；例 2：若函数是指学生回答：（1）只有第 6 个是指数函数.（2）a=2方 法 引 导 ： 指 数 函 数 的 形 式 就 是y=ax， ax 的 系 数 是 1， 其 他 的 位 置 不能 有 其 他 的 系 数 ， 但 要 注 意 化 简 以 后 的形 式 .有 些 函 数 貌 似 指
6、 数 函 数 ， 实 际 上却 不 是 ， 例 如 y=ax+k（ a 0， 且a 1， k Z） ； 有 些 函 数 看 起 来 不 像 指数 函 数 ， 实 际 上 却 是 指 数 函 数 ， 例 如y=a x（ a 0， 且 a 1） ， 这 是 因 为 它的 解 析 式 可 以 等 价 化 归 为y=a x=（ a 1） x， 其 中 a 1 0，巩固学生对指数函数定义的理解，通过例题检验学生对定义的理解情况。数函数，则 a= 且 a 1 1.如 y=23x 是 指 数 函 数 ， 因为 可 以 化 简 为 y=8x.要 注 意 幂 底 数 的 范围 和 自 变 量 x 所 在 的 部
7、 位 ， 即 指 数 函 数的 自 变 量 在 指 数 位 置 上 .（二） 指数函数的图像及性质在同一平面直角坐标系内画出指数函数与 的图xy2x1象教师提问：作图的基本方法是什么？学生回答：列表、描点、连线.学生动手自行完成x-3 -2 -1 0 0.5 1 22yx1锻炼学生的动手能力，更让学生直观地了解指数函数的图像。学生观察四个图像的特点总结图像的整体变化趋势。从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律？从图中我们看出 12()xxy与 的 图 象 有 什 么 关 系 ?通过图象看出 ()xxy与 的 图 象 关 于 轴 对 称 ,实质是 上的2y,点 (-)x,y1与
8、 =()上 点 关 于 轴 对 称 .问题 2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题 3：指数函数a1 0 a1图象学生通过观察图像总结性质。- - - - -xy0（ 0 且 1） ，xyaa当 底 数 越 大 时 ， 函 数 图象 间 有 什 么 样 的 关 系 .性质（1）定义域为（，+） ；值域为（0，+）（2）过点（0，1） ，即 x=0 时，y=a0=1（3）若x0，则ax1；若 x0，则0 ax1（3）若x 0，则0 ax1；若 x0，则ax1（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数（四）巩固与练习例 3：求下列函数的定义域：（
9、1） y=8 ；12x（2） y= .)(例 4： 比较下列各题中两值的大小比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.7 3；（2）0.80.1 ,0.80.2 ；（3）1.70.3，0.9 3.1.教师：我们已经有过求函数定义域的一些实战经验，你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意？学生交流自己的想法，教师归纳，得出如下结论（1）分式的分母不能为 0；（2）偶次根号的被开方数大于或等于 0；（3）0 的 0 次幂没有意义.教 师 ： 这 些 注 意 点 在 我 们 所 要 解 决 的 问题 中 又 没 有 出 现 ， 是 否 还 有 其 他 新 的 要求 或 限 制 条
10、件 ？学生讨论交流，并板演解答过程，教师组织学生进行评析，规范学生解题解：（1）2 x10， x ，原21函数的定义域是 x|xR， x ；（2）1（ ）21x0，（ ） x1=（ ） 0.函数y=（ ） x 在定义域上单调递减，21 x0.原函数的定义域是0，+）.教师：你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？学生讨论，教师适时点拨，得出如下解析过程解：（1）1.7 2.5，1.7 3 可看作函学生巩固练习，也是对本每节课学习内容的检验。同时总结方法是：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作是一个函数的两个函数值，利用函数的单调性比较。当
11、两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系。数 y=1.7x 的两个函数值.由于底数 1.71，所以指数函数y=1.7x 在 R 上是增函数.因为 2.53，所以1.72.51.7 3.（2）0.8 0.1 ，0.8 0.2 可看作函数 y=0.8x 的两个函数值.由于底数 0.81，所以指数函数y=0.8x 在 R 上是减函数.因为0.10.2，所以0.80.1 0.8 0.2 .（3）因为 1.70.3、0.9 3.1 不能看作同一个指数函数的两个函数值，所以我们可以首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系。由指数函数的性质知1.70.31.7 0=1，0.9 3.10.9 0=1，所以 1.70.30.9 3.1五、巩固练习课本课后练习 1、2 学生完成后，同桌之间互相交流解答过程六、课堂小结 1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征。2.指数函数简图的作法以及应注意的地方。3.指数函数的图象和性质。4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法数形结合思想（方法） 。对本节课的小结，帮助学生很好的总结知识点。5. 的取值范围是今后应用指数函a数讨论问题的前提。七、布置作业 课本习题
